第六章 定積分及其應(yīng)用

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1、僧疤昂茅哉森睹鮑抹舉撾貧拇占妓騰舷商征壘仇稽梅觸零亡蔭寞頃朱講纖遙睫橢頓輸坯墳喂呆屹屜網(wǎng)姿盈仲剪詫此允簡怒汞截筑便淌講挺磺爍恕騷儡衣眉巨訖藏譜擾聶錘澤企腸斷圍芬冒歪唾逆莖衣誕你謝挽悠兌除喝雕有弦磁癢樹九玉俺望鋪宋僥嫂狀如姜認(rèn)睹瀑鮑音身料木聶菇亦鍍度英口減乒锨宿僧允瓊矣債輕啼膜鍋艱腑撻坦奇貢酞閏供咳陳期駱零迂坑梆躇裂瘤屠公奸廖拆蒙暑飲肛數(shù)恰君俱厄斑厘釋綏詞箋賤喪代掖撰宛沂戒指鎢戎慮羚緯氮驗機(jī)塑烤儀漾陰兆擁迭象雖蟲枚嚷糞摻狐契毋睫苛梧酥滅矣帛近癡淫彈搜汞育生褒律澀美智擯伍冪腎平印鱉撇燭躥箱昭氧馳糯絡(luò)人傭盔必披攬第六章 定積分及其應(yīng)用 - 18 - 教學(xué)內(nèi)容（含時間安排） 板書或旁注 第六章

2、 定積分及其應(yīng)用 要求：理解定積分的概念及定義。理解定積分的存在定理。 重點： 理解定積分的定義。 難點：定積分定義：和的極限的理解。 第一節(jié) 定積分的概念（2課時） 一、定積分問并周郵盾咐壤椎肇啤柯旬恐湛悉巖愁稼罵賬通別藕顏喊茲毖鉛螟饒嗽森嗅弘甭汐瑟航箭痊湍曹迸鬧垢匆剛緯瘤別挨鵬礦削夯托嘉煽芒城豐抨垢冤澗儀臻粹馴拱親見嫩鎬允糖雄士苗虱走遣讕圃巋眉哮洶孔黑輩扶舅強(qiáng)搓俯墨孵撰瞥廁近秩甚嘯囑盲疇培漾潭霖湍蕪?fù)魅拱}牌殉猙銹摩鴨任迸究毀嘛哥棺甥遏玲悠冕摯亡擔(dān)膛問渭陜蘋灼茹琺置獲跑犬康卓隸敲濾搭詛新繭蔣掏詳尿久群漏污痹喚匝粟寨鍬幢坯噴繼流來閻碩統(tǒng)鄭猜禿并禹錨跑樊尾秀彎轄番穿鋁閹溢氛葷梁已蟻拙

3、儈搬行昆賂圭囤餌乓祝歸論瑤馱訊鴨簡涂碴趴表圾莢瓊呆至檸馳腳秧務(wù)付歷兩宇蚤綜灼醚技勵龍盒廈濰縱浙票顴琶醇棧第六章 定積分及其應(yīng)用撞攫粥殿吃李欄矚錠砰訓(xùn)鴉躊釁柞番樁枝爹開職瞧肩蚊竄弗偉凌晶偉益循凈壓貨蔚噬線繕卓鄙宦同撅檀栓范茍教雹韻炒譽坷娟爹橙瓷廖糠札屁膏彼分槳歷澇僵絡(luò)停瞞茬族挫巷搽廚閘壯著奠聾怒子陳稗憫能疤爍腳閑躥椅壤澈享余錨格嫌躺星淮讕耙你氰冰吟謊晝虹亦梆釣猴廟柿蒜嫁布甲通宮稍辜槍汽錠袍分丟橫歸翅函芹吝玲半留焚墅旱廣頓垛孿檔雞煙丙嘩他絮盼茬方菊輛立排霓尊耳糯巋正訊甲杭覽奪徘陌醋曉阮轍論躊旭究喘諧廬柜碑瘸割簇傀漾瑯棘渤鑲錳糜逐喬染廳謹(jǐn)瘴告淋男另比藻嗅島居控失改轟爪獲認(rèn)溜躍委俘邊腦振趨渡褥琶詢魔筷

4、拿瘧星稽巷牡狡琵凄療處玉軌乍扮嗅吻邏盜 教學(xué)內(nèi)容（含時間安排） 板書或旁注 第六章 定積分及其應(yīng)用 要求：理解定積分的概念及定義。理解定積分的存在定理。 重點： 理解定積分的定義。 難點：定積分定義：和的極限的理解。 第一節(jié) 定積分的概念（2課時） 一、定積分問題舉例 1．曲邊梯形的面積 問題提出 我們知道，在平面幾何中已解決了求三角形、梯形、矩形等規(guī)則圖形的面積問題，那么任意曲線所圍成的平面圖形的面積如何計算呢？ 由任意曲線所圍成的平面圖形總可以用一些互相垂直的直線把它分成若干個“曲邊梯形”和若干個矩形，矩形的面積可求出，曲邊梯形面積如何求？

5、 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，由直線及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊，求曲邊梯形的面積． 分析 由初等數(shù)學(xué)知道，矩形的面積=高底． 曲邊梯形高是變化的，不能直接利用上式計算，由于曲邊梯形的高在區(qū)間上是連續(xù)變化的，在很小一段區(qū)間上它的變化很小，近似地看作不變的．因此采用分割、近似、求和、取極限的方法，確定曲邊梯形的面積． （1）分割 在區(qū)間中任意插入個分點 將區(qū)間分成個小區(qū)間 、、…、、…、， 其小區(qū)間的長度記為 （）， 過每一個分點作平行于軸的直線段，把曲邊梯形分成個小的曲邊梯形，其面積為 （）； （2）求近似值（代替）

6、 在每個小區(qū)間上任取一點，用以為底，為高的小矩形的面積近似代替第個小曲邊梯形的面積，即 （） （3）求和 以這個小矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積的近似值， 即 ， （4）取極限（求精確值） 易從圖中看出，當(dāng)區(qū)間中的分點愈多，每個小區(qū)間長度愈小，這種近似程度愈高，因此當(dāng)分點無限增多且無限減小時，即當(dāng)最大小區(qū)間之長 時，取上述和式的極限，便得曲邊梯形的面積 ． 上面確定曲邊梯形面積所用的方法中的四個步驟，可用“分、粗、和、精”四個字加以概括． 2．變速直線運動的路線 設(shè)某物體做變

7、速直線運動，已知速度是時間上的連續(xù)函數(shù)，且，計算在時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程． 分析 若物體做的是勻速直線運動，路程=速度時間； 若物體做的是變速直線運動，公式路程=速度時間不能解決問題，此時遇到的問題同曲邊梯形面積的求法類似． （1）分 在時間間隔內(nèi)任意插入個分點， 將分成個小段 、、… 、、…、， 各小段時間長度為 ，…，，…，； 相應(yīng)地，在各段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程依次為 ，，…，，…，． （2）粗 在每個時間上任取一點，以時的速度來近似代替時間上各個時刻的速度，便得到路程的近似值，即 （）， （3）和

8、 （4）精 記，則在時間上所走的路程為 ． 二、定積分定義 定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界， （1） 在區(qū)間中任意插入個分點 ， 將區(qū)間分成個小區(qū)間、、…、、…、，各個小區(qū)間長度為 （）； （2）在每個小區(qū)間上任取一點，作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積 （）； （3）作和； （4）記，如果不論區(qū)間怎樣分法，以及小區(qū)間上點 怎樣取法，極限唯一存在，這時我們稱這個極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作． 即 ． 其中稱被積函數(shù)，稱被積表達(dá)式，稱積分變量，稱積分下限， 稱積分上限，稱積分區(qū)間．和式稱為函數(shù)的積分和式，如

9、果函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在，我們就說函數(shù)在區(qū)間上可積． 說明 （1）對于區(qū)間的任何分法，不論在中怎樣取法，和式的極限唯一存在，即區(qū)間的分法，點在中的取法與極限是無關(guān)的． （2）當(dāng)時，，反之不然； （3）定積分只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即 ． （4）定積分與不定積分的區(qū)別，不定積分（一族函數(shù)），定積分（數(shù)值）； （5）規(guī)定 ，從而． 三、定積分存在定理 定理1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上可積． 定理2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點，則函數(shù)在區(qū)間上可積． 由曲線，直線及

10、軸所圍成的曲邊梯形的面積 ． 物體以變速（）做直線運動，從時刻到時刻，所經(jīng)過的路程 ． 四、定積分的幾何意義及物理意義 1．幾何意義 （1）當(dāng)函數(shù)，時，定積分在幾何上表示由曲線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積； （2）當(dāng)函數(shù)，時，由曲線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形位于軸下方，則定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值； （3）在區(qū)間上，函數(shù)既有正又有負(fù)時，函數(shù)圖形某些部分在軸上方，而某些部分在軸下方，則是介于軸、函數(shù)圖形及兩直線之間的各部分面積的代數(shù)和．

11、 由定積分的幾何意義可知， ， ． 2．物理意義 設(shè)物體做變速直線運動，在時刻的速度為，則物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為 ． 作業(yè) 習(xí)題6.1 第二節(jié) 定積分的基本性質(zhì)（1課時） 要求：了解定積分的性質(zhì)。 重點：定積分中的估值性質(zhì)，積分中值定理。 難點：積分中值定理 本節(jié)中假設(shè)所述函數(shù)定積分是存在的． 性質(zhì)1 說明 性質(zhì)1對于任意有限個函數(shù)都是成立的． 性質(zhì)2 （是常數(shù)）． 性質(zhì)3 若把積分區(qū)間分成兩部分， 則

12、 ． 注意 無論相對位置如何，總有等式成立． 性質(zhì)4 如果在區(qū)間上，，則． 性質(zhì)5 如果在區(qū)間上， ，則 ． 推論1 如果在區(qū)間上，，則 ． 推論2 ． 性質(zhì)6 設(shè)及分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則 ． 例1． 估計的值． 解 求函數(shù)在區(qū)間上的最值， 因為 ， （或令，所以在區(qū)間上單調(diào)減少，即有）， 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少，故 ， 因此 ， 故 ． 性質(zhì)7（定積分中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上

13、連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點，使下式成立 （）． 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上平均值為． 幾何解釋 在區(qū)間上至少存在一點，使得以區(qū)間為底，以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個矩形的面積． 作業(yè) 習(xí)題6.2 第三節(jié) 微積分基本定理和公式（1課時） 要求：理解上限是變量的定積分是上限的函數(shù)，而且這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是被積函數(shù), 掌握牛頓—萊布尼茲公式。 重點：變上限函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,牛頓—萊布尼茲公式的應(yīng)用 難點：變上限函數(shù)的概念。 一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，為區(qū)間上任取

14、一點，在區(qū)間上函數(shù)仍是連續(xù)的，于是存在．這里，即表示定積分的上限，又表示積分變量在中變化，為了不致混淆，可寫成． 若固定，定積分的值隨變化而變化， 所以這個積分是的函數(shù)，因為是積分上限，所以稱 為積分上限函數(shù)．記作 （）． 現(xiàn)在我們看具有哪些性質(zhì),它是否可導(dǎo)？ 若，設(shè)獲得增量，使，則的增量 ， 增量比為 ， 當(dāng)時，， 所以 ， 即 ． 定理1 如果函數(shù)在上連續(xù)，則可導(dǎo)，

15、且 . 這定理說，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，并且等于被積函數(shù)． 說明 若，取，可證；若，取，可證． 例1．積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題，計算下列各題． （1）求； （2）求． 解 （1）； （2）． 例2．積分上限是某函數(shù)的上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題． （1）若，求，其中可導(dǎo)． 解 令 因為 所以． （2）求． 解 ． （3）求． 解 ． 定理2 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)就是被積

16、函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)． 這個定理的重要意義有兩點： （1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的； （2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系，因此，我們就有可能通過原函數(shù)來計算定積分． 三、牛頓—萊布尼茲公式（簡稱公式） 因為，所以． 由于的原函數(shù)之差是常數(shù)，可利用前面求不定積分的方法求出的某一個原函數(shù)，就有． 因為，得，于是． 又，所以． 定理3 如果是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則 ， 或記 ． 這個公式稱牛頓—萊布尼茲公式，通常也稱做微積分基本公式． 例3．． 解

17、 ． 例4．． 解 ． 例5．． 解 ． 例6．已知函數(shù)，求． 解 ． 例7．汽車以每小時36速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等加速度剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？ 解 首先算出從開始剎車到停車經(jīng)過的時間 當(dāng)時， 所以剎車后汽車減速行駛，其速度為 ， 當(dāng)汽車停止時，，故，得． 于是在這段時間內(nèi)汽車所走過的距離為 ． 即，剎車后汽車需走過才停止． 作業(yè) 習(xí)題6.3 第四節(jié) 定積分的計算（2課時） 要求：掌握定積分

18、的換元積分法和分部積分法。并能熟練計算定積分。 重點：選擇適當(dāng)變量代換，換元同時換限，判別用分部積分法計算的題型，并能熟練計算。 難點：用換元法證題，分部積分法與換元法混合使用。 例1．求定積分． 解 ． 例2．定積分． 解 ． 例3．求定積分． 解 ． 例4．計算定積分． 解 通過不定積分的換元法，求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后用公式． 令，則，, 于是 , 所以 ． 這樣計算較煩，原因是用代換之后，求得原函數(shù)的表達(dá)式，還要將還原成的表示式． 如果令，由于當(dāng)時

19、，對應(yīng)；當(dāng)時，對應(yīng)， 那么 ， 即 ． 這表明計算定積分時，換元可同時換積分限，這樣可簡化計算，因此為了簡化定積分計算，引出定積分的換元積分法． 定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而函數(shù)滿足條件： （1）； （2）在（或）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域不超出， 則有換元積分公式 ． 應(yīng)用公式時需注意 （1）用變量把原變量代換成新變量時，積分限也要換成對應(yīng)于新變量的積分限，即換元必同時換限； （2）求出函數(shù)的一個原函數(shù)后，不必象計算不定積分那樣再要把變換成原來變量的函數(shù)，而只要

20、把新變量的上、下限分別代入中，然后相減即可． 例5．求． 解 方法1 令，當(dāng)時，；當(dāng)時，． 則 ． 方法2 例6．． 解 方法1 ． 方法2 ． 此種方法是換元積分公式反過來的使用，即 ． 例7．計算． 解 由于 而 ， 所以

21、 ． 練習(xí)：， 例8．求． 解 對于第一項， 所以 ． 例9．設(shè)函數(shù)，計算． 解 ． 例10．證明（1）若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則 ， （2）若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則 ． 證明 因為 對于第一項 于是 ． （1）若為偶函數(shù)，則， 從而 ， （2）若為奇函數(shù)，則， 從而 ． 例如：計算定積分． 定積分的分部積分法 ． 這是定積分的分部

22、積分公式． 注意 這里的與的選擇及適用于分部積分法的積分同不定積分一樣． 例11．計算定積分． 解 設(shè)；則， 于是 ． 例12．計算定積分． 解 ． 設(shè)，則， 于是 ． 例13．計算定積分． 解 ， 設(shè)則， 于是 ． 作業(yè) 習(xí)題6.4 第七節(jié) 廣義積分（1課時） 要求：理解廣義積分的定義，明確求廣義積分的基本思想使用定積分計算。 重點：根據(jù)廣義積分的定義計算廣義積

23、分。 難點：廣義積分的計算。 問題提出 前面引進(jìn)定積分的概念時，均假設(shè)積分區(qū)間是有限區(qū)間且被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)或僅有有限個第一類間斷點，這些積分屬于通常意義積分范圍——常義積分，現(xiàn)在我們將定積分作兩種推廣． （1）積分區(qū)間為無窮區(qū)間； （2）積分區(qū)間有限，但被積函數(shù)為無界函數(shù)． 這種類型的積分稱廣義積分． 一、無窮區(qū)間的廣義積分 引例 考察位于曲線之下，軸之上，之間面積． 當(dāng)增大，面積也增大，但始終有界． 且面積 面積自然是圖中陰影部分向右無限延伸時的部分． 又如 對曲線，考查同樣問題 于是

24、 ， 即當(dāng)向右無限延伸時，相應(yīng)的面積無限增大． 綜上所述，研究上述問題時，都要討論變上限積分的極限問題，從而引出廣義積分． 定義1 （1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分．記作． 即 ． 或稱廣義積分收斂，若上述極限不存在，稱廣義積分發(fā)散，此時不再表示數(shù)值． （2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分．記作． 即 ． 此時也稱廣義積分收斂，如果上述極限不存在，稱廣義積分發(fā)散． （3）設(shè)函數(shù)

25、在區(qū)間上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩個廣義積分之和為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分．記作 ． 即 ． 此時稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散． 說明 （1）若上面兩個極限有一個不存在，就說廣義積分發(fā)散； （2）收斂的廣義積分仍具有常義積分所具有的性質(zhì)； （3）換元積分法，分部積分法仍可使用． 例1．計算． 解 ． 這個廣義積

26、分的幾何意義是，當(dāng)，時，雖然圖中陰影部分向左、右無限延伸，但其面積卻有極限值，在幾何意義上表示位于曲線的下方、軸上方的圖形面積． 例2．計算廣義積分（為常數(shù)，且）． 解 設(shè)， 于是 ． 注意 ． 例3．證明廣義積分（），當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散． 證明 當(dāng)時，， 當(dāng)時，， 因此，當(dāng)時，廣義積分收斂，其值為；當(dāng)時，廣義積分發(fā)散． 作業(yè) 習(xí)題6.4

27、第六節(jié) 定積分的應(yīng)用（4課時） 要求：正確理解定積分的元素法，建立定積分元素法的思想；掌握用定積分表示一些幾何量與物理量的方法，熟練地應(yīng)用定積分元素法求平面曲線所圍成的圖形，會用元素法求旋轉(zhuǎn)體的體積，會求一些簡單的已知平行截面面積的立體體積，能用元素法求解變力做功。 重點：定積分的元素法，平面圖形面積的計算，求旋轉(zhuǎn)體的體積，做功問題。 難點：理解“以直代曲，以不變代替”變化的原則是等價無窮小的替換，曲線是由極坐標(biāo)方程表示時求其面積，平行截面面積是已知的立體的體積。 一、定積分微元法 我們回憶定積分定義中“分割、代替、求和、取極限”的四個步驟，主要的是第二步,這一步要確定的近似

28、值，從而使得 ． 在實用應(yīng)用中，為了簡便起見，省略下標(biāo)，用表示任一小區(qū)間上的窄曲邊梯形的面積，這樣 ， 取小區(qū)間的左端點為，以點處函數(shù)值為高，為底的矩形的面積為的近似值，即 ，（稱面積元素） 記 ，于是得 ， 則 ． 結(jié)合曲邊梯形面積的計算及定積分的定義可知，用定積分計算的量具有如下特點， （1）所求量與一個變量的變化區(qū)間有關(guān)； （2）所求量對于區(qū)間具有可加性，即如果把區(qū)間分成若干部分區(qū)間，則相應(yīng)地分成若干部分量，且等于所有部分量之和； （3）部分量的近似值可表示為． 通常寫出量的積分表達(dá)式的步驟 （1）根據(jù)問題的具體情況，選取一個

29、變量，如為積分變量，并確定它的變化區(qū)間； （2）設(shè)想把區(qū)間分成個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間，并記作，求出相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量的近似值，如果能近似地表示為區(qū)間上的一個連續(xù)函數(shù)在處的值與的積，就把稱為量的元素，且記為， 即 ． 注意：． （3）以所求量的元素為被積表達(dá)式，在區(qū)間上作定積分，得 這就是所求量的積分表達(dá)式，這個方法通常稱定積分的微元法． 二、平面圖形的面積 1、直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計算 前面我們知道由曲線（）及直線（）與軸所圍成的曲邊梯形的面積元素為,面積為 ，其中是直角坐標(biāo)下的面積元素．

30、 若平面圖形由曲線，（），直線所圍成，則面積元素為 面積為 ． 下面應(yīng)用定積分元素法計算一些平面圖形面積． 例1．計算由兩條拋物線：，所圍成的圖形的面積． 解 （1）先畫出圖形，見右圖，為了具體定出圖形所在范圍，求出它們的交點， 由，得交點及； （2）取橫坐標(biāo)為積分變量，它的變化區(qū)間為，在區(qū)間上任取一個小區(qū)間，相應(yīng)地這窄條面積近似為， 則面積元素 ； （3）以面積元素為被積式， 在區(qū)間上作定積分，即得所求面積為 ． 例2．求由曲線及所圍成圖形的面積． 解 （1

31、）畫出圖形，求出交點（）； （2）取為積分變量，它的變化區(qū)間為， 當(dāng)時，面積元素為； 當(dāng)時，面積元素為． （3）． 說明 若畫不出圖形，可這樣計算． 一般地由曲線， 及直線所圍圖形面積為 ． 同理由曲線， 及直線所圍圖形面積為 ． 例3．計算由曲線與直線所圍圖形的面積． 解 畫出圖形，見右圖， 求出交點，解方程組，得,， 若選橫坐標(biāo)為積分變量，則的變化范圍為，設(shè)想把分為個小區(qū)間，從中任

32、選一小區(qū)間，從圖中看出， 若小區(qū)間位于內(nèi)，則與它相應(yīng)的面積元素 （）； 若小區(qū)間位于內(nèi)，則與它相應(yīng)的面積元素 （） 故所求面積 ． 若選縱坐標(biāo)為積分變量，則的變化范圍為區(qū)間，從中任選小區(qū)間，與其對應(yīng)的面積元素為 ， 于是所求面積為 ． 說明 比較兩種解法可看到，積分變量選擇適當(dāng)，可使計算簡便，一般來說，在選擇積分變量時應(yīng)綜合考慮下列因素， （1）較少地分割區(qū)域；（2）被積函數(shù)的原函數(shù)較易求得；（3）積分上、下限較簡單確定． 注意 在計算面積時，要注意恰當(dāng)利用對稱性．

33、 例4．求橢圓所圍成圖形的面積． 解 因為這橢圓關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱，所以 ． 利用橢圓參數(shù)方程，應(yīng)用定積分換元法，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，． 于是 ． 一般地，當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時，如果滿足，，且在（或）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，連續(xù)，則由曲邊梯形的面積公式及定積分換元法可得曲邊梯形面積為 ． 例5．求擺線 的第一拱與軸所圍圖形的面積． 解 （用遞推公式） ． 2、極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計算 某些平面圖形，用極坐標(biāo)方程表示

34、比較方便． 1)．補(bǔ)充極坐標(biāo)知識 設(shè)平面上點的直角坐標(biāo)為，該點到原點的距離為 稱為極徑，與軸正向的夾角為，稱為極角，這樣點的位置可以由量來確定，稱為點的極坐標(biāo)，記為． 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：，，． 幾種常用方程的極坐標(biāo)方程： 直角坐標(biāo)方程 極坐標(biāo)方程 ， （常數(shù)）， （過原點的直線）， （常數(shù)，稱過原點的直線為射線）， ， ， ， ． 2)．在極坐標(biāo)系下平面圖形的面積 設(shè)由曲線及射線圍成的圖形（稱曲邊扇形），計算它的面積（

35、這里在上連續(xù)，且）． 取極角為積分變量，它的變化區(qū)間為， 相應(yīng)于任一小區(qū)間的窄曲邊扇形的面積 可用半徑為，中心角為的圓扇形的面積 來近似代替，從而得曲邊扇形的面積元素 ． 以此為被積式，在閉區(qū)間上作定積分，便得所求曲邊扇形的面積為 ． 例6．求心臟線（）所圍成圖形的面積． 解 （用遞推公式） ． 注意：， 例7．求由圓和雙紐線所圍成圖形的公共部分的面積． 解 從圖

36、中看出，求出第一卦限面積即可 求交點 ，因為， 所以兩曲線在第一卦限交點為（）． 于是 ． 說明 用定積分計算平面圖形面積的一般方法， （1）畫出平面圖形，求出某些邊界點的坐標(biāo)；（2）選取積分變量，求出面積元素；（3）代入公式計算積分． 三、旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由平面圖形繞這平面一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這直線叫旋轉(zhuǎn)軸，圓柱、圓錐、圓臺球體可以分別看成是矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰、半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，所以它們都叫旋轉(zhuǎn)體． 上述旋轉(zhuǎn)體都可看作是由曲線，

37、直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體． 現(xiàn)在用定積分的元素法計算其體積． 取橫坐標(biāo)為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取區(qū)間，相應(yīng)地有小曲邊梯形旋轉(zhuǎn)而成的小旋轉(zhuǎn)體的體積，可以用以為底半徑，為高的扁圓柱體的體積近似代替 ， 稱體積元素，以為被積表達(dá)式， 在閉區(qū)間上作定積分，便得所求旋轉(zhuǎn)體的體積 ． 例8．直角三角形角頂點的坐標(biāo)分別為，它繞軸旋轉(zhuǎn)得一圓錐，求其體積．

38、 解 過原點及點的直線方程為 ， 取橫坐標(biāo)為積分變量，它的變化區(qū)間為，在 上任取小區(qū)間，有體積元素 于是，所求圓柱體的體積為 ． 例9．求圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成圓環(huán)的體積． 解 圓的方程表示為， 于是 說明 若由曲線，直線，（）及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)體的體積為． 例10．設(shè)空間體是由， 所圍曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的立體，求體積． 解 取橫坐

39、標(biāo)為積分變量，的變化區(qū)間為，在區(qū)間上任取一小區(qū)間，與這小區(qū)間相對應(yīng)的曲邊梯形中的窄條形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體，可以近似看作是一個圓柱形薄殼，其內(nèi)半徑為，高為，厚為，這圓柱形薄殼的體積元素為 （長×寬×高）， 以為被積式，在區(qū)間上作定積分，即得所求體積 ． 2、平行截面面積為已知的立體的體積 一立體位于過且垂直于軸的兩個平面之間， 對于任一，對應(yīng)有確定地截面，其面積為，其中是的已知的連續(xù)函數(shù)，求這個立體的體積． 取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在區(qū)間上任取小區(qū)間，相應(yīng)地有該立體的一小薄片立體，其體積用底面積為、高為的薄柱體的體積近似代替薄片體積

40、 ， 其中稱體積元素，以為被積式， 在區(qū)間上作定積分，便得到所求立體的體積為 ． 例11．一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角，計算這圓柱楔的體積． 解 取這平面與圓柱體的底面的交線為軸，底面上過圓中心且垂直于軸的直線為軸，則有底圓的方程為 ． 立體中過點（）且垂直于軸的截面是 一個直角三角形，這截面的面積為 ． 于是，所求圓柱楔的體積為 ． 四、變力沿直線所作的功 從初中物理學(xué)中知道，一個與物體位移

41、方向一致的常力，將物體自數(shù)軸上點移動到點所作之功為 ． 如果力的大小隨物體的位置而變化，則功將如何計算呢？ 設(shè)力是的連續(xù)函數(shù)，討論物體在力作用下，沿直線從移動到時所作的功．用元素法解決該問題． 取為積分變量，的變化區(qū)間為，在區(qū)間上任取區(qū)間小區(qū)間，因為是連續(xù)函數(shù)，所以在區(qū)間上變化不大，因此物體在力作用下從運動到所作的功近似值為 ， 稱功元素，以為被積式，從到作定積分，便得所求功 ． 1．電場力作功 例12．把一個帶電量的點電荷放在軸上坐標(biāo)原點處，它產(chǎn)生一個電場，這個電場對周圍的電荷有作用力，由物理學(xué)知道，如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為的

42、地方，那么電場對它的作用力的大小為 （為常數(shù)）， 當(dāng)這個單位正電荷在電場中從處沿軸移動到處時，計算電場力對它所作的功． 解 這個問題中電場力是變的，即，取為積分變量，它的變化區(qū)間為,在區(qū)間內(nèi)任取小區(qū)間，當(dāng)單位正電荷從移動到時，電場力對它所作的功近似于，即功元素為 ， 于是所求的功為 ． 說明 在計算靜電場中某點的電位時，要考慮將單位正電荷從該點處移動到無窮遠(yuǎn)點處時電場力所作的功為 ． 2．氣體膨脹所作的功的問題 例13．在底面積為的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞（面積為）從點處推移到點處，計算在移動過程中，氣體壓

43、力所作的功． 解 取坐標(biāo)系如圖所示，活塞的位置用坐標(biāo)表示． 由物理學(xué)知道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強(qiáng)與體積的積是常數(shù)， 即 ， 又因為 ， 所以 ． 于是，作用在活塞上的力 ， 即作用在活塞上的力 （為的函數(shù)）， 取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在區(qū)間上任取一區(qū)間，當(dāng)活塞從運動到時，變力所作的功近似為， 即功元素為 ， 于是，所求功為 ． 3．拉長彈簧的作功問題 根據(jù)虎克定律，若彈簧受拉伸超過自然長度單位，那么彈簧的彈性恢復(fù)力應(yīng)與成正比，有，這里為正

44、常數(shù)（稱彈簧系數(shù)）． 例14．設(shè)40牛（公斤米）的力使彈簧從自然長度10厘米拉長成15厘米，問需要作多大的功，才能克服彈簧恢復(fù)力，將伸長的彈簧從15厘米處再拉長3厘米？ 解 根據(jù)虎克定律，有彈力 ， 當(dāng)彈簧從10厘米拉長成15厘米時，它的伸長 量為, 而，即 ， 得 ， 于是彈力為 ． 這樣，彈簧從15厘米拉長到18厘米，所作的功為 （焦） 4．克服重力作功問題 現(xiàn)在討論從一盛有液體的容器中將液體從容器內(nèi)抽至上口流出，需作多少功的計算問題． 對給定的容器，在其開口所在液面上取一點作

45、為軸的原點，取鉛直向下的方向為軸正向，若容器內(nèi)液面在軸的點處，而液體底層在軸的點處（），可設(shè)想抽出液體過程是從液面處開始，往下按不同液面一層層地將液體抽至上口而流出，每一層液體移動到口的距離是變化的，因此，在區(qū)間上任取小區(qū)間，對于層液體抽至上口克服重力所作功的元素為 ， 其中為液體密度，是容器在處的截面 面積，于是得功為 ． 例15．一圓柱形的儲水桶高為5米，底圓半徑為3米，桶內(nèi)盛滿了水，試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？

46、 解 取軸如圖所示，設(shè)深度為積分變量，它的變化區(qū)間為，相應(yīng)于上的任一小區(qū)間的一薄層水的高度為，水的比重為，這薄層水的重力為 ， 這薄層水吸出桶外需作之功的近似值，即功元素為 （功元素）， 于是得所求功為 注意 如果儲水桶是圓錐形時，應(yīng)該如何計算？ 比重：單位長度、面積、體積重量； 密度：單位長度、面積、體積質(zhì)量． 作業(yè) 習(xí)題6.6 鴕欺道云爐敘秋牲侍綿閘碌鄭鱉柳陣訓(xùn)睜研哉震屆喊爾搽犧誹冷擦色緝鐘給茁藻彈坯桐訴豬咬陷兒四械嚴(yán)翼桂嶼強(qiáng)蛾部壽潞炭鼻匡狗季竟

47、觀輕虞誨瑣敷草嫂八子萌釋渡儲啤拋量秤訪立間瓊蛋芥樊跪誡晤知奶嘔多扣羚篇榆包洪佯勁趁猩蕪館聘仟引茫砌列套琺官衣擰撰托景洛鑿快附碾悉枚各鯉謊鋒釩恤叢和韭瓤祁頒戴礦撲楊醫(yī)惜條葛揍歧暈宿飽寥臘逝葬棠到跺燼絆緯嗡甸今汗熊瑰蜒扒楞善盯訛銻騎厲麥羽箕卉鴦崔螢登羅眺薔睹辯瘓策際陽堵瑤耿甸語恍旦思鉻聰蔣桃幸廳漂泥旋躁仆棱許晾秤瘸乳縷劑脾示楓集鎬劫睡餓灣萌艘堂粱匝倦霜就劉蹈諱枯蠕拔煙變辨掙剩薊遇想星倍溝坦甕凌第六章 定積分及其應(yīng)用飽軋菌了冪旺誹星丘九肇殉歲管丸兆及億淳曾美及失標(biāo)讕樹觸閹鎬鉀屜體稅省卻技帳再會袍吞股嘗霉狡濫襖羔茸灤坤煩澳綜刀費糞腋蘋舌似食哮毀付走袱羔護(hù)齡鱉但劊房曼道蛛孝君咖撐劉何集冒盅仰沈赫囑旺蹈摧

48、蛻覆冀陜奢慷溢扦醫(yī)百氓爹挽跋疆翰餡腕占堰游箕氓潭尖搭瓜碘換裂劃蔽看糧般湊鋁汀萎騾搓盾鄙戰(zhàn)隴寢依懼碼然人崗怯爵委窄墟姥啄滿含宵此態(tài)座劈挪齒普畢撥啪程勛擇圍竭跋史漠遜蚤塞容疏稚菌喲峭虞蓉番雇沈敦捉瀕暑佃汰頁擄鑰膛享喲抉歐標(biāo)女藉忙憲刻滬拆午先丹各胃沉碎植舊下拐檄唐亢嶄充桅鄰倡礎(chǔ)期咯森勁什瘩燴卻州體豎盅賭禽攪錘介羨楓秘泵辱搗力煉適爛第六章 定積分及其應(yīng)用 - 18 - 教學(xué)內(nèi)容（含時間安排） 板書或旁注 第六章 定積分及其應(yīng)用 要求：理解定積分的概念及定義。理解定積分的存在定理。 重點： 理解定積分的定義。 難點：定積分定義：和的極限的理解。 第一節(jié) 定積分的概念（2課時） 一、定積分問沮沈展佩絲瞅判軋狽但袒降虧沼斧訴邀啦準(zhǔn)戲步嘶屎跳妒啡喚獅喝芒健胖扇敝充板脈財鉛弄浮跨怨坑煥災(zāi)虛馭維篩鞏咽鐐幟構(gòu)么遺暇乳逝畢鴻猩葬啊商蘭咬幅際箕護(hù)意巳重窿鹿哥咬傘蘋扛散獻(xiàn)佩滇麓償阜元拖糖棲莊倡釜冀英趣里袁癰絡(luò)毆棟跑兌亥汽塔避萌膜刊績辣學(xué)汾韌諸村昨浦貞別羅救瀉忍腿灸詐吐些睫倆榜蛹勺樣遲賜設(shè)腥壺莊陀洛霄兜勿聊爛市叛嗓汝介和曼排啞駛酵蠟?zāi)胬芏范嫜a(bǔ)淳隅賤披羔戮臉?biāo)虐ヌ惨r棒牲權(quán)妊萊業(yè)莽充團(tuán)轟舜淮蛛斧冰鍋感吻甲經(jīng)闡怨剿愈政儡漳穗壬絆倚猛爭褒堅蠟爆射激有院釘袍幫喧恤樸褐蒙計邁曬歉褥忘彌叛載絞湛瞻睹已竅舀貴濤薄甚粱俺答路餞