高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第1章 第1課 集合的概念與運(yùn)算

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1、 第一章　集合與常用邏輯用語(yǔ) 第1課集合的概念與運(yùn)算 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 集合及其表示 √ 子集 √ 交集、并集、補(bǔ)集 √ 1．元素與集合 (1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號(hào)分別為∈和?. (3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法． 2．集合間的基本關(guān)系 (1)子集：若對(duì)?x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A. (2)真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，則AB或BA. (3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.

2、 (4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本運(yùn)算 并集 交集 補(bǔ)集 圖形表示 符號(hào)表示 A∪B A∩B ?UA 意義 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x?A} 4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論 (1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)． (2)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. (4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(

3、正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)任何集合都有兩個(gè)子集．(　　) (2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.(　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(　　) (4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) [解析]　(1)錯(cuò)誤．空集只有一個(gè)子集，就是它本身，故該說(shuō)法是錯(cuò)誤的． (2)錯(cuò)誤．集合A是函數(shù)y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點(diǎn)集．因此A，B，C不相等． (3)錯(cuò)誤．當(dāng)x＝1時(shí)，不滿足互異性． (4)錯(cuò)誤．當(dāng)A＝

4、?時(shí)，B，C可為任意集合． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

5、3個(gè)元素，故該集合有23＝8(個(gè))子集．] 5．(2017·鹽城期中模擬)若集合A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2

6、0，y＝0,1,2時(shí)，x－y＝0，－1，－2； 當(dāng)x＝1，y＝0,1,2時(shí)，x－y＝1,0，－1； 當(dāng)x＝2，y＝0,1,2時(shí)，x－y＝2,1,0. 根據(jù)集合中元素的互異性可知，B的元素為－2，－1,0,1,2，共5個(gè)． (2)若集合A中只有一個(gè)元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根． 當(dāng)a＝0時(shí)，x＝，符合題意； 當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝， 所以a的取值為0或.] [規(guī)律方法]　1.研究集合問(wèn)題，首先要抓住元素，其次看元素應(yīng)滿足的屬性；特別地，對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性，如題(1)． 2

7、．由于方程的不定性導(dǎo)致求解過(guò)程用了分類討論思想，如題(2)． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2017·啟東中學(xué)高三第一次月考)已知x2∈{0,1，x}，則實(shí)數(shù)x的值是________． (2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． (1)－1　(2)　[(1)由集合中元素的互異性可知x≠0且x≠1. 又x2∈{0,1，x}，所以只能x2＝1，解得x＝－1或x＝1(舍去)． (2)∵A＝?，∴方程ax2＋3x－2＝0無(wú)實(shí)根， 當(dāng)a＝0時(shí)，x＝不合題意； 當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－.] 集合間的基本關(guān)系 　(1

8、)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

9、，則m≤2. 當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，如圖． 則 解得2＜m≤4. 綜上，m的取值范圍為m≤4.] [規(guī)律方法]　1.空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解，如題(2)． 2．已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問(wèn)題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀進(jìn)行求解． [變式訓(xùn)練2]　(1)設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________. (2)設(shè)集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B?A，則實(shí)數(shù)

10、a的取值范圍是________． (1)2　(2)(－∞，－1]∪{1}　[(1)由題意可知a，b≠0，由集合相等的定義可知，a＋b＝0，∴a＝－b，即＝－1， ∴b＝1，故b－a＝2b＝2. (2)因?yàn)锳＝{0，－4}，所以B?A分以下三種情況： ①當(dāng)B＝A時(shí)，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得 解得a＝1； ②當(dāng)B≠?且BA時(shí)，B＝{0}或B＝{－4}， 并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此時(shí)B＝{0}滿足題意； ③當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－

11、1. 綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤－1或a＝1.] 集合的基本運(yùn)算 角度1　求集合的交集或并集 　(1)(2017·南京二模)設(shè)集合A＝{x|－2

12、}．] 角度2　交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算 　(1)(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，則A∪(?UB)＝________. (2)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，則陰影部分表示的集合是________． 圖1-1 (1){1,2,5}　(2)(－3，－1)　[(1)由題意可知?UB＝{1,5}，又A＝{1,2}，∴A∪(?UB)＝{1,2,5}． (2)由題意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴陰影部分表示的集合為M∩(?UN)＝(－3，－1)．] 角度3　利用

13、集合的運(yùn)算求參數(shù) 　(1)(2017·南通二調(diào))設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝，A∩B＝{0}，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172001】 (2)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝________. (3)設(shè)集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (1)1　(2)0或3　(3)[1，＋∞)　[(1)∵A＝{－1,0,1}，B＝，A∩B＝{0}， ∴a－1＝0或a＋＝0(舍去)， ∴a＝1. (2)由A∪B＝A可知B?A， 又A＝{1,3，}，B＝{1，m}， 所以m＝3或

14、m＝，解得m＝0或m＝3或m＝1(舍去)． (3)由A∩B＝?可知，a≥1.] [規(guī)律方法]　1.求集合的交集和并集時(shí)首先應(yīng)明確集合中元素的屬性，然后利用交集和并集的定義求解． 2．在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍． 易錯(cuò)警示：在解決有關(guān)A∩B＝?，A?B等集合問(wèn)題時(shí)，往往忽視空集的情況，一定要先考慮?是否成立，以防漏解． [思想與方法] 1．在解題時(shí)經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點(diǎn)；另一方面，對(duì)求出的字母的

15、值，應(yīng)檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性，以確保答案正確． 2．求集合的子集(真子集)個(gè)數(shù)問(wèn)題，需要注意的是：首先，過(guò)好轉(zhuǎn)化關(guān)，即把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；其次，當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，常利用枚舉法解決． 3．對(duì)于集合的運(yùn)算，常借助數(shù)軸、Venn圖求解． (1)對(duì)連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對(duì)已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成關(guān)于參數(shù)的方程或不等式關(guān)系． (2)對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)． [易錯(cuò)與防范] 1．集合問(wèn)題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合)，要對(duì)

16、集合進(jìn)行化簡(jiǎn)． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時(shí)刻關(guān)注對(duì)空集的討論，以防漏解． 3．解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系． 4．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心． 課時(shí)分層訓(xùn)練(一) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．(2017·蘇州期中)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0}，則A∪B＝________. {－1,0,1}　[A∪B＝{0,1}∪{－1,0}＝{－1,0,1}．] 2．(2017·南京模擬)設(shè)集合

17、A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172002】 {x|0≤x≤2}　[A∩B＝{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4} ＝{x|0≤x≤2}．] 3．(2017·南通第一次學(xué)情檢測(cè))已知集合A＝{x|0

18、θ＝________. 　[由A＝B可知cos θ＝，又θ為銳角，∴θ＝.] 5．(2017·鹽城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，則集合C的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 8　[由題意可知A∩B＝{1,3,5}， ∴C＝{1,3,5}， ∴集合C的子集共有23＝8個(gè)．] 6．(2017·南京三模)已知全集U＝{－1,2,3，a}，集合M＝{－1,3}．若?UM＝{2,5}，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 5　[∵M(jìn)∪?UM＝U，∴U＝{－1,2,3,5}，∴a＝5.] 7．(2017·泰州中學(xué)高三摸底考試)已知集合A＝{x|x

19、>0}，B＝{－1,0,1,2}，則A∩B＝________. {1,2}　[A∩B＝{x|x>0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．] 8．設(shè)全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，則B∩(?UA)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172003】 {2}　[∵A＝{1,3}，∴?UA＝{2,4}，∴B∩(?UA)＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．] 9．設(shè)集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 6　[∵A＝{1,2,4}，B＝{2,3,4,5,6,8}， ∴集合B中共有6個(gè)元素．

20、] 10．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 2　[集合A中元素滿足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.共2個(gè)元素．] 11．(2017·無(wú)錫模擬)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則實(shí)數(shù)a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172004】 0　[∵1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}， ∴1＝a＋2，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1. ①當(dāng)a＋2＝1，即a＝－1時(shí)，此時(shí)a2＋3a＋3＝1，不滿足集合中元素的互異性

21、； ②當(dāng)(a＋1)2＝1時(shí)，a＝0或a＝－2，又當(dāng)a＝－2時(shí)，a2＋3a＋3＝1，不滿足集合中元素的互異性； ③當(dāng)a2＋3a＋3＝1時(shí)，a＝－1或－2，由①②可知，均不滿足題意． 綜上可知，a＝0.] 12．已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩(?UB)＝________. {3}　[∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}， ∴A∪B＝{1,2,3}． 又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}， 又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．] B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．

22、(2016·全國(guó)卷Ⅱ改編)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，則A∪B＝________. {0,1,2,3}　[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．] 2．(2016·天津高考改編)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則A∩B＝________. {1,4}　[因?yàn)榧螧中，x∈A，所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3－2＝1； 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3×2－2＝4； 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3×3－2＝7； 當(dāng)x＝4時(shí)，y＝3×4－2

23、＝10. 即B＝{1,4,7,10}． 又因?yàn)锳＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．] 3．(2017·鹽城模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg(x－1)}，集合B＝{y|y＝}，則A∩B＝________. [2，＋∞)　[∵A＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}， B＝{y|y＝}＝{y|y≥2}， ∴A∩B＝{x|x≥2}．] 4．(2017·南通中學(xué)月考)已知集合M＝{1,2,3,4}，則集合P＝{x|x∈M，且2x?M}的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 4　[由題意可知P＝{3,4}，故集合P的子集共有22＝4個(gè)．] 5

24、．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172005】 0,1,2　[∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}． 由A∩B＝B可知B?A. ①當(dāng)a＝0時(shí)，B＝?，滿足A∩B＝B； ②當(dāng)a≠0時(shí)，B＝， 由B?A可知，＝1或＝2，即a＝1或a＝2. 綜上可知a的值為0,1,2.] 6．若x∈A，且∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，則集合M＝的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 3　[具有伙伴關(guān)系的元素組是－1，，2，所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個(gè)：{－1}，，.]