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1、
課時分層訓練(四十八)
A組 基礎(chǔ)達標
(建議用時：30分鐘)
1．如圖48-5，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)過點A(2,1)，離心率為.
圖48-5
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于B，C兩點(異于點A)，線段BC被y軸平分，且AB⊥AC，求直線l的方程. 【導學號：62172267】
[解] (1)由條件知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝＝，
所以b2＝a2－c2＝a2.
又點A(2,1)在橢圓＋＝1(a>b>0)上，
所以＋＝1，
解得
所以，所求橢圓的方程為＋＝1.
(2)將y＝k
2、x＋m(k≠0)代入橢圓方程，得x2＋4(kx＋m)2－8＝0，
整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0. ①
由線段BC被y軸平分，得xB＋xC＝－＝0，
因為k≠0，所以m＝0.
因為當m＝0時，B，C關(guān)于原點對稱，設(shè)B(x，kx)，C(－x，－kx)，
由方程①，得x2＝，
又因為AB⊥AC，A(2,1)，
所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，
所以k＝±.
由于k＝時，直線y＝x過點A(2,1)，故k＝不符合題設(shè)．
所以，此時直線l的方程為y＝－x.
2．已知中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C，其
3、上一點P到兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線y＝kx＋1與曲線C交于A，B兩點，求△OAB面積的取值范圍．
[解] (1)設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，
由條件可得a＝2，c＝，b＝1，故橢圓C的方程＋x2＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
設(shè)△OAB的面積為S，由x1x2＝－<0，
知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|
＝＝2，
令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2，
對函數(shù)y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，
4、
∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴t＋≥，∴0<≤，∴S∈.
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點P，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點．
①若直線l過橢圓C的右焦點，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值；
②若直線l的斜率為，試探究OA2＋OB2是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請說明理由. 【導學號：62172268】
[解] (1)＋＝1，＝，得a2＝4，b2＝3.
所以橢圓C：＋＝1.
5、
(2)①設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，直線l與橢圓C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由化簡得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以kAP·kBP＝·＝·＝·
＝－－，
所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－2＋，
所以當m＝－時，t有最大值.
②設(shè)直線l的方程為y＝x＋n，直線l與橢圓C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x2＋2nx＋2n2－6＝0，
Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)>0，即－
6、
＝x＋x＋2＋2＝(x＋x)＋n(x1＋x2)＋2n2
＝(x1＋x2)2－x1x2＋n(x1＋x2)＋2n2
＝2－＋n＋2n2＝7.
所以當直線l的斜率為時，OA2＋OB2為定值7.
2．(2017·泰州期末)如圖48-6，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝4，橢圓C：＋y2＝1，A為橢圓右頂點．過原點O且異于坐標軸的直線與橢圓C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中D.設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.
圖48-6
(1)求k1k2的值；
(2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)λ，使
7、得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，說明理由；
(3)求證：直線AC必過點Q.
[解] (1)設(shè)B(x0，y0)，則C(－x0，－y0)，＋y＝1，A(2,0)，
所以k1k2＝·＝＝＝－.
(2)聯(lián)立得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，
解得xp＝，yp＝k1(xp－2)＝，
聯(lián)立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，
解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，
所以kBC＝＝，kPQ＝＝＝，
所以kPQ＝kBC，故存在常數(shù)λ＝，使得kPQ＝kBC.
(3)當直線PQ與x軸垂直時，Q，
則kAQ＝＝＝k2，所以直線AC必過點Q.
當直線PQ與x軸不垂直時，直線PQ方程為：y＝，
聯(lián)立，解得xQ＝，yQ＝，所以kAQ＝＝－＝k2，故直線AC必過點Q.
高考數(shù)學 17-18版 第9章 第48課 課時分層訓練48
