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1、第2課時等差數列第五章數列第五章數列回歸教材回歸教材 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理1等差數列等差數列(1)一般地，如果一個數列從第一般地，如果一個數列從第2項起，項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的這個常數叫做等差數列的_，公，公差通常用字母差通常用字母d表示，公差的表達式表示，公差的表達式為為_公差公差anan1d(nN*，n2)(2)等差中項等差中項任意兩個數任意兩個數a，b有且只有一個等差中有且只有一個等差中項，即項，即_.(3)等差數列的通項公式等差數列的通項公式
2、an_，an_，其中，其中nm，也可以，也可以nm.但但am、an必須是數列中的項，也可得必須是數列中的項，也可得d_或或d_.a1(n1)dam(nm)d(4)等差數列的求和公式等差數列的求和公式(由倒序相加由倒序相加法推得法推得)Snna1_.思考探究思考探究若數列若數列an的前的前n項和為項和為Snan2bn，能否斷定數列，能否斷定數列an是等差數列？反是等差數列？反之是否成立？之是否成立？提示：提示：數列數列an的前的前n項和為項和為Snan2bn數列數列an是等差數列是等差數列2等差數列的性質等差數列的性質(1)若公差若公差d0，則此數列為遞增數列；，則此數列為遞增數列；若若d0，則
3、此數列為遞減數列；若，則此數列為遞減數列；若d0，則此數列為常數列，則此數列為常數列(2)有窮等差數列中，與首末兩項距離相有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等，并且等于首末兩項之等的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；特別地，若項數為奇數，還等于中和；特別地，若項數為奇數，還等于中間項的間項的2倍，即倍，即a1ana2an1a3an22a中中(3)若若m，n，p，kN*，且，且mnpk，則，則_，其中，其中am，an，ap，ak是數列中的項，特別地，是數列中的項，特別地，當當mn2p時，有時，有_.amanapak2apaman(4)在等差數列中，每隔相同的項抽出來在等差數列中，每隔相
4、同的項抽出來的項按照原來順序排列，構成的新數列的項按照原來順序排列，構成的新數列仍然是等差數列但剩下的項按原順序仍然是等差數列但剩下的項按原順序構成的數列不一定是等差數列構成的數列不一定是等差數列(5)若數列若數列an與與bn均為等差數列，則均為等差數列，則mankbn仍為等差數列，其中仍為等差數列，其中m，k均為常數均為常數(6)若若an成等差數列，成等差數列，Sn為其前為其前n項的項的和，則和，則Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差數列成等差數列(7)項數為偶數項數為偶數2n的等差數列的等差數列an，有，有S2nn(a1a2n)n(anan1)(an與與an1為中間的兩項為中間的兩項)；
5、ndan課前熱身課前熱身1(2011高考遼寧卷高考遼寧卷)Sn為等差數列為等差數列an的前的前n項和，項和，S2S6，a41，則，則a5_.答案：答案：12(2011高考大綱全國卷改編高考大綱全國卷改編)設設Sn為等差數列為等差數列an的前的前n項和，若項和，若a11，公差，公差d2，Sk2Sk24，則，則k_.解析：解析：Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d4k424，k5.答案：答案：53下列命題中正確的是下列命題中正確的是_若若a，b，c成等差數列，則成等差數列，則a2，b2，c2成等差數列；成等差數列；若若a，b，c成等差數列，則成等差數列，則log2a，lo
6、g2b，log2c成等差數列；成等差數列；若若a，b，c成等差數列，則成等差數列，則a2，b2，c2成等差數列；成等差數列；若若a，b，c成等差數列，則成等差數列，則2a,2b,2c成等差數列成等差數列答案：答案：4已知等差數列已知等差數列an其前其前n項和為項和為Sn，且，且S1010，S2030，則，則S30_.解析：解析：數列數列an為等差數列，為等差數列，S10，S20S10，S30S20成等差數列，成等差數列，即即S10(S30S20)2(S20S10)，10(S3030)220，S3060.答案：答案：60考點探究考點探究 講練互動講練互動(2011高考福建卷高考福建卷)已知等差數
7、列已知等差數列an中，中，a11，a33.例例1考點考點1等差數列基本量的求法等差數列基本量的求法(1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；(2)若數列若數列an的前的前k項和項和Sk35，求求k的值的值【解解】(1)設公差為設公差為d，則，則ana1(n1)d，由由a11，a33可得可得12d3，解之得解之得d2.從而從而an1(n1)(2)32n.【名師點評名師點評】等差數列中知三求二等差數列中知三求二問題需要列方程問題需要列方程(組組)來解決來解決變式訓練變式訓練1(2011高考天津卷高考天津卷)已知已知an是等差是等差數列，數列，Sn為其前為其前n項和，項和，nN*.若若a316，
8、S2020，則，則S10的值為的值為_答案：答案：110 考點2等差數列的判定例例2【名師點評名師點評】本題中本題中SnSn12SnSn10，是構造等差數列的一種，是構造等差數列的一種典型結構，可以看作一種結論，第典型結構，可以看作一種結論，第(2)問中易漏掉問中易漏掉n1的情況的情況變式訓練變式訓練2(2010高考安徽卷高考安徽卷)設數列設數列a1，a2，an，中的每一項都不為中的每一項都不為0. 考點3等差數列的性質及應用例例3【名師點評名師點評】利用等差數列的性質利用等差數列的性質解題，需仔細觀察代數式中各項間的解題，需仔細觀察代數式中各項間的聯(lián)系，尤其在一些有關的結論上要熟聯(lián)系，尤其在
9、一些有關的結論上要熟記熟用記熟用【解析解析】設設an的前的前n項和為項和為Sn，則，則S9S4 0，即，即a5a6a7a8a90,5a70，故，故a70而而aka40，故故k10.【答案答案】10變式訓練變式訓練3設等差數列設等差數列an的前的前n項和為項和為Sn，若若S39，S636，則，則a7a8a9_.解析：解析：數列數列an為等差數列，為等差數列，S3，S6S3，S9S6為等差數列，為等差數列，2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，則，則S9S645，a7a8a9S9S645.答案：答案：45考點考點4 等等差數列的前差數列的前n項和項和(2010高考課標全國卷高考課標
10、全國卷)設等差設等差數列數列an滿足滿足a35，a109.(1)求求an的通項公式；的通項公式；(2)求求an的前的前n項和項和Sn及使得及使得Sn最大的最大的序號序號n的值的值例例4【名師點評名師點評】等差數列的前等差數列的前n項和項和Sn可看作關于可看作關于n的二次函數，因而可借助的二次函數，因而可借助于二次函數的有關性質研究于二次函數的有關性質研究Sn的最值的最值問題問題【答案】【答案】11方法技巧方法技巧1等差數列的證明或判定，主要方法等差數列的證明或判定，主要方法有兩種：有兩種：(1)利用定義，證明利用定義，證明an1an常數；常數；(2)利用中項性質：利用中項性質：2anan1an
11、1(n2)2注意推廣的通項公式的應用：注意推廣的通項公式的應用：aman(mn)d.3由五個量由五個量a1，d，n，an，Sn中的中的三個可求其余兩個量三個可求其余兩個量(知三求二知三求二)，善，善于恰當選擇公式，減少運算量于恰當選擇公式，減少運算量4注意等差數列的設法如奇數個數注意等差數列的設法如奇數個數成等差數列，除了設成成等差數列，除了設成a，ad，a2d，外，還可設成外，還可設成，a2d，ad，a，ad，a2d，.5計算中靈活運用常用性質，整體代計算中靈活運用常用性質，整體代換，可使運算量減少，體現運算的合換，可使運算量減少，體現運算的合理性、技巧性理性、技巧性(3)除上面方法外，還可
12、將除上面方法外，還可將an的前的前n項和的最值問題看作項和的最值問題看作Sn關于關于n的二次函的二次函數最值問題，利用二次函數的圖象或數最值問題，利用二次函數的圖象或配方法求解，注意配方法求解，注意nN*.失誤防范失誤防范1等差數列的性質等差數列的性質amanapaq(mnpq)錯誤地理解為錯誤地理解為amapaq(mpq)2等差數列的通項公式的變形等差數列的通項公式的變形anam(nm)d，易錯記為，易錯記為anam(n1)d.3在某個數列中，算項數時易算錯，在某個數列中，算項數時易算錯，如如a1，a2，a3，an中，從中，從a3到到a10應應有有8項，易錯算成項，易錯算成1037項項考向瞭
13、望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預測命題預測1考試說明對等差數列的能級要求為考試說明對等差數列的能級要求為C，從近年江蘇卷的考查來看，等差，從近年江蘇卷的考查來看，等差數列常出現在綜合程度較高的解答題數列常出現在綜合程度較高的解答題中，需要考生對等差數列有更深刻的中，需要考生對等差數列有更深刻的認識，采用合理的方法加以解決認識，采用合理的方法加以解決目前，對等差數列的考查，體現的不目前，對等差數列的考查，體現的不僅僅是知識點的綜合，更多的是數學僅僅是知識點的綜合，更多的是數學推理能力推理能力(包括演繹推理與合情推理包括演繹推理與合情推理)、運算能力、數學表達能力的融合、運算能力、數學表達能力的
14、融合2本知識點考查形式主要有三種形式：本知識點考查形式主要有三種形式：一是直接利用公式求指定的一是直接利用公式求指定的an和和Sn；二；二是利用其性質求參數或解決相關問題；是利用其性質求參數或解決相關問題；三是通過適當化歸，把非等差數列問題三是通過適當化歸，把非等差數列問題轉化成等差數列問題再求解轉化成等差數列問題再求解3預測預測2013年考查等差數列的通項年考查等差數列的通項公式及性質仍將是命題的主要方向，公式及性質仍將是命題的主要方向，但通過保留部分等差數列性質構造但通過保留部分等差數列性質構造“類等差數列類等差數列”值得關注值得關注規(guī)范解答規(guī)范解答 (本題滿分本題滿分16分分)(2011
15、高考江蘇高考江蘇卷卷)設設M為部分正整數組成的集合，數為部分正整數組成的集合，數列列an的首項的首項a11，前，前n項和為項和為Sn.已已知對任意的整數知對任意的整數kM，當整數，當整數nk時時，SnkSnk2(SnSk)都成立都成立例例(1)設設M1，a22，求，求a5的值；的值；(2)設設M3,4，求數列，求數列an的通項公的通項公式式【解解】(1)由題設知，當由題設知，當n2時，時，Sn1Sn12(SnS1)，即即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1.從而從而an1an2a12.3分分又又a22，故當，故當n2時，時，ana22(n2)2n2.a52528.6分分(2)由題設知，當由題設知
16、，當kM3,4且且nk時時SnkSnk2Sn2Sk，且且Sn1kSn1k2Sn12Sk，得得an1kan1k2an1，即即an1kan1an1an1k，故當故當n8時，時，an6，an3，an，an3，an6成等差數列，成等差數列，且且an6，an2，an2，an6也成等差也成等差數列數列.9分分從而當從而當n8時，時，2anan3an3an6an6，且且an6an6an2an2，所以當所以當n8時，時，2anan2an2，即即an2ananan2. 于是當n9時，an3，an1，an1，an3成等差數列，從而an3an3an1an1， 故由式知，2anan1an1， 即an1ananan1.
17、 12分 當n9時，設danan1，當2m8時，m68，從而由式知2am6amam12，故，故2am7am1am13，從而從而2(am7am6)am1am(am13am12)于是于是am1am2ddd.因此，因此，an1and，對任意，對任意n2都成都成立，立，又由又由SnkSnk2Sn2Sk(k3,4)，可知，可知(SnkSn)(SnSnk)2Sk，14分分【得分技巧得分技巧】解決本題的關鍵在于：解決本題的關鍵在于：1要善于從要善于從(1)中的簡單情況找出解中的簡單情況找出解(2)的思路的思路2要善于利用公式要善于利用公式anSnSn1(n2)把把Sn轉化成轉化成an.3要注意從函數的觀點處理數列問題要注意從函數的觀點處理數列問題【失分溯源失分溯源】本題難度較大，得分本題難度較大，得分率較低，失分的主要原因：一是不能率較低，失分的主要原因：一是不能從從(1)的解題過程中找出的解題過程中找出(2)的解題思的解題思路；二是下標之間的關系找不清路；二是下標之間的關系找不清
高考數學總復習 第五章第2課時 等差數列課件
