新編高一數(shù)學 人教版必修3：第四章 線性回歸方程 含解析

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1、新編人教版精品教學資料 重點列表： 重點 名稱 重要指數(shù) 重點1 相關關系的判斷 ★★★★ 重點2 線性回歸方程有關概念 ★★★ 重點3 散點圖 ★★★★ 重點詳解： 1．變量間的相關關系 常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是確定性的函數(shù)關系，另一類是________；與函數(shù)關系不同，相關關系是一種________關系，帶有隨機性． 2．兩個變量的線性相關 (1)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有____________，這條直線叫________． (2)從散點圖上看，如果點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內

2、，那么兩個變量的這種相關關系稱為________；如果點分布在從左上角到右下角的區(qū)域內，那么兩個變量的這種相關關系稱為________. ※ (3)相關系數(shù) r＝，當r＞0時，表示兩個變量正相關；當r＜0時，表示兩個變量負相關．r的絕對值越接近________，表示兩個變量的線性相關性越強；r的絕對值越接近________，表示兩個變量的線性相關性越弱．通常當r的絕對值大于0.75時，認為兩個變量具有很強的線性相關關系． 3．回歸直線方程 (1)通過求Q＝的最小值而得出回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做____________．該式取最小值時的α

3、，β的值即分別為，. (2)兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為，則 【答案】 1．相關關系　非確定性 2．(1)線性相關關系　回歸直線　 (2)正相關　負相關 (3)1　0　 3．最小二乘法 重點1：相關關系的判斷 【要點解讀】 在研究兩個變量之間是否存在某種關系時，必須從散點圖入手．對于散點圖，可以做出如下判斷： (1)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關系，即變量之間具有函數(shù)關系． (2)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關關系． (3)如

4、果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系． 【考向1】確定性關系與隨機關系 【例題】下列變量之間的關系不是相關關系的是(　　) A．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是這個函數(shù)的判別式Δ＝b2－4ac B．光照時間和果樹畝產(chǎn)量 C．降雪量和交通事故發(fā)生率 D．每畝施用肥料量和糧食畝產(chǎn)量 解：由函數(shù)關系和相關關系的定義可知，A中Δ＝b2－4ac，因為a，c是已知常數(shù)，b為自變量，所以給定一個b的值，就有唯一確定的Δ與之對應，所以Δ與b之間是一種確定的關系，是函數(shù)關系．B，C，D中兩個變量之間的關系都是相關關系．故選A.

5、【評析】要注意函數(shù)關系與相關關系的區(qū)別：函數(shù)關系是確定性關系，而相關關系是隨機的、不確定的． 重點2：線性回歸方程有關概念 【要點解讀】 樣本中心點一定在回歸直線上 【考向1】樣本中心點 【例題】為了考查兩個變量x和y之間的線性關系，甲、乙兩位同學各自獨立做了10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1，l2，已知兩人得到的試驗數(shù)據(jù)中，變量x的平均值都等于s，變量y的平均值都等于t，那么下列說法正確的是(　　) A．直線l1和l2一定有公共點(s，t) B．直線l1和l2相交，但交點不一定是(s，t) C．必有直線l1∥l2 D．直線l1和l2必定重合

6、 【評析】回歸方程一定通過樣本點的中心(，)；中心相同的樣本點的回歸方程不一定相同． 【考向2】線性回歸直線的理解 【例題】由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回歸直線方程，那么下面說法錯誤的是(　　) A．直線必經(jīng)過點(，) B．直線至少經(jīng)過點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點 C．直線的斜率＝ D．直線和各點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的 重點3：散點圖 【要點解讀】 根據(jù)散點圖可以直觀判斷正負相關以及數(shù)據(jù)所對應的函數(shù)模型 【考向1】正相關與

7、負相關 【例題】(1)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷(　　) 圖1 圖2 A．變量x與y正相關，u與v正相關 B．變量x與y正相關，u與v負相關 C．變量x與y負相關，u與v正相關 D．變量x與y負相關，u與v負相關 解：由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關，故選C. 【評析】點分布在從左下角到右上角的區(qū)域時，兩個變量的相關關系為正相關；點分布在從左上角到右下角的區(qū)域時，兩個變量的相關關系為負相關． (2)下面

8、是一塊田的水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)(單位：kg)： 施化肥量15　 20　　25　　30　35　 40　45 水稻產(chǎn)量 320 330 360 410 460 470 480 (Ⅰ)將上述數(shù)據(jù)制成散點圖； (Ⅱ)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關系嗎？水稻產(chǎn)量會一直隨施化肥量的增加而增長嗎？ 解：(Ⅰ)散點圖如下： (Ⅱ)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量具有線性相關關系，當施化肥量由小到大變化時，水稻產(chǎn)量由小變大．圖中的數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性相關關系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內隨著化肥施用量的增加而增長

9、，不會一直隨化肥施用量的增加而增長． 【評析】任何一組數(shù)據(jù)(二元數(shù)據(jù))都可以作出散點圖，散點圖可以直觀地觀察兩個變量間的關系． 【考向2】散點圖的畫法及相關關系識別 【例題】(1)從左至右，觀察下列三個散點圖，變量x與y的關系依次為________(正相關記作①；負相關記作②；不相關記作③)． (2)科研人員為了全面掌握棉花新品種的生產(chǎn)情況，查看了氣象局對該地區(qū)年降雨量與年平均氣溫的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位分別是mm，℃)，并作了統(tǒng)計： 年平均氣溫 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降 雨量 748 542 5

10、07 813 574 701 432 (Ⅰ)試畫出散點圖； (Ⅱ)判斷兩個變量是否具有線性相關關系． 解：(Ⅰ)作出散點圖如圖所示． (Ⅱ)由散點圖可知，各點并不在一條直線附近，所以兩個變量不具有線性相關關系． 難點列表： 難點 名稱 難度指數(shù) 難點1 求回歸方程及用回歸方程進行估計 ★★★★ 難點2 復數(shù)的模與共軛復數(shù) ★★★★★ 難點詳解： 求線性回歸直線方程的步驟 (1)用散點圖或進行相關性檢驗判斷兩個變量是否具有線性相關關系； (2)求系數(shù)：公式有兩種形式，＝＝，根據(jù)題目具體情況靈活選用； (3)求：＝－； (4)寫出回歸直線方程．

11、 說明：當數(shù)據(jù)較復雜時，題目一般會給出部分中間結果，觀察這些中間結果可確定選用公式的哪種形式求. 難點1：求回歸方程及用回歸方程進行估計 【要點解讀】 (1)回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則無意義． (2)根據(jù)回歸方程進行的估計僅是一個預測值，而不是真實發(fā)生的值． (3)用最小二乘法求回歸方程，關鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計算量大，計算時應仔細小心，分層進行(最好列出表格)，避免因計算而產(chǎn)生錯誤． 【考向1】求線性回歸方程 【例題】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(

12、噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程； (3)已知該廠技術改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低多少噸標準煤？ (參考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)散點圖如下： (2)由系數(shù)公式可知，＝4.5，＝3.5， ＝＝0.7， ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 所以線性回歸方程為＝0

13、.7x＋0.35. (3)x＝100時，＝0.7x＋0.35＝70.35，所以預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低19.65噸標準煤． 【評析】牢記求線性回歸方程的步驟：(1)列表；(2)計算，，，;(3)代入公式求，再利用求，（4）寫出回歸方程. 【考向2】利用線性回歸方程進行預測 【例題】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得=80, =20,=184,=720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關； (3)若該居民區(qū)某

14、家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中， b＝，， 其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋. 解：(1)由題意知n＝10，＝＝＝8， ＝＝＝2，又- n2 =720 -10×82=80， -n＝184－10×8×2＝24， 由此得b＝＝0.3， a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關． (3)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 難點2：非線性相關轉化為線性相關

15、【要點解讀】 通過觀察散點圖，分析其函數(shù)模型，然后轉化成線性相關 【考向1】非線性相關轉化為線性相關 【例題】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程． (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，

16、y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題： ①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ ②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋β u的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝ 解題指導]　切入點：回歸分析中對散點圖的理解，回歸方程的求法和應用；關鍵點：通過換元把非線性回歸方程轉化為線性回歸方程求解． 解]　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． ＝y(tǒng)－ w＝563－68×6.8

17、＝100.6， 所以y關于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關于x的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預報值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結果知，年利潤z的預報值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當＝＝6.8，即x＝46.24時，取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大． 【趁熱打鐵】 1．兩個變量成負相關關系時，散點圖的特征是(　　) A．點分布在從左下角到右上角的區(qū)域 B．

18、散點圖在某方形區(qū)域內 C．散點圖在某圓形區(qū)域內 D．點分布在從左上角到右下角的區(qū)域 2．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　) A．都可以分析出兩個變量的關系 B．都可以用一條直線通過近似表示兩者關系來估計總體的均值 C．都可以作出散點圖 D．都可以用確定的表達式表示兩者的關系 3．下列命題： ①任何兩個變量都具有相關關系； ②圓的周長與該圓的半徑具有相關關系； ③某商品的需求與該商品的價格是一種非確定性關系； ④根據(jù)散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的； ⑤兩個變量間的相關關系可以通過回歸直線把非確定性問題轉化為確定性問題進行研究． 其中正確的

19、命題為(　　) A．①③④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 4．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關于其相關系數(shù)比較，正確的是(　　) A．r2

20、不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為(　　) A．67 B．68 C．69 D．70 6．變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關系數(shù)，則(　　) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 7．某市物價部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調查，得到售價x(元)和銷

21、售量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如下表： 價格x 9 9.5 10 10.5 11 銷售量y 11 10 8 6 5 由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是：＝－3.2x＋a，則a＝______． 8．某數(shù)學老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________cm. 9．假設關于某種設備的使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2

22、 3.8 5.5 6.5 7.0 已知=90，＝112.3. (1)求，； (2)如果x與y具有線性相關關系，求出線性回歸方程； (3)估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？ 10．某班主任為了對本班學生的月考成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析． (1)如果按性別比例分層抽樣，應選男女生各多少人； (2)隨機抽取8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)對應如表： 學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 數(shù)學分數(shù)x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分數(shù)y 72 77

23、 80 84 88 90 93 95 根據(jù)上表數(shù)據(jù)用散點圖說明物理成績y與數(shù)學成績x之間是否具有線性相關性？如果具有線性相關性，求出線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；如果不具有線性相關性，請說明理由． 第四章 1解：正確的只有D選項．故選D. 2解：任兩個變量均可作出散點圖，從散點圖上看有相關關系的才具有分析的價值，無相關關系的則作不出什么結論．故選C. 4解：由相關系數(shù)定義及散點圖所表達含義可知r2

24、∴＝0.67×30＋54.9＝75，因此圖表中的模糊數(shù)據(jù)為75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.故選B. 6解：對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關，故r2＜0＜r1.故選C. 7解：價格的平均數(shù)＝＝10，銷售量的平均數(shù)＝＝8，由＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝－b＝8＋3.2×10＝40.故填40. 8解：根據(jù)題中所提供的信息，可知父親與兒子的身高的對應數(shù)據(jù)可列表如下： 父親的身高(x) 173 170 176 兒子的身高(y) 170 176 182 ?。?73，＝176，∴＝＝＝1，＝－＝176－173＝3. ∴回歸直線方程為＝x＋3，從而可預測他孫子的身高為182＋3＝185(cm)．故填185. 10解：(1)按性別比例分層抽樣，應選男生15×＝3(人)，選女生25×＝5(人)． (2)以數(shù)學成績x為橫坐標，物理成績y為縱坐標作散點圖如圖所示． 從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理與數(shù)學成績線性正相關． 設y與x的線性回歸方程是＝bx＋a，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出≈0.65，≈34.5， 所以y與x的回歸方程是＝0.65x＋34.5.