高等數(shù)學(xué)：第四章 第四節(jié) 換元法、分部積分法

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1、第四節(jié)第四節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法不定積分的換元法不定積分的換元法 xdxxf)( )( ) 1()()( udufxu 第二類換元公式第二類換元公式 xdxf)()2()( )()( tdttftx 第一類換元公式第一類換元公式一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定定理理：假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)； （2 2）函數(shù)）函數(shù))(tx 在在, 上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)； 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. . 證明：設(shè)證明：設(shè)cxFxdxf )()(ctFtdttf )()( )( )()()(aFbFx

2、dxfba 則則 )()( )(tFtdttf 由不定積分換元法有由不定積分換元法有)()( FF baxdxf)( tdttfxdxf)( )()( )()(aFbF 幾點注記：幾點注記：（1）換元的基本思路是方便有效地找出被積函）換元的基本思路是方便有效地找出被積函數(shù)的原函數(shù)。這與不定積分的換元思路相同。數(shù)的原函數(shù)。這與不定積分的換元思路相同。（3）同不定積分的換元法不同的是，在用換元）同不定積分的換元法不同的是，在用換元法求出原函數(shù)后，不必代回原來的變量，這使法求出原函數(shù)后，不必代回原來的變量，這使問題變得更加方便、簡單。問題變得更加方便、簡單。（2）換元的同時一定要相應(yīng)地變換積分的上、

3、）換元的同時一定要相應(yīng)地變換積分的上、下限。下限。 tdttfxdxfba)( )()(（4）同不定積分一樣，）同不定積分一樣，d x 可看作對可看作對 x 的微分的微分 .（5）上述換元公式也可反過來使用。）上述換元公式也可反過來使用。dtttfdxxftxba )()()()(dxxxfba )()( udufxu )()(其中其中,)( a,)( b tdttfxdxftx)( )()()( udufxdxxfxu)()( )()( 例例1：求積分求積分 8031xxd解：解： 令令,3tx ,32tdtxd 當(dāng)當(dāng) x = 0 時，時，t = 0，當(dāng)當(dāng) x = 8 時，時， 8031xx

4、d 20213tdtt 20211)1()(3tdtttt 20)111(3tdtt202 )1(ln23ttt 3ln3 對換元法中的條件常用觀測法加以驗證。對換元法中的條件常用觀測法加以驗證。在在 0 , 2 上，上，3tx t = 2，連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)，所以連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)，所以例例2：求積分求積分)0(022 axdxaa解：令解：令,sintax ,costdtaxd ,0時時當(dāng)當(dāng) x, 1sin, tax時時當(dāng)當(dāng),2 t axdxa022 20222cossin tdtataa 20cos|cos| tdtata 20coscos tdtata 202)2cos1(2 tdta2022

5、2sin2 tta 42 a ,0 t取取想一想，為什么不能取想一想，為什么不能取 t 的范圍為的范圍為?22,0 例例3：計算計算 053sinsinxdxx解：解： 053sinsinxdxx 023)sin1(sinxdxx 03cossinxdxx 03)(sinsinxdx 0sin5225x 000 0sinsin,053 xx上上在在 等等于于零零時時且且僅僅當(dāng)當(dāng) ,2,0 x0sinsin053 xdxx 2 0 xyxxy53sinsin 例例3：計算計算 053sinsinxdxx解：解： 053sinsinxdxx 023cossinxdxx 03|cos|sinxdxx

6、 203cossin xdxx 2cossin3xdxx 203)(sinsin xdx 2)(sinsin3xdx20sin5225 x 2sin5225x )520()052( 54 例例4：證明：證明（1）若）若 f (x) 在在 - a , a 上連續(xù)且為偶函數(shù)，上連續(xù)且為偶函數(shù)， aaaxdxfxdxf0)(2)(則則（2）若）若 f (x) 在在 - a , a 上連續(xù)且為奇函數(shù)，上連續(xù)且為奇函數(shù)，0)( aaxdxf則則證明：證明： aaaaxdxfxdxfxdxf00)()()(對右邊第一個積分作變換：對右邊第一個積分作變換：tx tdxd ,atax 時時當(dāng)當(dāng),0,0 tx時

7、時當(dāng)當(dāng)證明：證明： aaaaxdxfxdxfxdxf00)()()(對右邊第一個積分作變換：對右邊第一個積分作變換：tx tdxd ,atax 時時當(dāng)當(dāng),0,0 tx時時當(dāng)當(dāng) 0)(axdxf 0)(atdtf axdxf0)( aaxdxf)( axdxfxf0)()( aaaxdxfxfxdxf0)()()(即即 axdxf0)( axdxf0)(（1）若）若 f (x) 為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，即)()(xfxf aaaxdxfxdxf0)(2)(（2）若）若 f (x) 為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，即)()(xfxf 0)( aaxdxf aaaxdxfxfxdxf0)()()(即即例例5：求

8、：求 5524231sinxdxxxx解：設(shè)解：設(shè)1sin)(2423 xxxxxf1)()()(sin)()(2423 xxxxxf1sin2423 xxxx)(xf ,5,5)(上上為為奇奇函函數(shù)數(shù)在在對對稱稱區(qū)區(qū)間間即即 xf01sin552423 xdxxxx例例6：求：求 22223cos)sin( xdxxx解：解： 22223cos)sin( xdxxx 2223cos xdxx 2222cossin xdxx0對對稱稱性性 2022cossin2 xdxx 2022sin21 xdx 2024cos121 xdx2044sin41 xx 8 例例7 7 計算計算xdxxxee

9、43)ln1(ln1 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 解：原式解：原式xdxxeeln)ln1(ln143 xdxxeeln)ln1(ln143 換元時，若不寫出代換變量，則不要換上、下限。換元時，若不寫出代換變量，則不要換上、下限。例例8 8 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt xdxxxcossincos xdxxxxxxcossinsincossincos21 xdxxxx)

10、cossinsincos1(21 xxxxdxcossin)cos(sin2Cxxx |cossin|ln2原式原式例例8 8 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt xdxxxcossincosCxxx |cossin|ln2原式原式 =20|cossin|ln2 ttt4 奇函數(shù)奇函數(shù)例例9 9 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114d

11、xxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積證證 （1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設(shè)）設(shè)tx .)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf可以證明可以證明 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 例例11：設(shè)：設(shè) 31)2(xdxf求求解：解：,001)(2 xexxxfx 31)2(

12、xdxf 2xu 11)(uduf 11)(xdxf 012)1(xdx 10 xdex01331 xx10 xe e137 二、二、 定積分的分部積分法定積分的分部積分法設(shè)設(shè) u = u (x) , v = v(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上有連續(xù)導(dǎo)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則數(shù)，則, )(vuuvvu , )(uvvuvu baxdvu baxduvvu )( babaxduvxdvu )( bauv baxduv baxdvu bauv baxduv （1） bavdu或或 bauv baudv（2） udvvuvdu幾點注記：幾點注記： bababaudvuvvdu（1）使用定積分的分部積分公

13、式的方法或技巧）使用定積分的分部積分公式的方法或技巧同不定積分的情形完全相同，其目的還是要快同不定積分的情形完全相同，其目的還是要快捷、方便地求出原函數(shù)。捷、方便地求出原函數(shù)。（2）使用分部積分法不需要變換積分上、下限）使用分部積分法不需要變換積分上、下限. （3）分部積分法常與換元法結(jié)合使用。）分部積分法常與換元法結(jié)合使用。例例1：計算：計算 10 xdexx解：解： 10 xdexx 10 xedx 10 xex 10 xdex 10 xee )1( ee1 例例2：計算：計算 210arcsinxdx解：解： 210arcsinxdx 210arcsinxx 210)(arcsinxdx

14、21arcsin21 21021xdxx12 210221)1(21xxd12 21021x 12312 例例3：求：求 402cos1 xdxx解：冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分，可考慮用解：冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分，可考慮用分部積分法，設(shè)法去掉分部積分法，設(shè)法去掉 x 。 402cos1 xdxx 402cos2 xdxx 4022sec xdxx 40)tan(21 xdx40tan21 xx 40tan21 xdx8 40cosln21 x2ln418 cxxdx |cos|lntan例例4：設(shè)：設(shè) f (x) 有一個原函數(shù)有一個原函數(shù) ，求，求 2)( xdxfx解：解：xxsin )

15、sin()(xxxf 2sincosxxxx 2)( xdxfx 2)(xfdx 2)(xfx 2)(xdxf 2sincos xxxx 2sin xx14 例例5 5 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例6 6 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xd

16、fx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf, 0sin)1(11 dtttf)(sin)(222 xxxxf,sin22xx 例例6 6 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx, 0sin)1(11 dtttf)(xf ,sin22xx 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 例例7 7 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nn

17、nnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 20sin xdxInn 2200)(cos)(sindxxfdxxf 201cossin xxdn 201cossin xxn x2sin1 0dxxxnn 2022cossin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止證證 20sin xdxInn 201cossin xxdn 201cossin xxn x2sin1 0dxxxnn 2022cossin)1(

18、dxxxnn 2022)sin1(sin)1( ,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是21 nnInnI4223 nnInnI,第五章作業(yè)第五章作業(yè)第四節(jié)：換元積分法與分部積分法第四節(jié)：換元積分法與分部積分法習(xí)題習(xí)題5 4:1(3, 11, 12, 15, 18),2(1,2, 3, 10) , 3(2, 3) , 7(1) 思考題思考題1分析分析下列下列求求 2221

19、xxdx的解法中的解法中有有無無錯誤，錯誤，若若有有，請請指出，指出，并寫出正確的解法并寫出正確的解法. 解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題思考題1解答解答計算中第二步是錯誤的計算中第二步是錯誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題思考題2設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.思考題思考題2解答解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 10)2(21xfx )0()2(4125ff . 2 設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx. 10)2(21dxxf2)2(f 102)2(41xdxf25 10)2(41xf