面對(duì)高考《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》同課異構(gòu)的教學(xué)啟示

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 “兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的“同課異構(gòu)”之思考 寧夏育才中學(xué)孔德學(xué)區(qū) 馬海榮 2009年4月11日，寧夏育才中學(xué)邀請(qǐng)上海閔行區(qū)專家在寧夏育才中學(xué)開展“聚焦課堂”活動(dòng).此次所選課題為普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版必修④第三章“三角恒等變換”中的“3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”.上海的楊家政專家和我校的三位教師對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了“同課異構(gòu)”。本文筆者也是此次做課者之一，通過此次活動(dòng)，對(duì)課堂教學(xué)有了些思考與感悟，寫出來與大家交流、討論。 1 教學(xué)過程設(shè)計(jì)介紹 專家的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)： 環(huán)節(jié)一，復(fù)習(xí)引入. 復(fù)習(xí)

2、第一章中學(xué)過的六組誘導(dǎo)公式 其中 和上節(jié)課學(xué)過的兩角差的余弦公式，并著重強(qiáng)調(diào)了第三組、第五組誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式. 環(huán)節(jié)二，提出問題，推導(dǎo)公式 問題1：可否用和的三角函數(shù)表示的余弦呢？ 問題2：已知可用和的三角函數(shù)表示的余弦，可否用于表示及的正弦呢？已知的和差角余弦公式是否有助于正弦公式的推導(dǎo)呢？（對(duì)于問題1教師引導(dǎo)學(xué)生用替換推導(dǎo)公式，對(duì)于問題2先回顧了誘導(dǎo)公式三及公式五，然后兩人一組，一人推導(dǎo)，一人推導(dǎo)，然后再相互交換推導(dǎo)） 問題3：如何用和的正切值表示及的正切呢？（師生共同解決） 環(huán)節(jié)三，強(qiáng)調(diào)公式特征. 環(huán)節(jié)四

3、，例題、習(xí)題講解 例1已知是第四象限角，求的值. 思考：由以上可以看到.那么對(duì)任意的角都成立嗎？會(huì)用幾種方法證明？ 變式：（1）已知且是第二象限角，求的值 （2）若，求. 例2 利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值. （1）； （2）； （3） 變式：（1）； （2）； （3）化簡； （4）將化簡成一個(gè)三角函數(shù)形式. （推導(dǎo)完公式后，由于時(shí)間關(guān)系，只解決了例題1及例題1中的變式（1）） 環(huán)節(jié)五，課堂小結(jié)與作業(yè).小結(jié)時(shí)給出了6個(gè)公式的邏輯聯(lián)系框圖.. 寧夏育才中三位教師教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)（用A、B、C分別代表三位教師） 教師A的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)： 環(huán)節(jié)一，設(shè)置問題

4、，引發(fā)思考，引入新課 教師和同學(xué)們簡單回顧了第一章中學(xué)過的誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，，復(fù)習(xí)了兩角差的余弦公式，給出思考題 能否由公式出發(fā)，推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦公式，解決上述問題？ 環(huán)節(jié)二，公式推導(dǎo)（教師A將這節(jié)課劃分為兩課時(shí)，第一課時(shí)推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦公式，第二課時(shí)推導(dǎo)兩角和與差的正切公式） 環(huán)節(jié)三，分析公式特點(diǎn)及結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生畫出公式的邏輯聯(lián)系框圖 環(huán)節(jié)四，公式的應(yīng)用 隨堂練習(xí)1 利用正弦、余弦的和（差）角公式，求下列各式的值. （1）； （2）； （3） . 例1 已知是第四象限角，求的值. 思考： （1）由例1

5、的解答可以看到，在本題條件下有.那么對(duì)任意的角，此等式成立嗎？若成立，如何證明？ （2）若例1中去掉“是第四象限角”，對(duì)例1的結(jié)果和求解過程會(huì)有什么影響？ 例2 利用正弦、余弦的和（差）角公式計(jì)算下列各式的值. （1）； （2）. 變式訓(xùn)練 化簡：（1）；（2）. （隨堂練習(xí)1學(xué)生很輕松的給于了解答，例1師生分析后，由教師板演在黑板上，起到了示范作用，并在解答過程中點(diǎn)出了式子和，為后續(xù)學(xué)習(xí)作了伏筆.例2及變式訓(xùn)練由學(xué)生解決，但變式訓(xùn)練的第（2）小題沒有在課堂上給學(xué)生給出） 環(huán)節(jié)五，課堂小結(jié)與作業(yè)（小節(jié)中強(qiáng)調(diào)了三個(gè)方面：①公式的邏輯聯(lián)系框圖；②對(duì)公式的認(rèn)識(shí)；③例1的作用，即

6、解題過程中要注重思維的有序性和表述的條理性.） 教師B的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)： 環(huán)節(jié)一，引入. 1.上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，這個(gè)公式是兩個(gè)角差的余弦值與兩個(gè)角的正弦值、余弦值之間的關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們默寫該公式. 2. 學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，那么自然就想到兩角和的余弦以及兩角和與差的正弦、正切公式.（板書課題） 環(huán)節(jié)二，新課講解，推導(dǎo)公式，并在每個(gè)公式得出后給出例題及練習(xí). 例1 不查表計(jì)算的值. 練習(xí) 不查表求的值. 例2 不查表計(jì)算 （1）； （2） 練習(xí) 求值： 例3 不查表求（1）；（2）. 練習(xí) 求值： （前兩個(gè)例題及練習(xí)學(xué)生解答的較好，

7、兩角和與差的正切公式推導(dǎo)出來后，時(shí)間已不多，師生對(duì)例3的處理有點(diǎn)倉促，尤其是例3的第（2）小題，例3中的練習(xí)沒有解決掉.） 環(huán)節(jié)三，課堂小結(jié)與作業(yè)（給出了公式的邏輯聯(lián)系框圖）. 教師C的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)： 環(huán)節(jié)一，引入. 若求的值. 環(huán)節(jié)二，推導(dǎo)公式.，并給出公式的邏輯聯(lián)系框圖. 環(huán)節(jié)三，例題及練習(xí). 跟蹤練習(xí)： ； ； = . 例1 已知是第四象限角，求的值. 變式引申：由上題解答過程可以看到 ，那么對(duì)任意的角，此等式成立嗎？若成立，你會(huì)用幾種方法證明？ 環(huán)節(jié)四，課堂小結(jié)

8、及作業(yè).（小結(jié)內(nèi)容：①在公式的探索過程中應(yīng)用了什么樣的數(shù)學(xué)思想？②對(duì)公式的對(duì)稱美與簡潔美你有何體會(huì)？③學(xué)會(huì)思考問題時(shí)思維的有序性和表述的條理性） 2 對(duì)課本意圖的研究 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）和《數(shù)學(xué)必修④教師教學(xué)用書》對(duì)本節(jié)課給出的參考課時(shí)是1課時(shí)，以探究形式呈現(xiàn)本節(jié)知識(shí)，主要任務(wù)是探究兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦、正切公式，并設(shè)置了兩道例題.解讀課本，本節(jié)課一是以學(xué)生為主推導(dǎo)公式，二是發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力。課標(biāo)要求是能從兩角差的余弦公式出發(fā)導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并了解他們的內(nèi)在聯(lián)系.課本第一道例題是運(yùn)用和差角公式的基礎(chǔ)題，主要目的是為了訓(xùn)

9、練學(xué)生思維的有序性，培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，并注重解題過程中表述的準(zhǔn)確性、簡潔性.課本第二道例題體現(xiàn)了對(duì)公式全面理解上的要求，考查學(xué)生的逆向思維. 3 教學(xué)實(shí)際的研究 通過對(duì)我校高中教師與學(xué)生的調(diào)查，如果按照教參上1課時(shí)的要求上課，教師很難完成教學(xué)任務(wù)，學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的理解也是夾生的，另外本節(jié)課也是學(xué)生初次使用恒等變換去推理、解答問題，他們分析問題的能力和邏輯推理的能力都有所欠缺，并且面對(duì)新問題如何運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法去解決存有困惑.因此，本節(jié)課計(jì)劃2課時(shí)較為恰當(dāng).如何劃分本節(jié)知識(shí)及開展教學(xué)，這次的“同課異構(gòu)”展現(xiàn)了兩種模式：一是有三位老師把五個(gè)公式在本節(jié)課都推導(dǎo)出來；二是教師A本節(jié)課只推導(dǎo)

10、了公式，把推導(dǎo)公式安排在下一課時(shí).（意圖：基于學(xué)情分析，結(jié)合教材，把本節(jié)課中的兩個(gè)難點(diǎn)分散在兩節(jié)課中，分散解決.） 4 課例教學(xué)反思 4.1 教學(xué)對(duì)象研究的反思 此次四節(jié)課的教學(xué)對(duì)象均為寧夏育才中學(xué)高一年級(jí)的學(xué)生，生源地為寧夏南部山區(qū)學(xué)生，學(xué)生整體基礎(chǔ)較為薄弱.學(xué)生在必修④第一章學(xué)習(xí)了六組誘導(dǎo)公式，以及第三章第一節(jié)中的兩角差的余弦公式，具備了一定的知識(shí)基礎(chǔ)，但由于學(xué)生初次使用恒等變換去推理、解答問題，他們分析問題的能力和邏輯推理的能力都有所欠缺，并且面對(duì)新問題如何運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法去解決存有困惑.另外，從此次的4節(jié)課來看，學(xué)生的運(yùn)算能力普遍較差，對(duì)三角函數(shù)中的任意角的理解還不夠深刻，對(duì)數(shù)

11、學(xué)中的換元法的思想也理解不夠，在公式的推導(dǎo)過程中對(duì)以替換顯得有些茫然.在本節(jié)課中學(xué)生的困難點(diǎn)有兩個(gè)：一是利用誘導(dǎo)公式五（或六）結(jié)合兩角和（差）的余弦公式推導(dǎo)兩角和（差）的正弦公式時(shí)如何有效的對(duì)角進(jìn)行重新組合，另一個(gè)難點(diǎn)是兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程中的化簡.這兩個(gè)難點(diǎn)也在這節(jié)課中突出的表現(xiàn)了出來. 4.2 新課引入的對(duì)比 分析四節(jié)課的引入，上海的楊家政老師在引入新課上做的非常好、非常到位，關(guān)注了學(xué)生已有的知識(shí)，依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)” 理論，回顧了舊知，激發(fā)了學(xué)生探究新知的興趣；A教師引入新課時(shí)對(duì)誘導(dǎo)公式只是提到，沒有具體寫出來，給學(xué)生的問題方向不夠具體；B教師的引入沒有調(diào)動(dòng)起學(xué)生舊有的知識(shí)；

12、 C教師的引入中給的問題有一定的難度，對(duì)學(xué)生思維干擾較大.. 4.3 例題的選擇與處理的反思 從四位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)中可以看到各自選擇的例題.專家、教師A和教師C的第一道例題都采用了課本上的例3，其中專家改變了例題中的一個(gè)條件，教師A由于本節(jié)課只設(shè)計(jì)了推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦公式，故去掉了例題中計(jì)算的值，教師C全部采用了課本例題，而教師B沒有采用課本的例3. 從例題實(shí)施情況看，專家對(duì)例1進(jìn)行了講解，并與課本例題對(duì)比，有效的加深了學(xué)生對(duì)該例題后的思考題的理解，由于課堂時(shí)間不夠，后面的習(xí)題沒有處理；教師A對(duì)設(shè)計(jì)例1進(jìn)行了詳細(xì)的講解，并板書在黑板上，且有意保留了運(yùn)算過程中的和，這是后續(xù)知識(shí)的

13、一個(gè)伏筆，另外對(duì)例1后設(shè)計(jì)的思考題由學(xué)生進(jìn)行了思考、回答.例2及其變式訓(xùn)練也由學(xué)生完成，但變式訓(xùn)練（2）教師在課堂上舍掉了；教師B設(shè)計(jì)的例題在課堂上都進(jìn)行了，但例3中第（2）題難度較大，處理的倉促；教師C只設(shè)計(jì)了例1. 教學(xué)除了研究教學(xué)內(nèi)容、教參、課標(biāo)以外，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生，因此選擇例題時(shí)要充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況.學(xué)生學(xué)完誘導(dǎo)公式已經(jīng)間隔了較長一段時(shí)間，且剛剛學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，加上本節(jié)課推導(dǎo)出的公式，學(xué)生在認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、功能和應(yīng)用上都有些生澀，因此例題難度不應(yīng)較大，容量也不應(yīng)過多. 4.4 課堂小結(jié)的反思 四位教師的課堂小結(jié)都是在馬上下課時(shí)進(jìn)行的，一是時(shí)間緊，總結(jié)的不夠細(xì)致；二是

14、基本上都是教師總結(jié)的，學(xué)生參與的少.課堂小結(jié)應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立自主的總結(jié)，進(jìn)一步澄清概念、梳理知識(shí)，總結(jié)方法，教師是幫助者，對(duì)學(xué)生總結(jié)的不到之處加以補(bǔ)充，完善.課堂教學(xué)結(jié)束階段的概括、總結(jié)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容或教學(xué)活動(dòng)可以起到系統(tǒng)概括、提煉升華的作用，而且能拓寬教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲.因此，我們要根據(jù)實(shí)際需要，鼓勵(lì)學(xué)生做好課堂小結(jié)，教師要設(shè)計(jì)好課堂結(jié)束階段的教學(xué)環(huán)節(jié). 此次的“同課異構(gòu)”使我們看到了數(shù)學(xué)課堂的多樣性，可“同課異構(gòu)”中的“同”和“異”又是什么呢？顯然，“同”是教學(xué)內(nèi)容，是研究“教什么”的問題，是方向問題，“異”是教學(xué)方法，是研究“怎么教”的問題,是技巧問題。因此，“同課異構(gòu)”

15、中我們更需要注重“同”，“異”的作用是更好的在課堂教學(xué)中落實(shí)“同”.In the modern time, mainly in small and medium-sized enterprises, Foshan steel industry is the speed development by leaps and bounds, and have made remarkable achievements in upstream, but also face factors of production such as energy, raw material cost, continuously high indirectly lead to cost pressures in iron and steel 專心---專注---專業(yè)