《點集拓撲學》第5章§5.1第一與第二可數(shù)性公理

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1、 第5章有關可數(shù)性的公理 § 5.1 第一與第二可數(shù)性公理 本節(jié)重點： 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間的定義及相互間的關系； 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間有關連續(xù)映射的不變性、 有限可積性、可遺傳性 等問題； 掌握滿足第一可數(shù)性公理的空間中在一點鄰近的性質及序列的性質； 掌握常見的空間哪些空間是第一可數(shù)性公理空間 ，哪些是第二可數(shù)性公理空間. 從§ 2.6節(jié)的討論可知，基和鄰域基對于確定拓撲空間的拓撲和驗證映射的連續(xù)性都有 著重要的意義，它們的元素的“個數(shù)”越少，討論起來越是方便.因此我們試圖對拓撲空間 的基或鄰域基的元素“個數(shù)”加以限制， 但又希望加了限制的拓

2、撲空間仍能包容絕大多數(shù)常 見的拓撲空間，如：歐氏空間、度量空間等.以下的討論表明，將基或鄰域基的元素的“個 數(shù)”限定為可數(shù)是恰當?shù)? 某拓撲空間的一個基或在某一點處的一個鄰域基， 如果是一個可數(shù)族， 我們則分別稱之 為一個可數(shù)基和一個可數(shù)鄰域基. 定義一個拓撲空間如果有一個可數(shù)基， 則稱這個拓撲空間是一個滿足第二可數(shù) 性公理的空間，或簡稱為 V空間. 定理實數(shù)空間R滿足第二可數(shù)性公理 證明 令B為所有以有理數(shù)為它的兩個端點的開區(qū)間構成的族?顯然 B是一個可數(shù)族. ■ F 設U是R中的一個開集，對于每一個x€ U,存在實數(shù) ?>0,使得以x為中心以?為半 徑的球形鄰域 B (

3、x, ) =(x- ■ ,x+ ) _ U 選取有理數(shù) 使得：扛丄 于是我們有 ?這也就是說 U可以表示為B中某些成 員之并?這證明了 B是R的一個基. R有可數(shù)基B,所以R滿足第二可數(shù)性公理. 由于離散空間中的每一個單點子集都是開集， 而一個單點集不能表為異于自身的非空集 合的并，因此離散空間的每一個基必定包含著它的所有單點子集. 所以包含著不可數(shù)多個點 的離散空間是不滿足第二可數(shù)性公理的空間. 定義一個拓撲空間如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基， 則稱這個拓撲空間 是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間或簡稱為 :空間. 定理每一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明

4、設X是一個度量空間，x€X則所有以x為中心以有理數(shù)為半徑的球形鄰域構成 x 處的一個可數(shù)鄰域基. 例不滿足第一可數(shù)性公理的空間的例子. 設X是包含著不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間. 我們證明X在它的任一點處都沒有可數(shù)鄰域 基?因此X不滿足第一可數(shù)性公理. 用反證法來證明這一點.設X在點x€X處有一個可數(shù)鄰域基 則對于任何y€ X,y豐x, ■匚八"…八\ ■工，，因此.一'：，將這個包含關系式的兩邊分別 對于X中所有的異于x的點求并，可見 ' 由于X是一個不可數(shù)集，因此上式的左邊是一個不可數(shù)集； 由于“中只有可數(shù)個元素， 并且每一個元素的補集都是可數(shù)集，因此上式的右邊是一個可數(shù)集.矛

5、盾. 定理每一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明設X是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間， B是它的一個可數(shù)基.對于每一個x€ X, 根據(jù)定理, D E ={B € Bx € B} 是點x處的一個鄰域基，它是B的一個子族所以是可數(shù)族. 于是X在點x處有可數(shù)鄰域 基B. 定理，而前面已經(jīng)說過包含著不可數(shù)多個點的離散空間不滿足第二可數(shù)性公理. 定理設X和Y是兩個拓撲空間，f:X -Y是一個滿的連續(xù)開映射. 如果X滿 足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理），則 Y也滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可 數(shù)性公理）.（這是關于連續(xù)映射下是否保持的性質 ） 證明 設X滿足

6、第二可數(shù)性公理，，一是它的一個可數(shù)基?由于 f是一個開映射， J ={f（B）|B € ■ _}是由Y中開集構成的一個可數(shù)族.只需證明 J是Y的一個基.設U是Y中 的一個開集，則」'（U）是X中的一個開集.因此存在 由于f是一個滿射，我們有 即U是 Bo中某些元素的并.這完成 Bq是 Y的一個基的證明. 本定理關于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補證. 根據(jù)定理，拓撲空間滿足第一可數(shù)性公理和滿足第二可數(shù)性公理的性質都是拓撲不變性 質. 拓撲空間的某種性質稱為可遺傳性質， 如果一個拓撲空間具有這個性質那么它的任何一 個子空間也都具有這個性質. 例如離散性，平庸性都是

7、可遺傳的性質，但連通性卻明顯是不可遺傳的. 拓撲空間的某種性質稱為對于開子空間 （或閉子空間）可遺傳的性質，如果一個拓撲空 間具有這個性質那么它的任何一個開子空間（閉于空間）也都具有這個性質. 例如，局部連通性雖然不是可遺傳的性質， 但對于開子空間卻是可遺傳的. （參見§ 4.4 習題第3題）將來我們會接觸到一些對閉子空間可遺傳的性質. 緊接著的兩個定理表明拓撲空間滿足第一 （或第二）可數(shù)性公理的性質是可遺傳的， 也 是有限可積的. 定理滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間的任何一個子空 間是滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間. 證明 設X是一個滿足第二

8、可數(shù)性公理的空間， B是它的一個可數(shù)基.如果 Y是X的一 個子集，根據(jù)定理 ，集族- I ={BA Y|B€ B}是子空間丫的一個基，它明顯是可數(shù)族. 本定理關于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補證. 定理設■--J是n個滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理） 的空間?則積空間 -< -―：滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）. 證明 我們只要證明n = 2的情形. 設 都是滿足第二可數(shù)性公理的空間， 月1，^2分別是它們的可數(shù)基?根據(jù)定理 3. 2 ? 4,集族 是積空間■- j的一個基，它明顯是一個可數(shù)族. 本定理當n=2時關于滿足第一可數(shù)性公理的情形證

9、明類似，請讀者自己補證. 根據(jù)定理，定理，我們立即可知：（事實上，這個推論也容易直接證明（參見習 題 1）.） 推論維歐氏空間'、的每一個子空間都滿足第二可數(shù)性公理. 本節(jié)的余下部分我們討論滿足第一可數(shù)性公理的空間中序列的性質. 讀者將會看到在這 種拓撲空間中序列的性質與我們在數(shù)學分析中見到過的有著較多的類似之處，特別是定理 定理設X是一個拓撲空間?如果在 x€X處有一個可數(shù)鄰域基，則在點 x 處有一個可數(shù)鄰域基 ■-使得對于任何i €有 即 證明 設「：｝是點x €X處的一個可數(shù)鄰域基?對于每一個 i € ' ?,令 容易直接驗證 ■' 便是點x處的滿足定理要求的一個可數(shù)鄰

10、域基. （即、：?是個鄰域基套，一個套一個的?這個定理常用來選取趨向于 x的序列中的 點?） 定理設X是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間， A —X.則點x€X是集合A 的一個凝聚點的充分必要條件是在集合 A— ｛x｝中有一個序列收斂于 x ? 證明 定理的充分性部分的證明已見于第二章定理 ，以下完成必要性部分的證 明. 設x€X是集合A的一個凝聚點，并且根據(jù)定理 ，滿足條件：對于每一個，i € ；., 由于-「二'；L ' ,可選取■：--：'上：，.序列「；｝是在 A一｛x｝ 中的.我們證明lim ; =x(x )如下： 如果U是x的一個鄰域，則由于 -■- > :.是x

11、處的一個鄰域基套，所以存在 N>0使得 .于是當i時，我們有 定理 設X和Y是兩個拓撲空間，其中X滿足第一可數(shù)性公理；x € X.則映射f:X fY 在點x€X處連續(xù)的充分必要條件是：如果X中的序列｛ ：｝收斂于X,則Y中的序列｛f( : )｝ 收斂于f(x). 證明 定理的必要性部分的證明已見于定理 ，以下完成充分性部分的證明. 假設定理中陳述的條件成立，我們要證明映射 f:X fY在點x處連續(xù)?用反證法?假設 映射f在點x處不連續(xù)，這也就是說 f(x)有一個鄰域V,使得「(V)不是x的鄰域.而這 又意味著，x的任何一個鄰域 U都不能包含在「' (V)中，即對于x的任何一個鄰域

12、 U,包 含關系不成立，也就是說 丿n 忑 總括上一段的論證可見： f (x)有一個鄰域 V使得對于x的任何一個鄰域 U有 /(!7)nr^0 現(xiàn)在設 是點x處的一個可數(shù)鄰域基, 滿足條件：對于每一個 J 一 -：-.選取"：-■：使得 f( ：) € f(U) n /',即」」汀 ?明顯地，序列｛ :｝ 收斂于x.然而序列｛f( ；)｝在f (x)的鄰域V中卻沒有任何一個點，所以不收斂于f (x) ?這 與反證假設矛盾?因此反證假設不成立，所以映射 f在點x處連續(xù). 定理 設X和Y是兩個拓撲空間，其中X滿足第一可數(shù)性公理. 則映射f:X fY是 I. 一個連續(xù)映射的充分必要條件是：如果 X中的序列｛ ；｝收斂于x€ X,貝V Y中的序列 X， ｛f( ；)｝收斂于 f (x). 證明 這是因為一個映射是一個連續(xù)映射當且僅當這個映射在它的定義域的每一個點 處連續(xù)?（參見定理 作業(yè)： P139 1. 6 .