《點集拓撲學》§63Urysohn引理和Tietze擴張定理

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1、§5.3Urysohn引理和Tietze擴張定理 本節(jié)重點： 掌握Urysohn引理的內容(證明不要求)； 掌握定理 定理6.3.1［Urysohn引理］設X是一個拓撲空間，［a,b］是一個閉區(qū)間.則X是一個正規(guī)空間當且僅當對于X中任意兩個無交的閉集A和B，存在一個連續(xù)映射f:X—［a,b］使得當x€A時f(x)=a和當x€B時f(x)=b. 證明：由于閉區(qū)間同胚于［0,1］,因此我們只需對閉區(qū)間［0,1］的情形給以證明.充分性:設A,B是X中的兩個閉集，f:X［0,1］是一個連續(xù)映射使得當xA［0,—),(,1］ 時，f(x)0,xB時f(x)1.由于集合22是［0,1］中兩個不

2、相交的開集，因此. 1111Uf(［0-))和Vf((,1］)是X中兩個不相交的開集，并且AU,BV,22 因此X是一個正規(guī)空間. 必要性.設X是一個正規(guī)空間，A,B是X中兩個不相交的閉集，證明的主要思想是首先利用X的正規(guī)性在X中構造一個以［0,1］中的有理數為指標集的一個開集族,然后利用這個開集族定義連續(xù)映射f:X［0,1］,使得xA時,f(x)0,xB時f(x)1. 第一步，設Q1是［0,1］中的全體有理數集合，對rQ1我們將定義一個與它相對應的開集Ur,使得當r,qQ1,rq時,AUqXB,這樣,開 集族{Ur|rQJ在包含關系下是一個有序集，而且隨著開集Ur的指標r的增大所對

3、應的開集也就越大. 由于Q1是可數集合，我們應用歸納的方式來定義開集族{Ur|rQ1}.先將Q1排列成一個無限序列，即建立一一映射g:ZQ1,為了方便，不失一般性，設g(1)1和g(2)0是這個序列的前兩個元素.首先,AXB，令U1XB.又由于X是一個正規(guī)空間，由定理VAVVXBU。V,假設對于n2,集族{5,5,5(3),從⑺}已有定義，而且當g(i)g(j)時AUg(i)Ug(i)Ug(j)XB,對于9(HQ1,由于集合{g(i)|1in,g(i)g(n1)}是一個有限集，而且有g(2)0{g(i)|1in,g(i)g(n1)},故這個集合必有最大元，設 pmax{g(i)|1in,g

4、(i)g(n1)},又集合{g(i)|1in,g(i)g(n1)}是一個有限集合，而且g(1)1{g(i)11in,g(i)g(n1)},令 qmin{g(i)|1in,g(i)g(n1)}. 由歸納假設知一定有AUpUpUqXB.由于UpUq,由定理XVUpVVUqUg(n1)V,則集族{Ug(1),Ug(2),,Ug(n),Ug(n1)}也滿足:當g(i)g(j)時，AUg(i)Ug(i)Ug(j)XB.這是因為對g(i)g(j): ① 若i,j{1,2,,n}時,由歸納假設知包含關系成立. ② 若in1時,由于g(n1)g(j),則必有g(j)q. 即g(j)min{g(i)|

5、1in,g(n1)g(i)},因此由g(n1)的定義及歸納假設有AUg(n1)VVUg(j)XB. ③ 若jn1,貝Ug(i)g(n1),貝U必有g(i)p,即g(i)max{g(i)|1in,g(i)g(n1)}.因此由g(n1)定義及歸納假設有AUg("Ug(0VUgj)XB. (在包含關系的意義下 ). 下面,我們令Q1 「1121 {1,0,,,, 12 5J 3 JJ 4 J }來說明上面的歸納定義集族 2334 55 5 5 {Ur|rQ1}的過程. 在定義了U1 XB,U0之 后， 疋 義

6、 U1于U°,U1之間使之滿足 2 因此由歸納原理我們構造了集族{Ur|rQ1}滿足條件：對p,qQ1,AUpUpUqXB,而且隨著指標r的增加，Ur也隨著增大U0U1U1U1,再定義U1于U°,U1之間，使之滿足U0U1U1U1.接著定 223P予予P__1 義U2于U1,U1之間使之滿足U1U2U2U1,對于r-,由于322737341112 max{C}-min{-,-,-,1},定義U°55U丄，…至第九步我們定義5,由于4323zzm號 1112132__ma?,-廠廠}mir{-,廠,1},因此使U2滿足U1u?H6,….如圖 5435243事32? 第二步，將

7、第一步定義的集族{UrlrQJ中的指標集擴張成實數空間R中的有理數Q,具體作法是令UpP0這樣,易驗證開集族{Ur|rQ}滿足：當PXp1 pq時,UpU；Uq. 第三步對xX,定義Q(x){r|xUr},即Q(x)由所有包含x的開集Ur的下標構成.則對任意rQ(x)，必有r0,(這是因為r0時,U「二，因此/Ur),且對于r1,必有rQ(x),(因為r1時,Ur=X，因此xUr),因此Q(x)有下界，從而Q(x)有下確界,且下確界必屬于[0,1],定義： 第四步，驗證第三步中定義的映射f就是滿足要求的映射. (1) 設xA,則對rQ,r0,均有xAUr,因此Q(x){r|r0},從而

8、f(x)infQ(x)0. 設xB,由定義有U1XB,且r1時,UrU1,因此對于任意rQ若x必有UrX,因此必有r1,因此Q(x){r|r1},從而f(x)infQ(x)1. (2) 先證下面兩個結論： (a)xUrf(x)r,(b)x—Urf(x)r. 如果xUr,由集族{Ur|rq定義有對任意sr,xUs,因此Q(x){p|xUp}{s|sr},從而 如果X—Ur,則對任意sr,X—Us,因此Q(x){p|xUp}{s|sr},從而 (3) 證明f:X[0,1]是一個連續(xù)映射. 設X。X,(c,d)是一個含有f(x。)的R中的開區(qū)間，我們只需證明存在X。的鄰域U使得f(U)

9、(c,d).為此，取有理數p(c,f(xo)),q(f(xo),d).令UUqUp,(見圖 ① U是一個開集，這是因為UUqUp=UqUp. ② xoU,這是因為f(x。)q,且f(x。)q,由第三步易見x。Uq,怡一Up,因此x。UqUp. ③ f(U)(c,d),這是因為對xUUqUp,則xUqUq,因此f(x)q，又x—Up,因此x—Up,從而f(x)p,從而f(x)[p,q](c,d)(見圖，從而由習題§f Urysohn引理說明對于正規(guī)空間中的任何兩個不相交的閉集，存在連續(xù)映射f：X[0,1]使得f(A){0},f(B){1},也就是說A,B可用一個連續(xù)函數分離，回想一下正則

10、空間的定義，我們會有這樣一個思考:Urysohn引理可推廣到正則空間中去嗎？即就是說對于正則空間中的點x及其中不包含x的閉集F,是否一定存在連續(xù)映射f：X[0,1]使得f(x)0,f(F)1.由定理 U,XF,U0xVVXFV,這和Urysohn定理的證明是一致的，但要5(或對2于除0,1之外的一個有理數p)滿足條件U0U,5U1,只有x的正則性 22顯然是不可能的.為此,將正則空間中的點與不含此點的閉集F要用連續(xù)映射分離我們有下面的分離公理： 定義設X是一個拓撲空間，如果對于X中任意點xX和X中任何一個不包含點x的閉集F,存在一個連續(xù)映射f：X[0,1]使得f(x)0,以及對于任意yF,f(y)1,則稱拓撲空間X是一個完全正則空間. 定理二空間中任何一個連通子集如果包含著多于一個點，則它一定是一-個不可數集 證明 設C是7；空間 X中的一個連通子集?如果C不只包含著一個點，任 意選取，x,y€X,x工y寸于7空間X中的兩個無交的閉集{x}和{y}，應用Urysohn引理可見，存在一個連續(xù)映射f:X-[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1.由于C是X中一個連通子集，因此f(X)也連通.由于0,1€f(X)，因此f(X)=[0,1].由于[0,1]是一個不可數集，因此C也是一個不可數集. 作業(yè)： P1681.