高等數(shù)學(xué)備課教案：第五章 定積分 第四節(jié)定積分的換元法積分法和分部積分法

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1、第四節(jié) 定積分的換元法積分法和分部積分法 從上節(jié)微積分學(xué)的基本公式知道,求定積分的問題可以轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在區(qū)間上的增量問題. 從而在求不定積分時(shí)應(yīng)用的換元法和分部積分法在求定積分時(shí)仍適用,本節(jié)將具體討論之,請讀者注意其與不定積分的差異. 分布圖示 ★ 定積分換元積分法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 定積分的分部積分法 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 例18 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題

2、5-4 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、定積分換元積分法 定理1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件： （1） 且； （2）在(或)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有 . (4.1) 公式(4.1)稱為定積分的換元公式. 定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似. 但是,在應(yīng)用定積分的換元公式時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： （1）用把變量x換成新變量t時(shí), 積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限,且上限對應(yīng)于上限,下限對應(yīng)于下限； （2） 求出的一個原函數(shù)后,不必象計(jì)算不定積分那樣再把變換成原變量x的函數(shù),而只要把新變量t的上、下限分別代入然后相減就行了. 二、定積

3、分的分部積分法 或 . 例題選講 定積分換元積分法 例1(E01) 計(jì)算 . 解 令則 注: 本例中，如果不明顯寫出新變量則定積分的上、下限就不要變，重新計(jì)算如下: 例2(E02) 求定積分 解 令則 0 0 由換元積分公式得 注: 在第一節(jié)的課堂練習(xí)中，我們曾利用定積分的幾何意義解本題并得到相同的結(jié)果. 例3 (E03) 求定積分. 解 例4 (E04) 求定積分. 解 令則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而 例5 (E05) 當(dāng)在上連續(xù), 則 (1)

4、當(dāng)為偶函數(shù),有 ; (2) 當(dāng)為奇函數(shù),有 . 證 在上式右端第一項(xiàng)中令則 (1)當(dāng)為偶函數(shù)，即 (2)當(dāng)為奇函數(shù)，即 例6 (E06) 計(jì)算 . 解 因?yàn)榉e分區(qū)間對稱于原點(diǎn)，且為偶函數(shù),為奇函數(shù)，所以 例7 計(jì)算 解 原式 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單位圓的面積 例8 (E07) 若在[0, 1]上連續(xù), 證明 (1) (2) 由此計(jì)算 證 (1) 設(shè) (2) 設(shè) 定積分的分部積分法 例9 (E08) 計(jì)算 解 令則 例10 (E0

5、9) 計(jì)算定積分. 解 例11 求 解 由分部積分公式得 再用一次分部積分公式得 從而 例12 (E10) 計(jì)算 . 解 令則當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 于是有 再使用分部積分法，令則 從而 例13 (E11) 計(jì)算定積分 . 解 因?yàn)樵谏显谏纤詰?yīng)分兩個區(qū)間進(jìn)行積分，于是 例14 已知 求. 解 令則 故所以 例15 (E12) 已知滿足方程 求. 解 設(shè)則有 積分得或 所以或 例16 (E13) 導(dǎo)出(為非負(fù)整數(shù))的遞推公式. 解 易見當(dāng)時(shí) 從而得到遞推公式 反復(fù)用此公式直到下標(biāo)為 0 或 1，得 其中為自然數(shù). 注: 根據(jù)例8的結(jié)果，有 例17 利用上題結(jié)論計(jì)算 0 0 解 令則于是 例18 求函數(shù)在上的最大值與最小值. 解 令得駐點(diǎn)且在是恒大于0,故在上單調(diào)增加. 當(dāng)時(shí), 取最小值，最小值為 當(dāng)時(shí), 取最大值，最大值為 即最大值最小值 課堂練習(xí) 1.計(jì)算定積分. 2.設(shè)在[0, 1]上連續(xù), 且求