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1、第五章 定積分
不定積分是微分法逆運算的一個側面,本章要介紹的定積分則是它的另一個側面. 定積分起源于求圖形的面積和體積等實際問題. 古希臘的阿基米德用“窮竭法”,我國的劉徽用“割圓術”, 都曾計算過一些幾何體的面積和體積,這些均為定積分的雛形. 直到17世紀中葉,牛頓和萊布尼茨先后提出了定積分的概念,并發(fā)現(xiàn)了積分與微分之間的內在聯(lián)系,給出了計算定積分的一般方法,從而使定積分成為解決有關實際問題的有力工具,并使各自獨立的微分學與積分學聯(lián)系在一起,構成完整的理論體系——微積分學.
本章先從幾何問題與力學問題引入定積分的定義,然后討論定積分的性質、計算方法以及定積分在幾何與經(jīng)濟學中的應用
2、.
第一節(jié) 定積分概念
分布圖示
★ 引言
★ 曲邊梯形 ★ 曲邊梯形的面積
★ 變速直線運動的路程 ★ 變力沿直線所作功
★ 定積分的定義 ★ 定積分存在定理
★ 定積分的幾何意義 ★ 定積分的物理意義
★ 例1 ★ 例2
★ 求定積分過程的辯證思維
★ 定積分的近似計算 ★ 例3
★ 內容小結 ★ 課堂練習
★ 習題5-1 ★ 返回
內容要點
一、引例: 曲邊梯形的面積 變速直線運動的路程
二、定積分的概念
定義1 設在
3、上有界, 在中任意插入若干個分點
把區(qū)間分割成n個小區(qū)間
, , ,
各小區(qū)間的長度依次為
.
在每個小區(qū)間上任取一點 作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積, 并作和式
記如果不論對怎樣的分法, 也不論在小區(qū)間上點怎樣取法, 只要當時, 和總趨于確定的極限I, 我們就稱這個極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分, 記為
,
其中叫做被積函數(shù), 叫做被積表達式, x叫做積分變量, 叫做積分區(qū)間.
三、求定積分過程中的辯證思維
無論是求曲邊梯形的面積,還是求變速直線運動的路程,初等數(shù)學都無法解決,而高等數(shù)學可迎刃而解. 奧妙何在? 奧妙就在于恩格
4、斯所指出的:“初等數(shù)學,即常數(shù)的數(shù)學,是在形式邏輯的范圍內活動的,至少總的說來是這樣;而變量數(shù)學 —— 其中最主要的部分是微積分 —— 本質上不外是辨證法在數(shù)學方面的應用.
從初等數(shù)學到變量數(shù)學的過渡,反映了人類思維從形式邏輯向辨證邏輯的跨越,是人類的認識能力由低級向高級的發(fā)展. 求曲邊梯形的面積和求變速直線運動的路程的前兩步,即“分割”和“求和”,是初等數(shù)學方法的體現(xiàn),而且也是初等數(shù)學方法中形式邏輯思維的體現(xiàn). 只有第三步“取極限”這種蘊含于變量數(shù)學中的豐富的辨證邏輯思維,才使得初等數(shù)學無法解決的問題柳暗花明,別開洞天!
在第一章極限部分已指出極限方法中蘊含著豐富的辨證思
5、維,在求定積分過程中關鍵的步驟是取極限,因而辨證思維也體現(xiàn)得很充分.
定積分中的極限方法可以使有關常量與變量、近似與精確、變與不變等矛盾的對立雙方相互轉化,從而化未知為已知,體現(xiàn)了對立統(tǒng)一法則.同時也體現(xiàn)了否定之否定法則: 為求總量,在取極限過程中,當時,一方面使積分和中的積分元素轉化為總量的微分 這是對總量的否定,這次否定的結果得到了的微分 這是對總量的無限項細分;另一方面,當時,積分和轉化為對微分的無限項相加,這是對的否定,這一次否定的結果得到了總量,這是對的無限積累.
正是由于求定積分過程中包含著豐富的辨證思維,才使得高等數(shù)學 —— 主要是微積分 —— 巧妙地、有效地解
6、決了初等數(shù)學所不能解決的問題.
四、定積分的近似計算
矩形法的幾何意義非常明確,就是用小矩形的面積近似作為小曲邊梯形的面積,總體上用階梯形的面積作為整個曲邊梯形面積的近似值
定積分的近似計算法很多, 這里不再作介紹, 隨著計算機應用的普及, 利用現(xiàn)成的數(shù)學軟件計算定積分的近似值已變得非常方便, 在本課的數(shù)學實驗中(見光盤)讀者可具體進行實踐.
例題選講
定積分的概念
例1 (E01) 利用定積分的定義計算定積分.
解 因函數(shù)在上連續(xù),故可積. 從而定積分得值與對區(qū)間得分法及的取法無關. 為便于計算,將等分,如圖,則
于是
取每個小區(qū)間的右端點則
7、
故
例2 利用定積分表示下列極限.
解 原極限
易見,若取則原極限
由此可見,被積函數(shù)應取為注意到在上連續(xù),因而是可積的.
故有
原極限
注: 今后可直接計算出上述積分結果為
定積分的近似計算
例3 (E02) 用矩形法和梯形法計算定積分的近似值.
解 把區(qū)間十等分,設分點為設相應的函數(shù)值為
列表如下:
0
1
2
3
4
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.00000
0.99005
0.96079
0.91393
0.85214
0.77880
6
7
8
9
10
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.69768
0.61263
0.52729
0.44486
0.36788
利用左矩形公式,得
利用右矩形公式,得
利用梯形法公式,得
實際上十前面兩值得平均值,
課堂練習
1. 將和式極限:
表示成定積分.
2. 利用定積分的幾何意義, 說明下列等式: