2018年高考數學 命題角度6.1 利用導數研究函數的單調性問題大題狂練 理

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1、 命題角度1：利用導數研究函數的單調性問題 1．已知函數（）. （1）若函數的最小值為，求的值； （2）設函數，試求的單調區(qū)間； 【答案】（1）（2）詳見解析 【解析】 試題分析：（1）先求函數導數：，再討論導函數在定義區(qū)間上是否有零點：①當時，函數在上單調遞增，此時無最小值，舍去；②當時，函數在單調遞減；在 上單調遞增.即再時，函數取最小值，因此，解得.（2）先求函數導數：，再討論導函數在定義區(qū)間上是否有零點：①當時，，函數在上單調遞增；②當時，有兩個根 或，再比較大小，分類討論. （2）由題意，得， 則， ①當時，，函數在上單調遞增； ②當時，由，得或， （A

2、）若，則，此時，函數在上單調遞減； （B）若，則， 由，解得，由，解得， 所以函數在上單調遞增，在與上單調遞減； （C）若，則， 同理可得，函數在上單調遞增，在與上單調遞減. 綜上所述，的單調區(qū)間如下： ①當時，函數在上單調遞增； ②當時，函數在上單調遞減； ③當時，函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為與； ④當時，函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為與. 2. 已知是常數. (Ⅰ)求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）設，討論函數的單調性. 【答案】(Ⅰ) ; （Ⅱ）在單調遞增，在單調遞減. 【解析】試題分析: (Ⅰ) 把x=1代入解析式求出切點坐標,對函數進行求導得到斜率,根據點斜式寫出切

3、線方程;（Ⅱ）把代入得到,求出函數的導數,再進行配方判斷導函數的正負,按照極值點是否在定義域內分四類進行討論,得出函數的單調性. 試題解析:(Ⅰ) 因為,所以,故曲線在點處的切線方程為 所以， 在和單調遞增，在單調遞減； ④當時，由得 （舍去） 所以， 在單調遞增，在單調遞減. 點睛:本題考查導數的幾何意義和函數單調性的判斷問題的綜合應用,屬于中檔題目. 函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率 ，過點P的切線方程為： ,求函數y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線方程與求函數y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線方

4、程意義不同，前者切線有且只有一條，且方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一條． 3.已知函數在處有極值. （Ⅰ）求實數的值； （Ⅱ）設，討論函數在區(qū)間上的單調性. 【答案】(1) 在處有極值時，,(2)見解析. 【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導函數，由∴且，求得或，檢驗后可得結果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，利用導數研究函數的單調性和極值，分五種情況討論，分別比較極值與端點處的函數值即可得結果. 試題解析：（Ⅰ）定義域為， ∵在處有極值， ∴且， 即 解得：或 當時，， 當時， ∴在處有極值時，. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其單調性和極值分布情況如表：

5、 + 0 - 0 + 增 極大 減 極小 增 ∴①當，即時，在區(qū)間上的單調遞增； ②當，即時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；③當且，即時，在區(qū)間上單調遞減； ④當，即時，在區(qū)間上的單調遞減，在區(qū)間上單調遞增； ⑤時，在區(qū)間上單調遞增. 綜上所述，當時函數在區(qū)間上的單調性為： 或時，單調遞增； 時，在上的單調遞增，在上單調遞減； 時，單調遞減； 時，在上單調遞減，在上單調遞增. 【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的極值與最值，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定

6、函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點處函數值的大小）. 4.已知函數. （1）當時，判斷的單調性； （2）若在上為單調增函數，求實數 的取值范圍. 【答案】（1）在上為增函數；（2）. 【解析】試題分析：（1）當時，對函數求導后因式分解，根據導數與單調性的知識可寫出函數的單調區(qū)間.（2）當時，可判斷函數導數恒為非負數，函數遞增符合題意.當和時，利用函數的二階導數判斷出不符合題意.故. 試題解析： (1)當時， ，所以在上為減函數，在 上為增函數，即，從而可得：

7、在定義域 上為增函數. (2) ①當時，由于，所以滿足在 上為單調增函數，即； ②當時， ，由方程的判別式： ，所以方程有兩根，且由知， 在上為減函數，由可知，在時， ，這與 在上為單調增函數相矛盾. ③ 當時， ， 在上為減函數，由可知，在時， ，這與 在上為單調增函數也是相矛盾. 綜上所述：實數的取值范圍是. 點睛：本題主要考查導數與單調性的求解，考查利用導數解決已知函數在某個區(qū)間上遞增求參數的取值范圍，考查分類討論的數學思想方法.第一問已知的值，利用導數求函數的單調區(qū)間，其基本步驟是：求函數導數、對導數進行通分因式分解、畫出導函數圖像、畫出原函數圖像，最后根據圖像來研究題目所

8、求的問題.第二問由于一階導數無法解決問題，故考慮用二階導數來解決. 5.已知函數，其中為自然對數的底數. （1）函數的圖象能否與軸相切？若能與軸相切，求實數的值；否則，請說明理由； （2）若函數在上單調遞增，求實數能取到的最大整數值. 【答案】（1）見解析；（2）1． 【解析】【試題分析】（1）依據題設條件運用導數的幾何意義建立方程進行分析求解；（2）依據題設條件借助等比數列的求和公式及等差數列的求和公式進行求解： （1）， 假設函數的圖象與軸相切于點，則有， 即， 由②可知，代入①中可得． ∵， ∴，即， ∵， ∴方程無解， 故無論取何值，函數的圖象都不與軸相切．

9、 （2）記， 由題意知在上恒成立． 由，可得， 的必要條件是， 若，則， 當時， ，故， 下面證明：當時，不等式恒成立． 令，則． 記，則， 當時， 單調遞增且； 當時， 單調遞減且， ∵． ∴存在唯一的使得，且當時， ， 單調遞減； 當時， 單調遞增． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 從而恒成立，故能取得的最大整數為1． 點睛：本題以含參數的函數解析式為背景，設立了兩道問題，旨在考查導數知識在研究函數的單調性、極值（最值）等方面的綜合運用。求解第一問時，先依據題設建立方程組求出方程，然后依據方程有解還是無解，從而使得問題獲解；解答第二問時，先依據

10、題設構造函數用， 然后運用導數知識進行分析推證，從而使得問題簡捷巧妙獲解。 6. 已知函數． （Ⅰ）若，求函數在上的最小值； （Ⅱ）若函數在上存在單調遞增區(qū)間，求實數的取值范圍； 【答案】(1)1 (2). 【解析】 試題分析：（Ⅰ）當時，，其定義域為，， 所以在上是增函數，當時，． 故函數在上的最小值是1． 7.己知函數， ． （I）求函數上零點的個數； （II）設，若函數在上是增函數．求實數的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）零點個數為 （II）的取值范圍是 【解析】試題分析：（1）先求得， 時， 恒成立，可證明時， ，可得在上單調遞減，根據零點定

11、理可得結果；（2）化簡為分段函數，利用導數研究函數的單調性，討論兩種情況，分別分離參數求最值即可求得實數的取值范圍. 試題解析：（Ⅰ）函數 , 求導，得， 當時， 恒成立， 當時， ， ∴ ， ∴在上恒成立，故在上單調遞減． 又， ， 曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷， ∴由函數的零點存在性定理及其單調性知，?唯一的∈（1，2），使， 所以，函數在上零點的個數為1． （II）由（Ⅰ）知：當時， ＞0，當時， ＜0． ∴當時， = 求導，得 由于函數在上是增函數， 故在， 上恒成立. ②當時， ， 當時， 在上恒成立， 綜合①②知，當時，函數在上是增函數．

12、 故實數的取值范圍是． 8.己知函數 (其中e為自然對數的底數)， ． (I)求函數的單調區(qū)間； (II)設，.已知直線是曲線的切線，且函數上是增函數． (i)求實數的值； (ii)求實數c的取值范圍． 【答案】（I）見解析；（II）（1）；（2）. 【解析】試題分析：(I)求導得，討論和即可； (II) (i)由相切得，解方程即可；(ii)先構造來討論和的大小，得，求導，得. 由函數在上是增函數，且曲線在上連續(xù)不斷知： 在， 上恒成立，分兩段討論即可. 試題解析： （Ⅰ）∵， ∴， （Ⅱ）（1）對求導，得， 設直線與曲線切于點，則 解得，∴； （2）記函

13、數 ， ， 求導，得， 當時， 恒成立， 當時， ， ∴ ， ∴在上恒成立，故在上單調遞減． 又， ， 曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷， ∴由函數的零點存在性定理及其單調性知，?唯一的∈（1，2），使． ∴當時， ＞0，當時， ＜0． ∴當時， = 求導，得 由函數在上是增函數，且曲線在上連續(xù)不斷知： 在， 上恒成立． ①當時， ≥0在上恒成立， 即在上恒成立， 記， ，則， ， 當 變化時， ， 變化情況列表如下： 3 0 極小值 ∴min= 極小值= ， 故“在上恒成立”，只需 ，即． ②當時， ，

14、當時， 在上恒成立， 綜合①②知，當時，函數在上是增函數． 故實數的取值范圍是． 9.已知函數，. （1）若直線與函數的圖象相切，求的值； （2）設，對于，都有，求實數的取值范圍. 【答案】(1);(2). 【解析】【試題分析】（1）依據題設條件，借助導數的幾何意義建立方程求解；（2）先將不等式進行等價轉化，再借助題設條件與求導法則，運用導數知識分析求解： (1)設與的切點為， .又. (2),又在上為增函數，不妨設，則，，即，設，在上為減函數，，在恒成立，即.設,,在上為增函數，， ，由已知，故實數的取值范圍是. 點睛：本題以含參數的函數解析式為背景，旨在考查

15、導數在研究函數的單調性、極值（最值）等方面的綜合運用。解答本題的第一問時，充分借助導數的幾何意義，直接建立方程進行求解使得問題獲解；解答本題的第二問時，先將絕對值不等式進行等價轉化與化歸，然后再構造函數，將參數從不等式中分離出來，通過求函數的最小值，從而求出實數的取值范圍，使得問題巧妙獲解。 10.已知函數． （1）若，求函數的單調遞增區(qū)間； （2）若， ，證明： . 【答案】(1) 當，單調遞增區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為和;(2)見解析. 【解析】試題分析：（1），求導，根據導函數的正負討論單調性即可； （2）欲證，即證在上單調遞減，求導證明即可. 試題解析： （2），則， ， 欲證，即證在上單調遞減， ∵， 令， 則 ∴在上為減函數， 而 ∴，則， ∴在上單調遞減， 又，∴. - 17 -