2018屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測（十六）概率與統(tǒng)計(jì) 文

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1、 專題檢測（十六） 概率與統(tǒng)計(jì) A卷——夯基保分專練 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若從數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)不小于8的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　由題意可知an＝2·(－2)n－1，故前10項(xiàng)中，不小于8的只有8,32,128,512，共4項(xiàng)，故所求概率是＝. 2．(2017·湖南五市十校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點(diǎn)P，△ABP的最大邊是AB的概率是(　　) A. B. C.－1 D.－1 解析：選D　分別以A，B為圓

2、心，AB的長為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運(yùn)動時，能使得△ABP的最大邊是AB，易得＝－1，即△ABP的最大邊是AB的概率是－1. 3．(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃

3、)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝＝. 4．(2017·惠州三調(diào))齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌獲勝的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)田忌的上、中、下三個等次的馬分別為A，B，C，齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽的所有可能結(jié)果有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9種，田忌獲勝有Ab，Ac，Bc，共3

4、種，田忌獲勝的概率為. 5．已知集合A＝{－2,3,5,7}，從A中隨機(jī)抽取兩個不同的元素a，b，作為復(fù)數(shù)z＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)的實(shí)部和虛部．則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　從集合A＝{－2,3,5,7}中隨機(jī)抽取兩個不同的元素a，b，組成復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)有(－2,3)，(－2,5)，(－2,7)，(3，－2)，(3,5)，(3,7)，(5，－2)，(5,3)，(5,7)，(7，－2)，(7,3)，(7,5)，共12種； 其中位于第一象限的點(diǎn)有(3,5)，(3,7)，(5,3)，(5,7)，(7,3)，(7,5

5、)，共6種． 所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為P＝＝. 6．(2017·云南第一次統(tǒng)一檢測)在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)(a，b)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的△AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則S△AOB＝×4×4＝8.函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足a>0且x＝≤1，即可得對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由解得a＝，b＝，所以S△C OB＝×4×＝，根據(jù)幾何

6、概型的概率計(jì)算公式，可知所求的概率P＝＝. 二、填空題 7．(2017·貴陽檢測)同時擲兩顆骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是________． 解析：依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則可得到數(shù)組(a，b)共有6×6＝36組，其中滿足a＋b＝7的組數(shù)共有6組，分別為(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率等于＝. 答案： 8．在長度為10的線段AB上任取一點(diǎn)C(異于A，B)，則以AC，BC為半徑的兩圓面積之和小于58π的概率是________． 解析：設(shè)AC＝x，則BC＝10－x,0＜x＜10.由題意知，πx2＋π(10－

7、x)2＜58π，即x2－10x＋21＜0，解得3＜x＜7.故所求的概率為＝. 答案： 9．(2017·福州質(zhì)檢)從集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}中隨機(jī)取一個點(diǎn)P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率為，則k的最大值是________． 解析：因?yàn)镸＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，所以集合M中元素的個數(shù)為5×5＝25.因?yàn)閤y＝1的情況有2種，xy＝2的情況有4種，xy＝4的情況有2種，所以要使xy≥k(k>0)的概率為，需1

8、為2. 答案：2 三、解答題 10．《聰明花開——莆仙話挑戰(zhàn)賽》欄目共有五個項(xiàng)目，分別為“和一斗”“斗麻利”“文儒生”“放獨(dú)步”“正功夫”．《聰明花開》欄目組為了解觀眾對項(xiàng)目的看法，設(shè)計(jì)了“你最喜歡的項(xiàng)目是哪一個”的調(diào)查問卷(每人只能選一個項(xiàng)目)，對現(xiàn)場觀眾進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)(單位：人)： 和一斗 斗麻利 文儒生 放獨(dú)步 正功夫 115 230 115 345 460 (1)在所有參與該問卷調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n人座談，其中恰有4人最喜歡“斗麻利”，求n的值及所抽取的人中最喜歡“和一斗”的人數(shù)； (2)在(1)中抽取的最喜歡“和一斗”和

9、“斗麻利”的人中，任選2人參加欄目組互動，求恰有1人最喜歡“和一斗”的概率． 解：(1)由已知得＝， 解得n＝22. 抽取的人中最喜歡“和一斗”的有115×＝2(人)． (2)從(1)中抽取的最喜歡“和一斗”和“斗麻利”的人中，最喜歡“和一斗”的有2人，分別記為A1，A2，最喜歡“斗麻利”的有4人，分別記為B1，B2，B3，B4.從中隨機(jī)抽取2人，所有的可能結(jié)果有： {A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}， {A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}， {B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}， {B2，B3}，

10、{B2，B4}， {B3，B4}，共15種． 其中，恰有1人最喜歡“和一斗”的可能結(jié)果有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，共8種． 故恰有1人最喜歡“和一斗”的概率P＝. 11．(2017·石家莊一模)某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位?？康臅r間(單位：小時)，如果?？繒r間不足半小時按半小時計(jì)時，超過半小時不足1小時按1小時計(jì)時，依此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表： ?？繒r間 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 輪船數(shù)量 12 12 17 20

11、 15 13 8 3 (1)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r間為a小時，求a的值； (2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?？縜小時，且在一晝夜的時間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r必須等待的概率． 解：(1)a＝×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4. (2)設(shè)甲船到達(dá)的時間為x，乙船到達(dá)的時間為y， 則 若這兩艘輪船在?？吭摬次粫r至少有一艘船需要等待，則|y－x|<4，作出示意圖如圖． 所以必須等待的概率 P＝1－＝， 故這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必須等待的概

12、率為. 12．(2017·惠州第三次調(diào)研考試)在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶3，且成績分布在[40,100]，分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎．按文、理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖如圖所示． (1)求a的值，并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下能否認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文、理科有關(guān)”. 文科生 理科生 總計(jì) 獲獎 5 不獲獎 總計(jì) 200 附表及公式：

13、 P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝. 解：(1)a＝×[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]＝0.025， ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69. (2)2×2列聯(lián)表如下： 文科生 理科生 總計(jì) 獲獎 5 35 40 不獲獎 45 115 160 總計(jì) 50 150 200 因?yàn)镵2

14、＝≈4.167>3.841， 所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下能認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文、理科有關(guān)”． B卷——大題增分專練 1．某地電影院為了了解當(dāng)?shù)赜懊詫煲嫌车囊徊侩娪暗钠眱r(jià)的看法，進(jìn)行了一次調(diào)研，得到了票價(jià)x(單位：元)與渴望觀影人數(shù)y(單位：萬人)的結(jié)果如下表： x(單位：元) 30 40 50 60 y(單位：萬人) 4.5 4 3 2.5 (1)若y與x具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，試分析y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (3)根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程，預(yù)測票價(jià)定為多少元時，能獲

15、得最大票房收入． 參考公式：＝，＝－. 解：(1)由表中數(shù)據(jù)易知，y隨x的增大而減小，故y與x之間是負(fù)相關(guān)． (2)由表中數(shù)據(jù)可得＝45，＝3.5， iyi－4＝－35，－42＝500， 則＝＝－0.07，＝3.5＋0.07×45＝6.65， 所以，所求線性回歸方程為＝－0.07x＋6.65. (3)根據(jù)(2)中的線性回歸方程，若票價(jià)為x元，則渴望觀影人數(shù)約為(－0.07x＋6.65)萬人， 可預(yù)測票房收入為z＝x(－0.07x＋6.65)＝－0.07x2＋6.65x＝－0.07(x－47.5)2＋157.937 5， 易得，當(dāng)x＝47.5時，z取得最大值，即票價(jià)定為47.5

16、元時，能獲得最大票房收入． 2．某高中學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在[50,100]內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制．各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見圖表．規(guī)定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級. 分?jǐn)?shù) 85分及以上 70分到84分 60分到69分 60分以下 等級 A B C D 為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖①所示，樣本中原始成績在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖

17、葉圖如圖②所示． (1)求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計(jì)該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率； (2)在選取的樣本中，從成績?yōu)锳，D兩個等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生的成績是A等級的概率． 解：(1)由頻率分布直方圖及莖葉圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)可知，樣本容量n＝＝50， x＝＝0.004， y＝＝0.018. 因?yàn)槌煽兪呛细竦燃壍念l率為1－0.1＝， 依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率是. (2)由頻率分布直方圖及莖葉圖知，A等級學(xué)生共有3名，D等級學(xué)生共有0.1×50＝5名，記A等級學(xué)生分別為A1，A2，A3，D等級學(xué)生

18、分別為D1，D2，D3，D4，D5，則從8名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有情況為A1A2，A1A3，A1D1，A1D2，A1D3，A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，A2D4，A2D5，A3D1，A3D2，A3D3，A3D4，A3D5，D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共28個基本事件． 記“至少有一名學(xué)生的成績是A等級”為事件E，則其對立事件的可能結(jié)果為D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共10種． 所以P(E)＝1－P()＝1－＝.

19、3．傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏．某機(jī)構(gòu)組織了一場詩詞知識競賽，將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級，從中隨機(jī)抽取100名選手進(jìn)行調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級與人數(shù)的條形圖． (1)若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為選手成績優(yōu)秀與文化程度有關(guān)？ 優(yōu)秀 合格 總計(jì) 大學(xué)組 中學(xué)組 總計(jì) (2)若參賽選手共6萬名，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù)；

20、 (3)在優(yōu)秀等級的選手中選取6名，在良好等級的選手中選取6名，都依次編號為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優(yōu)秀等級的選手中任取一名，記其編號為a，在選出的6名良好等級的選手中任取一名，記其編號為b，求使得方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解(x，y)的概率． 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解：(1)由條形圖可得2×2列聯(lián)表如下： 優(yōu)秀 合格 總計(jì) 大學(xué)組 45 10 55 中學(xué)組 30 15 45 總計(jì) 75 25 100

21、 所以K2的觀測值k＝＝≈3.030＜3.841， 所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為選手成績優(yōu)秀與文化程度有關(guān)． (2)由條形圖知，所抽取的100名選手中，優(yōu)秀等級有75名，所以估計(jì)參賽選手中優(yōu)秀等級的選手有60 000×＝45 000(名)． (3)a可從1,2,3,4,5,6中取，有6種取法，b可從1,2,3,4,5,6中取，有6種取法，共有36組， 要使方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解，則≠.易知使＝成立的a，b滿足的實(shí)數(shù)對有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3組，故滿足≠的實(shí)數(shù)對的組數(shù)為36－3＝33.故所求概率P＝＝. 4．交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動車購買的險(xiǎn)種，若

22、普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，且保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系．發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如下表： 交強(qiáng)險(xiǎn)浮動因素和費(fèi)率浮動比率表 浮動因素 浮動比率 A1 上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮10% A2 上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮20% A3 上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮30% A4 上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 上浮10%

23、 A6 上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 上浮30% 某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格： 類型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 (1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率； (2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元．且各種投保類型的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，

24、完成下列問題： ①若該銷售商店內(nèi)有6輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率； ②若該銷售商一次購進(jìn)120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值． 解：(1)一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率為＝. (2)①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的6輛該品牌車齡已滿三年的二手車中有2輛事故車，設(shè)為b1，b2,4輛非事故車，設(shè)為a1，a2，a3，a4.從6輛車中隨機(jī)挑選2輛車的情況有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15種．其中2輛車恰好有一輛為事故車的情況有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8種． 所以該顧客在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車，這2輛車恰好有一輛事故車的概率為. ②由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進(jìn)120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車80輛， 所以一輛車盈利的平均值為(－5 000)×40＋10 000×80＝5 000(元)． 10