13、y0，解得y0＝1.
因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因?yàn)橹本€l∥OA，
所以直線l的斜率為＝2.
設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
則圓心M到直線l的距離
d＝＝.
因?yàn)锽C＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
[規(guī)律方法] 1.(1)設(shè)出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)依據(jù)平行直線，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及勾股定理求解．
2．求弦長(zhǎng)常用的
14、方法：①弦長(zhǎng)公式；②半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)．
[變式訓(xùn)練3] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－y＋－2＝0相切．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱，且MN＝2，求直線MN的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172251】
[解] (1)將圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化為(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m.
∵圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－y＋－2＝0相切，
∴圓心(－2,1)到直線x－y＋－2＝0的距離d＝＝2＝r，
∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y
15、－1)2＝4.
(2)若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱，則可設(shè)直線MN的方程為2x－y＋c＝0.
∵M(jìn)N＝2，半徑r＝2，
∴圓心(－2,1)到直線MN的距離為＝1.
則＝1，∴c＝5±.
∴直線MN的方程為2x－y＋5±＝0.
[思想與方法]
1．直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方程的結(jié)合，解題時(shí)要抓住圓的幾何性質(zhì)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用．
2．計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法：
(1)幾何方法：運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算．
(2)代數(shù)方法：弦長(zhǎng)公式AB＝|xA－xB|＝.
[易錯(cuò)與防范]
1．求
16、圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為“－1”列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算．
2．過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．
課時(shí)分層訓(xùn)練(四十六)
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
(建議用時(shí)：30分鐘)
一、填空題
1．已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是________．
相交 [由題意知點(diǎn)在圓外，則a2＋b2>1，圓心到直線的距離d＝<1，故直線與圓相交．]
2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C
17、2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172252】
9 [圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因?yàn)閳AC2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m<25)．從而C1C2＝＝5.
兩圓外切得C1C2＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.]
3．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是________．
－4 [由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，
得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
所以圓心坐標(biāo)為(－1,1)，半徑r＝，
18、圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為＝，
所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.]
4．過(guò)點(diǎn)P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB外接圓的方程是________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 [由題意知，O，A，B，P四點(diǎn)共圓，所以所求圓的圓心為線段OP的中點(diǎn)(2,1)．
又圓的半徑r＝OP＝，
所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.]
5．已知圓C：(x－1)2＋y2＝25，則過(guò)點(diǎn)P(2，－1)的圓C的所有弦中，以最長(zhǎng)弦和最短弦為對(duì)角線的四邊形的面積是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172253】
10 [易知最長(zhǎng)弦
19、為圓的直徑10.又最短弦所在直線與最長(zhǎng)弦垂直，且PC＝，∴最短弦的長(zhǎng)為2＝2＝2.故所求四邊形的面積S＝×10×2＝10]．
6．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為_(kāi)_______________．
x＋y－3＝0 [∵圓C1的圓心C1(3,0)，圓C2的圓心C2(0,3)，∴直線C1C2的方程為x＋y－3＝0，
AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為x＋y－3＝0.]
7．若直線3x－4y＋5＝0與圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB＝120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r＝_________
20、_.
2 [如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則
OD＝＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝2OD＝2，即r＝2.]
8．(2017·南通模擬)過(guò)點(diǎn)(1，－2)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172254】
y＝－ [圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，
以＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－.]
9．(2017·南京模擬)直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將
21、單位圓C：x2＋y2＝1分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2＋b2＝__________.
2 [依題意，不妨設(shè)直線y＝x＋a與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，則∠AOB＝90°.
如圖，此時(shí)a＝1，b＝－1，滿足題意，所以a2＋b2＝2.]
10．(2017·徐州聯(lián)考)已知圓C：(x＋2)2＋y2＝4，直線l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最小值是__________．
－ [圓心C(－2,0)，半徑r＝2.
又圓C與直線l恒有公共點(diǎn)．
所以圓心C(－2,0)到直線l的距離d≤r.
因此≤2，解得－≤k≤.
所以實(shí)數(shù)k的最小值為－.]
二、解答題
22、11．(2017·徐州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．
(1)求圓M的方程；
(2)若直線l：mx－2y－(2m＋1)＝0與圓M交于點(diǎn)P，Q，且·＝0，求實(shí)數(shù)m的值．
[解] (1)法一：設(shè)圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則解得
所以圓M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0.
法二：線段AC的垂直平分線的方程為y＝x，線段AB的垂直平分線的方程為x＝2，由解得M(2,2)．
所以圓M的半徑r＝AM＝，
所以圓M的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.
(2)因?yàn)椤ぃ?，所以∠PMQ＝.
又由(1)得MP＝
23、MQ＝r＝，
所以點(diǎn)M到直線l的距離d＝.
由點(diǎn)到直線的距離公式可知，＝，解得m＝±.
12．已知圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，點(diǎn)A(3,5)．
(1)求過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程；
(2)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié)OA，OC，求△AOC的面積S.
[解] (1)由圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，
得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓心C(2,3)．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程為y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0.
由d＝＝1，得k＝.
又斜率不存在時(shí)直線x＝3也與圓相切，
故所求切線方程為x＝3或3x－4y＋11＝0.
(2)直線OA的方程
24、為y＝x，即5x－3y＝0，
又點(diǎn)C到OA的距離d＝＝.
又OA＝＝.
所以S＝OAd＝.
B組 能力提升
(建議用時(shí)：15分鐘)
1．(2017·南通調(diào)研一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,0)，B(4,0)．若直線x－y＋m＝0上存在點(diǎn)P，使得PA＝PB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
[－2，2] [法一：設(shè)滿足條件PB＝2PA的P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(x－4)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，化簡(jiǎn)得x2＋y2＝4.要使直線x－y＋m＝0有交點(diǎn)，則≤2.即－2≤m≤2.
法二：設(shè)直線x－y＋m＝0有一點(diǎn)(x，x＋m)滿足PB＝2PA，則
(x－4)2＋(x
25、＋m)2＝4(x－1)2＋4(x＋m)2.
整理得
2x2＋2mx＋m2－4＝0(*)
方程(*)有解，則△＝4m2－8(m2－4)≥0，
解之得：－2≤m≤2.]
2．(2017·泰州模擬)已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為_(kāi)_______．
9 [圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2a)2＋y2＝4，其圓心為(－2a,0)，半徑為2；圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－b)2＝1，其圓心為(0，b)，半徑為1.因?yàn)閳AC1和圓C2只有一條公切線，所以圓C1與圓C2相內(nèi)切，所以＝2－1，得4
26、a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時(shí)等號(hào)成立．所以＋的最小值為9.]
3．如圖46-2，已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過(guò)點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.
圖46-2
(1)求圓A的方程；
(2)當(dāng)MN＝2時(shí)， 求直線l的方程．
[解] (1)設(shè)圓A的半徑為R.
由于圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴R＝＝2.
∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝
27、－2符合題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)．
即kx－y＋2k＝0.
連結(jié)AQ，則AQ⊥MN
∵M(jìn)N＝2，∴AQ＝＝1，
則由AQ＝＝1，得k＝，
∴直線l：3x－4y＋6＝0.
故直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.
4．(2013·江蘇高考)如圖46-3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
圖46-3
(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
[解] (1)由題設(shè)，
28、圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3.
由題意，得＝1，解得k＝0或k＝－，
故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，
所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，
所以＝2，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．
由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，
則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.
整理，得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第46課 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
