初三數(shù)學(xué)試卷 2009.5（一模）

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1、 北京市西城區(qū)2009年抽樣測(cè)試 初三數(shù)學(xué)試卷 2009．5 考生須知 1．本試卷共4頁(yè)，共五道大題，25道小題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘。 2．在試卷和答題卡上認(rèn)真填寫學(xué)校名稱和姓名。 3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。 4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題(共8道小題，每小題4分，共32分) 1．－2的相反數(shù)等于 A．2 B．－2 C． D．－ 2．2009年，全國(guó)普通高校本、專科共計(jì)劃招生6 290 000人，將6 290 000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為 A．6.29×105 B．62.9×105 C．6.29

2、×106 D．0.629×107 3．右圖是由五個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖是 4．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 A．5 B．6 C．7 D．8 5．2004～2008年社會(huì)消費(fèi)品零售總額及增長(zhǎng)速度情況如右圖所示，那么社會(huì)消費(fèi)品零售總額比上年增長(zhǎng)最快的年份是 A．2005年 B．2006年 C．2007年 D．2008年 6．如圖，AB∥DF，AC⊥BC于點(diǎn)C，CB與DF交于點(diǎn)E，若∠A＝20°，則∠CEF等于 A．110° B．100° C．80° D．70° 7．如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，若將兩條含1

3、20°圓心角的、及邊AC所圍成的陰影部分的面積記為S，則S與△ABC面積的比等于 A． B． C． D． 8．若m、n(m＜n)是關(guān)于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關(guān)系是 A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜n＜b C．a(chǎn)＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 二、填空題(共4道小題，每小題4分，共16分) 9．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是________． 10．若＋(y－4)2＝0，則xy的值等于________． 11．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線交AC于E，BE⊥AC，DE∥BC交AB于D，若BC＝4，則DE＝__

4、______． 12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，若BC·AC＝AB2，則∠A＝________． 三、解答題(本題共30分，每小題5分) 13．計(jì)算：． 14．解不等式組在數(shù)軸上表示它的解集，并求它的整數(shù)解． 15．已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BC為最大邊，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，BD＝CE，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF＝CD． 求證：∠DEF＝∠DFE． 16．解方程：． 17．已知拋物線y＝－x2＋(m＋2)x＋3m－20經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－3)，求拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 18．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，

5、AB＝AD＝2，∠A＝60°，BC＝4，求CD的長(zhǎng)． 四、解答題(本題共20分，第19題5分，第20題5分，第21題6分，第22題4分) 19．已知：如圖，AB為⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線，交⊙O于點(diǎn)C，直線OC上一點(diǎn)D滿足∠D＝∠ACB． (1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)若⊙O的半徑等于4，tan∠ACB＝，求CD的長(zhǎng)． 20．有三個(gè)完全相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1、－2、－3，將其放入一個(gè)不透明的盒子中搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸球兩次(第一次摸出球后放回?fù)u勻)，設(shè)第一次摸到的球上所標(biāo)的數(shù)字為m，第二次摸到的球上所標(biāo)的數(shù)字為n，依次以m

6、、n作為點(diǎn)M的橫、縱坐標(biāo)． (1)用樹狀圖(或列表法)表示出點(diǎn)M(m，n)的坐標(biāo)所有可能的結(jié)果； (2)求點(diǎn)M(m，n)在第三象限的概率． 21．某運(yùn)輸公司用10輛相同的汽車將一批蘋果運(yùn)到外地，每輛汽車能裝8噸甲種蘋果，或10噸乙種蘋果，或11噸丙種蘋果．公司規(guī)定每輛車只能裝同一種蘋果，而且必須滿載．已知公司運(yùn)送了甲、乙、丙三種蘋果共100噸，且每種蘋果不少于一車． (1)設(shè)用x輛車裝甲種蘋果，y輛車裝乙種蘋果，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； (2)若運(yùn)送三種蘋果所獲利潤(rùn)的情況如下表所示： 蘋果品種 甲 乙 丙 每噸蘋果所獲利潤(rùn)(萬(wàn)元)

7、0.22 0.21 0.2 設(shè)此次運(yùn)輸?shù)睦麧?rùn)為W(萬(wàn)元)，問(wèn)：如何安排車輛分配方案才能使運(yùn)輸利潤(rùn)W最大，并求出最大利潤(rùn)． 22．已知：如圖，△ABC中，AC＜AB＜BC． (1)在BC邊上確定點(diǎn)P的位置，使∠APC＝∠C．請(qǐng)畫出圖形，不寫畫法； (2)在圖中畫出一條直線l，使得直線l分別與AB、BC邊交于點(diǎn)M、N，并且沿直線l將△ABC剪開后可拼成一個(gè)等腰梯形．請(qǐng)畫出直線l及拼接后的等腰梯形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明你的剪拼方法． 說(shuō)明：本題只需保留畫圖痕跡，無(wú)需尺規(guī)作圖． 五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分) 23．已知：反比例函數(shù)y＝和y

8、＝在平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限中的圖象如圖所示，點(diǎn)A在y＝的圖象上，AB∥y軸，與y＝的圖象交于點(diǎn)B，AC、BD與x軸平行，分別與y＝、y＝的圖象交于點(diǎn)C、D． (1)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求梯形ACBD對(duì)角線的交點(diǎn)F的坐標(biāo)； (2)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，比較△OBC與△ABC面積的大小，并說(shuō)明理由； (3)若△ABC與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)． 24．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝－x＋6與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，將∠OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C． (1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過(guò)A、B

9、、C三點(diǎn)的拋物線的解析式； (2)若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形?若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由； (3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)為T，Q為線段BT上一點(diǎn)，直接寫出｜QA－QO｜的取值范圍． 25．已知：PA＝，PB＝4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)． (1)如圖，當(dāng)∠APB＝45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)； (2)當(dāng)∠APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)∠APB的大?。? 北京市西城2009年抽樣測(cè)試 初三數(shù)學(xué)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)及參考答案 2009．5 閱

10、卷須知： 1．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。 2．若考生的解法與本解法不同，正確者可參照評(píng)分參考給分。 一、選擇題(共8道小題，每小題4分，共32分) 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D D A B A 二、填空題(共4道小題，每小題4分，共16分) 題號(hào) 9 10 11 12 答案 x≠－2 1 2 15 三、解答題(本題共30分，每小題5分) 13．解： ＝2＋1－2－2…………………………………………………………………4分 ＝－1．………………………………………………

11、………………………………5分 14．解： 由①得x≥1．………………………………………………………………………………1分 由②得x＜5．………………………………………………………………………………2分 不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下： ………………………………………………………………………………………3分 所以原不等式組的解集為1≤x＜5．……………………………………………………4分 所以原不等式組的整數(shù)解為1，2，3，4．……………………………………………5分 15．證明：如圖1， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C．………………………………………………

12、……………………………1分 在△BDF和△CED中， ∴△BDF≌△CED．………………………………………………………………………3分 ∴DF＝ED．………………………………………………………………………………4分 ∴∠DEF＝∠DFE．………………………………………………………………………5分 16．解：去分母，得x(x＋2)－(x2－4)＝2．………………………………………………1分 去括號(hào)，得x2＋2x－x2＋4＝2．…………………………………………………………2分 整理，得2x＝－2．………………………………………………………………………3分 解得x＝－1．…………

13、……………………………………………………………………4分 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－1是原方程的解．…………………………………………………………5分 17．解：∵拋物線y＝－x2＋(m＋2)x＋3m－20經(jīng)過(guò)(1，－3)點(diǎn)， ∴－12＋(m＋2)＋3m－20＝－3． 整理，得4m－19＝－3． 解得m＝4．………………………………………………………………………………1分 ∴二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋6x－8．………………………………………………2分 令y＝0，可得－x2＋6x－8＝0． 解得x1＝2，x2＝4．………………………………………………………………………3分 ∴拋物線與x軸

14、的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(4，0)．………………………………………4分 ∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1， ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，1)．…………………………………………………………5分 18．解：連結(jié)BD，作DE⊥BC于點(diǎn)E．(如圖2) …………………………………………1分 ∵AB＝AD＝2，∠A＝60°， ∴△ABD為等邊三角形，BD＝2，∠ADB＝60°．…………………………………2分 ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝60°．…………………………………………………………………………3分 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝60°， ∴DE＝BD·s

15、in 60°＝，BE＝BD·cos 60°＝1．…………………………………4分 在Rt△CDE中，∠CED＝90°，CE＝BC－BE＝3， ．…………………………………………………………5分 解法二：作DE∥AB交BC于E，作EF⊥CD于F． 解法三：連結(jié)BD，并延長(zhǎng)BA、CD交于E. 四、解答題(本題共20分，第19題5分，第20題5分，第21題6分，第22題4分) 19．解：(1)直線BD與⊙O相切． 圖3 證明：如圖3，連結(jié)OB．………………………………………………………………1分 ∵∠OCB＝∠CBD＋∠D，∠1＝∠D， ∴∠2＝∠CBD． ∵AB∥OC，

16、∴∠2＝∠A． ∴∠A＝∠CBD． ∵OB＝OC， ∴∠BOC＋2∠3＝180°， ∵∠BOC＝2∠A， ∴∠A＋∠3＝90°． ∴∠CBD＋∠3＝90°． ∴∠OBD＝90°．…………………………………………………………………………2分 ∴直線BD與⊙O相切．…………………………………………………………………3分 (2)解：∵∠D＝∠ACB，tan∠ACB＝， ∴tan D＝．……………………………………………………………………………4分 在Rt△OBD中，∠OBD＝90°，OB＝4，tanD＝． ，． ∴CD＝OD－OC＝1．…………………………………………………

17、…………………5分 20．解：(1)組成的點(diǎn)M(m，n)的坐標(biāo)的所有可能性為： 或列表如下： 第一次 第二次 1 2 3 1 (1，1) (－2，1) (－3，1) －2 (1，－2) (－2，－2) (－3，－2) －3 (1，－3) (－2，－3) (－3，－3) …………………………………………………………………………………………3分 (2)落在第三象限的點(diǎn)有(－2，－2)，(－2，－3)，(－3，－2)，(－3，－3)，因此點(diǎn)M落在第三象限的概率為．…………………………………………………………５分 21．解：(1)∵8

18、x＋10y＋11(10－x－y)＝100，……………………………………………1分 ∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－3x＋10．…………………………………………２分 ∵y≥1，解得x≤3． ∵x≥1，10－x－y≥1，且x是正整數(shù)， ∴自變量x的取值范圍是x＝1或x＝2或x＝3．………………………………………３分 (2)W＝8x×0.22＋10y×0.21＋11(10－x－y)×0.2＝－0.14x＋21．…………………４分 因?yàn)閃隨x的增大而減小，所以x取1時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)W＝20．86(萬(wàn)元)． …………………………………………………………………………………………

19、５分 獲得最大運(yùn)輸利潤(rùn)的方案為：用1輛車裝甲種蘋果，用7輛車裝乙種蘋果，2輛車裝丙種蘋果．……………………………………………………………………………………６分 22．解：(1)答案見圖4(任選一種即可)．…………………………………………………２分 (2)答案見圖5．…………………………………………………………………………３分 剪拼方法：取AB的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作AP的平行線l，與BC交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，與l交于點(diǎn)H，將△BMN繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°到△AMH，則四邊形為拼接后的等腰梯形． 圖4 圖5 五

20、、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分) 23．解：(1)如圖6，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A(2，4)，B(2，1)，C(，4)，D(8，1)．………………………………………………………………1分 解一：直線CD的解析式為．…………………………………………2分 ∵AB∥y軸，F(xiàn)為梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)， ∴x＝2時(shí)，． ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，)．……………………………………………………3分 圖2 解二：AC＝，BD＝6，AB＝3． ∵梯形ACBD，AC∥BD，F(xiàn)為梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)， ∴△ACF∽△BDF．

21、． ，，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為．………………………………2分 ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，)．……………………………………………………3分 (2)如圖7，作BM⊥x軸于點(diǎn)M．作CN⊥x軸于點(diǎn)N．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為． 圖7 ．……………………………………………4分 S△OBC＝S梯形CNMB＋S△OCN－S△OBM ＝S梯形CNMB.……………………………………………5分 ∴S△OBC＞S△ABC…………………………………………………………………………6分 (3)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)．……………………………………………………………7分 24．解：(1)點(diǎn)

22、C的坐標(biāo)為(3，0)．………………………………………………………1分 ∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(8，0)，B(0，6)， ∴可設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝a(x－3)(x－8)． 將x＝0，y＝6代入拋物線的解析式，得a＝．……………………………………2分 ∴過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝．………………………3分 (2)可得拋物線的對(duì)稱軸為x＝，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G． 直線BC的解析式為y＝－2x＋6．…………………………………4分 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，－2x＋6)． 圖8 解法一：如圖8，作OP∥AD交直線BC于點(diǎn)P，連結(jié)

23、AP，作PM⊥x軸于點(diǎn)M． ∵OP∥AD， ∴∠POM＝∠GAD，tan∠POM＝tan∠GAD． ，即． 解得x＝．經(jīng)檢驗(yàn)x＝是原方程的解． 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．………………………………………………5分 但此時(shí)OM＝，，OM＜GA． ，，∠POM＝∠GAD， ∴OP＜AD，即四邊形的對(duì)邊OP與AD平行但不相等， ∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P．………………………………………6分 解法二：如圖9，取OA的中點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)P，作PN⊥x軸于點(diǎn)N． 則∠PEO＝∠DEA，PE＝DE． 可得△PEN≌△DEG． 由OE＝＝4，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)． ，

24、，． ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．……………………………………………………5分 ∵時(shí)，， ∴點(diǎn)P不在直線BC上． ∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P．………………………………………6分 圖9 圖10 (3)|QA－QO|的取值范圍是0≤|QA－QO|≤4． 說(shuō)明：如圖10，由對(duì)稱性可知QO＝QH，|QA－QO|＝|QA－QH|．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，Q、H、A三點(diǎn)共線，|QA－QO|取得最大值4(即為AH的長(zhǎng))；設(shè)線段OA的垂直平分線與直線BC的交點(diǎn)為K，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)K重合時(shí)，|QA－QO|取得最小值0．

25、 25．解：(1)①如圖11，作AE⊥PB于點(diǎn)E．……………………………………………1分 圖11 ∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝， ∴AE＝PA·sin∠APE＝×＝1， PE＝PA·cos∠APE＝×＝1． ∵PB＝4， ∴BE＝PB－PE＝3．………………………………………………………………………2分 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ．…………………………………………………………3分 ②解法一：如圖12，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P′AB，可得△PAD≌△P′AB，PD＝P′B，PA＝P′A． ∴∠PAP′＝

26、90°，∠APP′＝45°，∠P′PB＝90°． ∴PP′＝PA＝2．…………………………………………………………4分 ∴PD＝P′B＝．………………………5分 圖12 解法二：如圖13，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，設(shè)DA的延長(zhǎng)線交PB于G． 在Rt△AEG中，可得 ，，PG＝PB－BE－EG＝． 在Rt△PFG中，可得PF＝PG·cos∠FPG＝PG·cos∠ABE＝． FG＝．…………………………………………………………………4分 在Rt△PDF中，可得 . ………………………………………………………………………………5分 圖13 (2)如圖14所示，將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P′AB，PD的最大值即為P′B的最大值． ∵△P′PB中，P′B＜PP′＋PB，PP′＝PA＝2，PB＝4， 且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)， ∴當(dāng)P′、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P′B取得最大值(見圖15)． 此時(shí)P′B＝PP′＋PB＝6，即P′B的最大值為6．………………………………………6分 此時(shí)∠APB＝180°－∠APP′＝135°．……………………………………………………7分 圖14 圖15