三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第九章 第三節(jié) 橢圓及其性質(zhì) 理全國(guó)通用

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1、 A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 1．(2015·武漢模擬)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析　∵a＝4，e＝，∴c＝3. ∴b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1或＋＝1. 答案　B 2．(2015·青島模擬)已知以F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(　　) A．3 B．2 C．2 D. 解析　根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為＋＝1(b>0)， 則將x＝－y－4代入

2、橢圓方程， 得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0， ∵橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)， ∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0， 即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2＝2. 答案　C 3．(2014·嘉興二模)已知橢圓x2＋my2＝1的離心率e∈，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 解析　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1， 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可得m>； 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可得0

3、別為F1，F(xiàn)2，P為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值為(　　) A．3 B．2 C．3 D．2 解析　由題意橢圓焦點(diǎn)在y軸上，可得m＝6，由圓錐曲線的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2＝2， ||PF1|－|PF2||＝2， 兩式平方作差得|PF1|·|PF2|＝3. 答案　A 二、填空題 5．(2014·青島模擬)設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為__________________． 解析　拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2，0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，

4、∴橢圓方程為＋＝1. 答案　＋＝1 一年創(chuàng)新演練 6．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為＋＝1，隨著a的增大該橢圓的形狀(　　) A．越接近于圓 B．越扁 C．先接近于圓后越扁 D．先越扁后接近于圓 解析　由題意得到a>1，所以橢圓的離心率e2＝＝1＋(a>1)遞減，則隨著a的增大，離心率e越小，所以橢圓越接近于圓，故選A. 答案　A B組　專項(xiàng)提升測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 7．(2015·黃岡質(zhì)檢)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)P，且∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D

5、. 解析　不妨設(shè)|PF2|＝1，則|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝， 由橢圓的定義得2a＝3，因此e＝＝＝. 答案　A 二、填空題 8．(2014·棗莊模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

6、，則橢圓的離心率e＝________. 解析　由題意2a＝4，∴a＝2， 又c＝1，∴e＝. 答案　 三、解答題 10．(2014·徐州模擬)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于Q點(diǎn)，且2＋＝0. (1)求橢圓C的離心率； (2)若過(guò)A，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線x－y－3＝0相切，求橢圓C的方程； (3)在(2)的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(4，0)，求△PMN面積的最大值． 解　(1)設(shè)Q(x0，0)．∵F2(c，0)，A(0，b)， 則＝(－c，b)，＝(x0，－b)，

7、又⊥，∴－cx0－b2＝0， 故x0＝－，又2＋＝0， ∴F1為F2Q的中點(diǎn)，故－2c＝－＋c， 即b2＝3c2＝a2－c2，∴e＝＝. (2)∵e＝＝，∴a＝2c，b＝c， 則F2＝(c，0)，Q(－3c，0)，A(0，c)． ∴△AQF2的外接圓圓心為(－c，0)，半徑 r＝|F2Q|＝2c＝a.∴＝2c，解得c＝1， ∴a＝2，b＝， 橢圓方程為＋＝1. (3)設(shè)直線MN的方程為： x＝my＋1，代入＋＝1得 (3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－， |y1－y2|＝ ＝. ∴S△PM

8、N＝|PF2|·|y2－y1|＝， 令＝λ≥， ∴S△PMN＝＝≤＝， ∴△PMN面積的最大值為，此時(shí)m＝0. 11．(2014·惠州調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為. (1)求橢圓C的方程； (2)已知?jiǎng)又本€y＝k(x＋1)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)． ①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，求斜率k的值； ②已知點(diǎn)M，求證：·為定值． 解　(1)＋＝1(a>b>0)滿足a2＝b2＋c2， 又＝，×b×2c＝，解得a2＝5，b2＝， 則橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①將y＝k(

9、x＋1)代入＋＝1， 得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0， ∴Δ＝48k2＋20>0，x1＋x2＝－， ∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－， ∴－＝－1，解得k＝±. ②證明　由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴·＝· ＝＋y1y2 ＝＋k2 ＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2 ＝(1＋k2)＋＋＋k2 ＝＋＋k2＝(定值)． 一年創(chuàng)新演練 12.如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.

10、 (1)設(shè)e＝，求|BC|與|AD|的比值； (2)當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說(shuō)明理由． 解　(1)因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè) C1：＋＝1，C2：＋＝1，(a>b>0)， 設(shè)直線l：x＝t(|t|