2019年湖南師大附中高三第二次月考試題 文科數(shù)學(xué)(解析版)

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1、湖南師大附中2019屆高三月考試卷(二) 數(shù) 學(xué)(文科) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共10頁(yè)。時(shí)量120分鐘。滿分150分。 第Ⅰ卷 一、選擇題:本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.                                1.設(shè)集合M={x-2x-3≤0},N={x|2x<2},則M∩N=( C ) A.[-1,3] B.(-∞,1) C.[-1,1) D.(1,3] 【解析】M=[-1,3],N=(-∞,1),,故M∩N=[-1,1).故選C. 2.若2

2、i2+ai=b+4i,其中a,b∈R,i為虛數(shù)單位,則a+b=( D ) A. -2 B.-1 C.0 D.2 【解析】由復(fù)數(shù)相等得:a=4,b=-2,a+b=2,故選D. 3.已知下面四個(gè)命題: ①“若x2-x=0,則x=0或x=1”的逆否命題為“若x≠0且x≠1,則x2-x≠0” ②“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件 ③命題p:存在x0∈R,使得x+x0+1<0,則非p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0 ④若p且q為假命題,則p,q均為假命題 其中真命題個(gè)數(shù)為( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由題可知,①正確,②正確,特稱

3、命題的否定為全稱命題,所以③顯然正確;若p且q為假命題,則p,q至少有一個(gè)是假命題,所以④的推斷不正確. 故選C. 4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和為Sn,且<1,若a3+a5=10,a1·a7=16,則S4=( B ) A.60或 B.60 C. D.120 【解析】由等比數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,得q=,所以a1=32,S4==60 ,故選B. 5.如圖所示,在三棱錐D-ABC中,已知AC=BC=CD=2,CD⊥平面ABC,∠ACB=90°.若其正視圖、俯視圖如圖所示,則其側(cè)視圖的面積為( D ) A. B.2 C. D. 【解析】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征和正視圖、俯視圖,得

4、該幾何體的側(cè)視圖是一個(gè)直角三角形,其中一條直角邊是CD,另一條直角邊為△ABC的邊AB上的中線,所以其側(cè)視圖面積為S=×2×=,故選答案D. 6.已知平面上不重合的四點(diǎn)P、A、B、C滿足++=0,且++x=0,那么實(shí)數(shù)x的值為( B ) A.2 B.-3 C.4 D.5 【解析】由題可知,根據(jù)向量的減法有,=-,=-,于是有(-)+(-)=x,故(-x-2)++=0,又因?yàn)椋?,所以-x-2=1,即x=-3.故選B. 7.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若

5、三角形 【解析】根據(jù)定理:=0,所以cos B<0,那么

6、環(huán)四次后,S=2,i=5; 循環(huán)五次后,S=-3,i=6; … 依次類推,S的值呈周期性變化,周期為4. 如果i≤2 015,則循環(huán)結(jié)束S=;如果i≤2 016,則循環(huán)結(jié)束S=2. 因此條件判斷框中的條件是“i≤2 016”. 故選B. 9.函數(shù)f=cos x的圖象的大致形狀是( B ) 【解析】由題意得,f=cos x=·cos x,所以f=·cos(-x)=·cos x=-f(x),所以函數(shù)f為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng)A,C;令x=1,則f=cos 1=cos 1<0,故選B. 10.橢圓+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,直線x=與x軸的交點(diǎn)為A,在橢圓上存在點(diǎn)

7、P滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F,則橢圓離心率的取值范圍是( D ) A. (0,] B. (0,) C. [-1,1) D. [,1) 【解析】由題意,橢圓上存在點(diǎn)P,使得線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F,即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等.而|FA|=-c=,因?yàn)閨PF|∈[a-c,a+c],所以∈[a-c,a+c]. 即ac-c2≤b2≤ac+c2,∴ 又e∈(0,1),故e∈[,1),故答案選D. 11.在體積為的三棱錐S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的體積是( B ) A.π B

8、.π C.π D.12π 【解析】△ABC外接圓圓心為AC中點(diǎn)D,連接SD,則由平面SAC⊥平面ABC及SA=SC,知SD⊥平面ABC,且球心O在SD上,則S△ABC×SD=,解得SD=2.設(shè)三棱錐S-ABC外接球半徑為R,則R=OS=OB,所以在Rt△ODB中,OB2=BD2+OD2,即R2=()2+(2-R)2,解得R=,故所求球的體積為V=πR3=π,故選B. 12.某同學(xué)用“隨機(jī)模擬方法”計(jì)算曲線y=ln x與直線x=e,y=0所圍成的曲邊三角形的面積時(shí),用計(jì)算機(jī)分別產(chǎn)生了10個(gè)在區(qū)間[1,e]上的均勻隨機(jī)數(shù)xi和10個(gè)在區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)yi(i∈N*,1≤i≤10

9、),其數(shù)據(jù)如下表的前兩行. x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 ln x 0.90 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80 由此可得這個(gè)曲邊三角形面積的一個(gè)近似值為( A ) A. (e-1) B. (e-1) C. (e-1) D. (e-1) 【解析】由表可知,向矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)拋擲10個(gè)點(diǎn),其中

10、有6個(gè)點(diǎn)在曲邊三角形內(nèi),其頻率為=. 因?yàn)榫匦螀^(qū)域的面積為e-1,所以曲邊三角形面積的近似值為(e-1),選A. 選擇題答題卡 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B D B A B B D B A 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22~23題為選考題,考生根據(jù)要求作答. 二、填空題:本題共4小題,每小題5分. 13.已知cos(α-)=且α∈(,π),則tan(α-)=__7__. 【解析】由已知得,sin α=,cos α=-

11、,tan α=-,tan(α-)===7. 14.對(duì)于實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算a*b=則式子ln e2*的值為_(kāi)_9__. 【解析】因?yàn)閍*b=而ln e2=2<=3,所以ln e2*-=3×(2+1)=9. 15.已知函數(shù)f(x)=xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),令an=,n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2019=__-1__. 【解析】由函數(shù)f(x)=xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)得:4α=2,α=, 從而f(x)=;∴an==-, 從而S2019=(-)+(-)+…+-=-1. 16.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)

12、<0,則a的取值范圍是__[,1)__. 【解析】f(x)<0ex(2x-1)-時(shí),g′(x)>0,因此當(dāng)x=-時(shí),g(x)取得極小值也是最小值g(-)=-2e-,又g(0)=-1,g(1)=e>0,直線y=ax-a過(guò)點(diǎn)(1,0)且斜率為a,故 解得≤a<1. 三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 17.(本小題滿分12分) 為增強(qiáng)市民的環(huán)保意識(shí),某市政府向社會(huì)征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合

13、條件的志愿者中挑選了100名,按年齡(單位:歲)分為5組:第1組[20,25),第2組[25,30),第3組[30,35),第4組[35,40),第5組[40,45],其頻率分布直方圖如圖所示. (Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名志愿者的平均年齡; (Ⅱ)現(xiàn)指定第3組中某3人,第4組中某2人,第5組中某1人,共6名志愿者參加某項(xiàng)宣傳活動(dòng).活動(dòng)結(jié)束后,從這6人中隨機(jī)抽取2人介紹經(jīng)驗(yàn),求第4組中至少有一名志愿者被抽中的概率. 【解析】(Ⅰ)在頻率分布直方圖中,從左至右各小矩形的面積分別是0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.(2分) 下底邊中點(diǎn)值分別是22.5,27.5,3

14、2.5,37.5,42.5.(4分) 因?yàn)?2.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25. 由此估計(jì),這100名志愿者的平均年齡為32.25歲.(6分) (Ⅱ)設(shè)“第4組中至少有一名志愿者被抽中”為事件A, 記第3組的3名志愿者為A1,A2,A3, 第4組的2名志愿者為B1,B2,第5組的1名志愿者為C1.(7分) 則從6名志愿者中抽取2名志愿者的取法有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2

15、),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共有15種.(9分) 其中第4組的2名志愿者B1,B2至少有一名被抽中的取法有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共有9種.(11分) 所以P(A)==,故第4組中至少有一名志愿者被抽中的概率為.(12分) 18.(本小題滿分12分) 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn). (Ⅰ)求三棱錐F-DEC的體積

16、; (Ⅱ)在線段CD上是否存在一點(diǎn)G,使得平面EFG⊥平面PDC?若存在,請(qǐng)說(shuō)明其位置,并加以證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線PH,垂足為H. 又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PH平面PAD, 側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD, ∴PH⊥平面ABCD.連接HC,(2分) ∵E為PC中點(diǎn),∴三棱錐E-FDC的高h(yuǎn)=PH, 又PA=PD=AD且AD=2,∴PH=1,∴h==,(4分) ∴三棱錐F-DCE的體積是 VF-DCE=VE-FDC=S△DFC·h=××××=.(6分) (Ⅱ)在線段CD上存在一點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)時(shí),使得平面EFG⊥平面PDC

17、,理由如下:(7分) ∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,∴CD⊥AD, 又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,CD平面ABCD, 側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD, ∴CD⊥平面PAD,(9分) 又EF∥PA,∴CD⊥EF, 取CD中點(diǎn)G,連接FG, ∵F為AC中點(diǎn),∴FG∥AD, 又CD⊥AD,∴FG⊥CD, 又FG∩EF=F,∴CD⊥平面EFG,(11分) 又CD平面PCD, ∴平面EFG⊥平面PCD.(12分) 19.(本小題滿分12分) 已知數(shù)列滿足Sn+bn=,其中Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和. (Ⅰ)求證數(shù)列{bn-}是等比數(shù)例,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)

18、如果對(duì)任意n∈N*,不等式≥2n-5恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【解析】(Ⅰ)證明:當(dāng)n=1時(shí),2b1=7,b1=.(1分) 當(dāng)n≥2時(shí),Sn+bn=,① Sn-1+bn-1=, ② 由①-②得2bn-bn-1=, 所以=,(4分) 所以數(shù)列是首項(xiàng)為b1-=3,公比為的等比數(shù)列, 所以bn-=·=3·, 即bn=3·+.(6分) (Ⅱ)由題意及(Ⅰ)得: Sn=-bn=-3-=-3.(7分) 不等式≥2n-5, 化簡(jiǎn)得k≥()max,對(duì)任意n∈N*恒成立.(8分) 設(shè)cn=,則cn+1-cn=-=. 當(dāng)n≥3.5時(shí),cn+1≤cn,cn為單調(diào)遞減數(shù)列, 當(dāng)1≤n

19、<3.5時(shí),cn+1>cn,cn為單調(diào)遞增數(shù)列,(10分) 所以n=4時(shí),cn取得最大值,(11分) 所以,要使k≥對(duì)任意n∈N*恒成立,k≥.(12分) 20.(本小題滿分12分) 設(shè)A、B分別為雙曲線C1:-=1(a>0,b>0) 的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4,焦點(diǎn)到漸近線的距離為1. (Ⅰ)求雙曲線的方程; (Ⅱ)已知橢圓C2:+=1 (m>n>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的左右頂點(diǎn)重合,且離心率為.直線l:y=kx-4交橢圓C2于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),若原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓的外部,求k的取值范圍. 【解析】(Ⅰ)由題意知a=2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±

20、,0)一條漸近線為y=x,即bx-2y=0,焦點(diǎn)到漸近線的距離為1. 即=1,∴b2=1, ∴雙曲線的方程為-y2=1.(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得雙曲線C1的頂點(diǎn)F(±2,0) , ∵ 橢圓C2的焦點(diǎn)與雙曲線C1的頂點(diǎn)重合, ∴橢圓C2半焦距c=2, m2-n2=c2=4. ∵橢圓C2的離心率為, ∴=m=4,n=2, ∴橢圓C2的方程為:+=1.(6分) 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由得(4k2+3)x2-32kx+16=0. 由Δ>0(-32k)2-4×16(4k2+3)>0k>或k<-. ①(7分) 由韋達(dá)定理得:x1+x2=,x1x2=.(8分)

21、∵原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓的外部,則·>0,(9分) ·=(x1,y1)·(x2,y2)=y(tǒng)1y2+x1x2=(kx1-4)·(kx2-4)+x1x2 =(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16=(k2+1)×-4k×+16 =>0 -2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (Ⅲ)若在上

22、存在一點(diǎn)x0,使得f′+2, 設(shè)x1>x2,則h-h(huán)>2,即h-2x1>h-2x2恒成立, 問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)F=h-2x,即F=x2+aln x-2x在為增函數(shù).(4分) 所以F′=x+-2≥0在上恒成立,即a≥2x-x2在上恒成立, 所以a≥=1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(6分) (Ⅲ)不等式f′+

23、n x0+<0. 設(shè)m=x-aln x+,由題意知,在上存在一點(diǎn)x0,使得m<0.(8分) 由m′=1--==. 因?yàn)閤>0,所以x+1>0,即令m′=0,得x=1+a. ①當(dāng)1+a≤1,即a≤0時(shí),m在上單調(diào)遞增, 只需m=2+a<0,解得a<-2.(9分) ② 當(dāng)1<1+a≤e,即0e,即a>e-1時(shí),m在上單調(diào)遞減,

24、 只需m=e-a+<0,解得a>. 綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪.(12分) 請(qǐng)考生在第22~23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。 22.(本小題滿分10分)選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),曲線C的參數(shù)方程為 (Ⅰ)寫(xiě)出直線l及曲線C的直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M平行于直線l的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn),若·=,求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程. 【解析】(Ⅰ)直線l:y=x,曲線C的直角坐標(biāo)方程為+y2=1.(4分 ) (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M

25、(x0,y0),過(guò)點(diǎn)M的直線為l1:(t為參數(shù)). 由直線l1與曲線C相交可得t2+(x0+2y0)t+x+2y-2=0, 由·=得=,即+=1表示橢圓. 取y=x+m代入+y2=1得3x2+4mx+2m2-2=0, 由Δ>0-x+2的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≤a(x+2)的解集為非空集合,求a的取值范圍. 【解析】(Ⅰ)當(dāng)a=1,不等式+2-a>x+2, 即為+2-1>x+2,即+2>x+3, 不等式等價(jià)于或或x<-1或-1≤x<0或x>2, 所以所求不等式的解集為.(5分) (Ⅱ)由f(x)≤a(x+2)+2-a≤a(x+2),即+2≤a(x+3). 設(shè)g(x)=+2= 如圖,P(-3,0),kPA=,kPD=kBC=-3. 故由題可知a<-3或a≥.即a的取值范圍為(-∞,-3)∪.(10分)

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