廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三上學(xué)期摸底考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版）

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1、廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三上學(xué)期摸底考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 一、選擇題 1．已知全集，集合，，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：，，，又，. 考點：集合的補(bǔ)集與并集 2．已知，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：，. 考點：對數(shù)的運(yùn)算 3．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 （ ） A.

2、 B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：對于函數(shù)，定義域為，，即 ，故函數(shù)不是偶函數(shù)；函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意；對于函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱，，即函數(shù)為奇函數(shù)；對于函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱， ，故函數(shù)為偶函數(shù)，答案選. 考點：函數(shù)的奇偶性 4．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 試題分析：若直線與直線平行，則，

3、解得，故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件. 考點：兩直線的位置關(guān)系、充分必要條件 5．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為6、腰長為5的等腰三角形，則這個幾何體的側(cè)面積為 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，且圓錐的底面直徑為，母線長為，用表示圓錐的底面半徑，表示圓錐的母線長，則，，故該圓錐的側(cè)面積為. 考點：三視圖、圓錐的側(cè)面積 6．某校高二年級100名

4、學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：，，，，，則這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為（ ） A.45 B.50 C.55 D.60 【答案】C 【解析】 試題分析：由于在頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為，則有 ，即，故學(xué)生數(shù)學(xué)成績在的頻率為 ，故這個學(xué)生數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為. 考點：頻率分布直方圖 7．在△ABC中，，，則△ABC的面積為（ ） A. B.3

5、 C. D.6 【答案】B 【解析】 試題分析：，，由于，故，，， 即的面積為. 考點：平面向量的數(shù)量積、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、三角形的面積 8．已知，則的最小值是（ ） A.2 B. C.4 D.5 【答案】C 【解析】 試題分析：，，， 當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且時，上式取等號，故的最小值為. 考點：基本不等式 9．若函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，則可以是（ ）

6、 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析：對于選項，函數(shù)的零點為，若函數(shù)零點與函數(shù)的零點之差的絕對值不超過，則函數(shù)的零點在區(qū)間，由于函數(shù) 單調(diào)遞增，且， ，故選項錯誤；對于選項，函數(shù)的零點為，則函數(shù) 的零點在區(qū)間，，， ，由零點存在定理知，函數(shù)的零點在區(qū)間在，故答案為，由同樣的方法，可知選項、均不正確. 考點：函數(shù)的零點、零點存在定理 10．若過點的直線與曲線和都相切，則的值為 （ ） A.2 B.

7、 C.2或 D.3或 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)過曲線上的點的切線過點，對函數(shù)求導(dǎo)得，故曲線上的點的切線方程為，即，將點的坐標(biāo)代入此切線方程得，即，解得或，（1）當(dāng)時，則切線方程為，即切線為軸，此時曲線與軸相切，則；（2）當(dāng)時，切線的方程為，對函數(shù)求導(dǎo)得，令，則有 ，解得，將代入得，即切點坐標(biāo)為代入切線方程得，化簡得，解得，綜上所述或. 考點：函數(shù)圖象的切線方程 二、填空題 11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是 . 【答案】 【解析】 試題分析：，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為. 考點：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

8、、復(fù)數(shù)的幾何意義 12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是 . 【答案】 【解析】 試題分析：成立，執(zhí)行第一次循環(huán)體，,；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)體，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)體，， ；；成立，執(zhí)行第十次循環(huán)體，，； 不成立，跳出循環(huán)體，輸出的. 考點：算法與程序框圖、等差數(shù)列求和 13．在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個點，則關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率是 . 【答案】 【解析】 試題分析：由于，二次函數(shù)的圖象開口朝上，對稱軸方程為，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，記事件關(guān)于的二次函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，則事件構(gòu)成的平面區(qū)域如下圖的陰影部分所示，聯(lián)立

9、與，解得，，則事件構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為，總事件構(gòu)成的區(qū)域為一個等腰直角三角形，且腰長為，其面積，故事件“關(guān)于的二次函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)”發(fā)生的概率. 考點：線性規(guī)劃、幾何概型 14．如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD相交于點P，若，，則的值為 . 【答案】 【解析】 試題分析：如下圖所示，連接，由于圓是的外接圓，且是圓的直徑，故有， 由正弦定理得，而， . 考點：正弦定理、誘導(dǎo)公式 15．已知曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，并取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程是

10、. 【答案】 【解析】 試題分析：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），它表示以點為圓心，以為半徑的圓，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為一般方程即，化為極坐標(biāo)方程得 ，即，兩邊約去得. 考點：參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化 三、解答題 16．已知函數(shù)，的最大值是1，最小正周期是，其圖像經(jīng)過點． （1）求的解析式； （2）設(shè)、、為△ABC的三個內(nèi)角，且，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題中的已知條件確定函數(shù)中各未知量的值進(jìn)而求出函數(shù)的解析式；（2）在求出函數(shù)的解析式之后，利用三角形的內(nèi)角和定理，將的值轉(zhuǎn)化為與的和角的三角函數(shù)求解，具體

11、轉(zhuǎn)化思路為，然后再利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及兩角和的余弦公式進(jìn)行求值. 試題解析：（1）因為函數(shù)的最大值是1，且，所以. 因為函數(shù)的最小正周期是，且，所以，解得. 所以.因為函數(shù)的圖像經(jīng)過點，所以. 因為，所以.所以. （2）由（1）得，所以，. 因為，所以，. 因為為△ABC的三個內(nèi)角，所以. 所以 . 考點：三角函數(shù)的基本性質(zhì)、兩角和的余弦函數(shù)、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系 17．為了對某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所科研單位A、B、C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）： 科研單位 相關(guān)人數(shù) 抽取人數(shù) A 16 B 1

12、2 3 C 8 （1）確定與的值； （2）若從科研單位A、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這2人都自科研單位A的概率. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)分層抽樣的特點列式求與的值；（2）先將科研單位、中抽取的人用不同的符號進(jìn)行表示，然后利用列舉法將總事件中的基本事件以及問題中所考查事件的基本事件列舉出，然后利用古典概型的概率計算公式計算出即可. 試題解析：（1）依題意得，，解得，. （2）記從科研單位A抽取的4人為，從科研單位C抽取的2人為，則從科研單位A、C抽取的6人中選2人作專題發(fā)言的基本事件有： 共15種. 記“選中的2人都自科研

13、單位A”為事件，則事件包含的基本事件有： 共6種. 則.所以選中的2人都自科研單位A的概率為. 考點：分層抽樣、古典概型 18．如圖，菱形的邊長為4，，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）求三棱錐的體積. 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）. 【解析】 試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應(yīng)的底邊證明，然后結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先利用翻折時與的相對位置不變證明，然后利用勾股定理證明，并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理先證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平

14、面平面；（3）利用（2）中的結(jié)論平面，利用等體積法將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為以點為頂點，所在平面為底面的三棱錐的體積計算，則三棱錐的高為，的面積為底面積，然后利用錐體的體積公式即可計算三棱錐的體積，在計算的面積時，首先應(yīng)確定的形狀，然后選擇合適的公式計算計算的面積. 試題解析：（1）因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以. 因為平面ABD，平面ABD，所以平面. （2）因為在菱形ABCD中，，所以在三棱錐中，. 在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因為O為BD的中點， 所以.因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以. 因為，所以，即. 因為平面ABC，平面ABC，，所以

15、平面ABC. 因為平面DOM，所以平面平面. （3）由（2）得，平面BOM，所以是三棱錐的高. 因為，， 所以. 考點：直線與平面平行、平面與平面平行、等體積法 19．已知數(shù)列{an}的前n項和，且的最大值為4. （1）確定常數(shù)k的值，并求數(shù)列{an}的通項公式an； （2）令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小. 【答案】（1），；（2）詳見解析. 【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)知識以及的最大值為這些條件確定的值，再根據(jù)與之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式；（2）先求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)其通項結(jié)構(gòu)選擇錯位相減法求出數(shù)列的前項和，并根據(jù)的表達(dá)式確

16、定與的大小. 試題解析：（1）因為，所以當(dāng)時，取得最大值. 依題意得，又，所以.從而. 當(dāng)時，. 又也適合上式，所以. （2）由（1）得，所以. 所以①， ②. 由①－②得，， 所以. 因為，所以. 考點：數(shù)列通項、錯位相減法 20．已知雙曲線經(jīng)過點，且雙曲線的漸近線與圓相切. （1）求雙曲線的方程； （2）設(shè)是雙曲線的右焦點，是雙曲線的右支上的任意一點，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由. 【答案】（1）；（2）外切. 【解析】 試題分析：（1）利用“點在雙曲線上”以及“雙曲線的漸近線與圓”這兩個條件列兩個方程，求解與，進(jìn)而確定

17、雙曲線的方程；（2）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法，考查兩圓連心線的長度與兩圓半徑之間的相互關(guān)系，同時注意將點與左焦點連接起，注意到兩圓圓心分別為與的中點，利用中位線以及雙曲線的定義確定兩圓半徑與連心線長度之間的關(guān)系，進(jìn)而確定兩圓的位置關(guān)系. 試題解析：（1）因為雙曲線經(jīng)過點，所以①. 因為雙曲線的的漸近線與圓相切， 所以圓心到直線的距離等于2， 即，整理得②. 聯(lián)立①與②，解得所以雙曲線的方程為． （2）由（1）得，，所以雙曲線的右焦點為. 設(shè)雙曲線的左焦點為，因為點在雙曲線的右支上， 所以，即， 所以. 因為以雙曲線的實軸為直徑的圓的圓心為，半徑為； 以為直徑的圓的圓

18、心為，半徑為， 所以兩圓圓心之間的距離為. 因為， 所以以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓外切. 考點：雙曲線、點到直線的距離、兩圓的位置關(guān)系 21．已知函數(shù). （1）試問的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由； （2）定義，其中，求； （3）在（2）的條件下，令.若不等式對且恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式的特點直接代入計算的值；（2）利用（1）中條件的條件，并注意到定義中第項與倒數(shù)第項的和這一條件，并利用倒序相加法即可求出的表達(dá)式，進(jìn)而可以求出的值；（3）先利用和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，然后在不等式中將與含的代數(shù)式進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化為恒成立的問題進(jìn)行處理，最終利用導(dǎo)數(shù)或作差（商）法，通過利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最小值，最終求出實數(shù)的取值范圍. 試題解析：（1）的值為定值2. 證明如下： . （2）由（1）得. 令，則. 因為①， 所以②， 由①+②得，所以. 所以. （3）由（2）得，所以. 因為當(dāng)且時， . 所以當(dāng)且時，不等式恒成立. 設(shè)，則. 當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增. 因為，所以， 所以當(dāng)且時，. 由，得，解得. 所以實數(shù)的取值范圍是. 考點：函數(shù)、倒序相加法、導(dǎo)數(shù)