2018年高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)題型和提分秘籍 專題12 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 文

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1、 專題12 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1．了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化 3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 熱點(diǎn)題型一 象限角與終邊相同的角 例1、 (1)終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為________。 (2)如果α是第三象限的角，試確定－α，2α的終邊所在位置。 【答案】（1） （2）見解析 即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)， 所以角－α的終邊在第二象限。 由π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)， 得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)。 所

2、以角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負(fù)半軸。 【提分秘籍】 1．終邊在某直線上角的求法步驟 (1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線。 (2)按逆時(shí)針方向?qū)懗鯷0，2π)內(nèi)的角。 (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合。 (4)求并集化簡(jiǎn)集合。 2．確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法 先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置。 【舉一反三】 設(shè)角α是第二象限的角，且＝－cos，則角屬于(　　) A．第一象限　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 熱點(diǎn)題型

3、二 扇形的弧長(zhǎng)及面積公式 例2、 (1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角。 (2)已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？ 【解析】(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r， 【提分秘籍】 弧度制應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn) 1.弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此時(shí)α為弧度。在角度制下，弧長(zhǎng)l＝，扇形面積S＝，此時(shí)n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系。 2.在解決弧長(zhǎng)、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形。 【舉一反三】 已知扇形的圓心角是α＝120°，弦長(zhǎng)AB＝12 cm，求弧長(zhǎng)l。 【解析】設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖。 由sin60

4、°＝， 得r＝4(cm)， ∴l(xiāng)＝|α|·r＝×4＝π(cm)。 熱點(diǎn)題型三 三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用 例3． (1)若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，則cosθ的值為________。 (2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上的角α，β的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓交于A，B兩點(diǎn)，若α＝30°，β＝60°，則弦AB的長(zhǎng)為________。 【答案】（1）－ （2） 【提分秘籍】三角函數(shù)定義的應(yīng)用方法 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值。先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解。 (2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)

5、P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值。 (3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)。 【舉一反三】 已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，則sinα·tanα＝(　　) A．－ B．± C．－ D．± 【答案】C 【解析】由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±。 得y＝時(shí)，sinα＝，tanα＝－，此時(shí)，sinα·tanα＝－。 當(dāng)y＝－時(shí)，sinα＝－，tanα＝， 此時(shí)，sinα·tanα＝－，故選C。 1.【2017北京】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們

6、的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，=___________. 【答案】 【解析】因?yàn)楹完P(guān)于軸對(duì)稱，所以，那么， （或）， 所以. 1.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在中，，邊上的高等于,則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若，則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 ， 且，故選D. 【2015高考新課標(biāo)1，理2】 =( ) （A） （B）

7、（C） （D） 【答案】D 【解析】原式= ==，故選D. （2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 如圖1-1，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]上的圖像大致為(　　) 圖1-1 　　A　 　　　 　　　　　B C　 　　　　　　　　D 【答案】C　 1.sin(-270°)=　(　　) A.-1 B.0 C. D.1 【解析】選D. 因?yàn)?270°角的終邊位于y軸的非負(fù)半軸上，在

8、其上任取一點(diǎn)(0，y)，則r=y，所以sin(-270°)= ==1. 2.已知α是第四象限角，則π-α是　(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】選C. 因?yàn)棣?，?α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以由題意得π-α是第三象限角. 3.小明出國(guó)旅游，當(dāng)?shù)貢r(shí)間比中國(guó)時(shí)間晚一個(gè)小時(shí)，他需要將表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是　(　　) A. B. C.- D.- 【解析】選B. 由題意小明需要把表調(diào)慢一個(gè)小時(shí)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)針弧度. 4.已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角α的終邊在第　　　　象限(　　) A.一 B.二

9、 C.三 D.四 【解析】選D. 因?yàn)?，所以α在第四象限. 5.下列命題中正確的是　(　　) A.若兩扇形面積的比是1∶4，則它們弧長(zhǎng)的比是1∶2 B.若扇形的弧長(zhǎng)一定，則面積存在最大值 C.若扇形的面積一定，則弧長(zhǎng)存在最小值 D.任意角的集合可與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 6.若tanα<0，且sinα>cosα，則α在　(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[] 【解析】選B. 因?yàn)閠anα<0，所以α在第二或第四象限，又sinα>cosα，所以α在第二象限. 7.對(duì)于第四象限角的集合，下列四種表示中錯(cuò)誤的是　(　

10、　) A. B. C. D. 【解析】選C. 先選定一周，A:270°到360°再加360°的整數(shù)倍，B:-90°到0°再加360°的整數(shù)倍，D:630°到720°再加360°的整數(shù)倍，故A，B，D都正確，只有C錯(cuò)誤. 8.已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，若α=，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　(　　) A.(1，) B.(，1) C.() D.(1，1) 【解析】選D.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由三角函數(shù)的定義得 即 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1). 9.下列終邊相同的角是　(　　) A.kπ+與，k∈Z B.kπ±與

11、，k∈Z C.kπ+與2kπ±，k∈Z D.(2k+1)π與(4k±1)π，k∈Z 10.如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧AP的長(zhǎng)為l，弦AP的長(zhǎng)為d，則函數(shù)d=f(l)的圖象大致為　(　　) 【解析】選C.如圖，取AP的中點(diǎn)為D，設(shè)∠DOA=θ， 則d=2sinθ，l=2θR=2θ， 所以d=2sin. 11．已知α(0<α<2π)的正弦線和余弦線長(zhǎng)度相等，且符號(hào)相同，那么α的值為　　　　　. 【答案】或 【解析】根據(jù)正弦線和余弦線的定義知， 當(dāng)α=和時(shí)，其正弦線和余弦線長(zhǎng)度相等，且符號(hào)相同. 12．若

12、sinθ·cosθ<0，=cosθ，則點(diǎn)P在　(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3a-9，a+2)，且cosα≤0，sinα>0，則a的取值范圍是　　　　　. 【答案】(-2，3] 【解析】由得 所以-2

13、半軸上的角α，β的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓交于A，B兩點(diǎn)，若α=30°，β=60°，則弦AB的長(zhǎng)為　　　　. 【答案】 【解析】由三角函數(shù)的定義得A(cos30°，sin30°)，B(cos60°，sin60°)， 即A，B. 所以|AB|= ==. 16.寫出下面各圖中終邊在陰影內(nèi)的角的集合(包括邊界).[] (1)　 . (2)　 .

14、【答案】 (1) (2) 17.若角θ的終邊過點(diǎn)P(-4a，3a)(a≠0)， (1)求sinθ+cosθ的值. (2)試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號(hào). 【解析】(1)因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)P(-4a，3a)(a≠0)，[] 所以x=-4a，y=3a，r=5|a|， 當(dāng)a>0時(shí)，r=5a，sinθ+cosθ=-.[ 18.已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，試判斷的符號(hào). 【解析】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的終邊在第二、三象限或y軸上或x軸的負(fù)半軸上;又tanθ<0，所以角θ的終邊在第二、四象限，從而可知角θ的終邊在第二象限.易知-10，sin(cosθ)<0，故<0，即符號(hào)為負(fù). 19.如圖，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(4，0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，求P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間、相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)P，Q各自走過的弧長(zhǎng). 【解析】設(shè)P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是t， 則t·+t·=2π，所以t=4(秒)，即P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間為4秒. 設(shè)第一次相遇點(diǎn)的坐標(biāo)為C(xC，yC)， 12