2018年高考數學 熱點題型和提分秘籍 專題12 任意角和弧度制及任意角的三角函數 文

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1、 專題12 任意角和弧度制及任意角的三角函數 1．了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化 3．理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義 熱點題型一 象限角與終邊相同的角 例1、 (1)終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為________。 (2)如果α是第三象限的角，試確定－α，2α的終邊所在位置。 【答案】（1） （2）見解析 即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)， 所以角－α的終邊在第二象限。 由π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)， 得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)。 所

2、以角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負半軸。 【提分秘籍】 1．終邊在某直線上角的求法步驟 (1)數形結合，在平面直角坐標系中畫出該直線。 (2)按逆時針方向寫出[0，2π)內的角。 (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合。 (4)求并集化簡集合。 2．確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法 先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或的范圍，然后根據k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置。 【舉一反三】 設角α是第二象限的角，且＝－cos，則角屬于(　　) A．第一象限　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 熱點題型

3、二 扇形的弧長及面積公式 例2、 (1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角。 (2)已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？ 【解析】(1)設圓心角是θ，半徑是r， 【提分秘籍】 弧度制應用的關注點 1.弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此時α為弧度。在角度制下，弧長l＝，扇形面積S＝，此時n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系。 2.在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應用圓心角所在的三角形。 【舉一反三】 已知扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12 cm，求弧長l。 【解析】設扇形的半徑為r cm，如圖。 由sin60

4、°＝， 得r＝4(cm)， ∴l(xiāng)＝|α|·r＝×4＝π(cm)。 熱點題型三 三角函數的定義及其應用 例3． (1)若角θ的終邊經過點P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，則cosθ的值為________。 (2)頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上的角α，β的終邊與圓心在原點的單位圓交于A，B兩點，若α＝30°，β＝60°，則弦AB的長為________。 【答案】（1）－ （2） 【提分秘籍】三角函數定義的應用方法 (1)已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數值。先求P到原點的距離，再用三角函數的定義求解。 (2)已知角α的某三角函數值，可求角α終邊上一點

5、P的坐標中的參數值，可根據定義中的兩個量列方程求參數值。 (3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標。 【舉一反三】 已知角α的終邊與單位圓的交點P，則sinα·tanα＝(　　) A．－ B．± C．－ D．± 【答案】C 【解析】由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±。 得y＝時，sinα＝，tanα＝－，此時，sinα·tanα＝－。 當y＝－時，sinα＝－，tanα＝， 此時，sinα·tanα＝－，故選C。 1.【2017北京】在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們

6、的終邊關于y軸對稱.若，=___________. 【答案】 【解析】因為和關于軸對稱，所以，那么， （或）， 所以. 1.【2016高考新課標3理數】在中，，邊上的高等于,則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 2.【2016高考新課標2理數】若，則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 ， 且，故選D. 【2015高考新課標1，理2】 =( ) （A） （B）

7、（C） （D） 【答案】D 【解析】原式= ==，故選D. （2014·新課標全國卷Ⅰ] 如圖1-1，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示成x的函數f(x)，則y＝f(x)在[0，π]上的圖像大致為(　　) 圖1-1 　　A　 　　　 　　　　　B C　 　　　　　　　　D 【答案】C　 1.sin(-270°)=　(　　) A.-1 B.0 C. D.1 【解析】選D. 因為-270°角的終邊位于y軸的非負半軸上，在

8、其上任取一點(0，y)，則r=y，所以sin(-270°)= ==1. 2.已知α是第四象限角，則π-α是　(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】選C. 因為α，π-α的終邊關于y軸對稱，所以由題意得π-α是第三象限角. 3.小明出國旅游，當地時間比中國時間晚一個小時，他需要將表的時針旋轉，則轉過的角的弧度數是　(　　) A. B. C.- D.- 【解析】選B. 由題意小明需要把表調慢一個小時，逆時針旋轉時針弧度. 4.已知角α的終邊上一點的坐標為，則角α的終邊在第　　　　象限(　　) A.一 B.二

9、 C.三 D.四 【解析】選D. 因為=，所以α在第四象限. 5.下列命題中正確的是　(　　) A.若兩扇形面積的比是1∶4，則它們弧長的比是1∶2 B.若扇形的弧長一定，則面積存在最大值 C.若扇形的面積一定，則弧長存在最小值 D.任意角的集合可與實數集R之間建立一一對應關系 6.若tanα<0，且sinα>cosα，則α在　(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[] 【解析】選B. 因為tanα<0，所以α在第二或第四象限，又sinα>cosα，所以α在第二象限. 7.對于第四象限角的集合，下列四種表示中錯誤的是　(　

10、　) A. B. C. D. 【解析】選C. 先選定一周，A:270°到360°再加360°的整數倍，B:-90°到0°再加360°的整數倍，D:630°到720°再加360°的整數倍，故A，B，D都正確，只有C錯誤. 8.已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角α終邊上的一點P到原點的距離為，若α=，則點P的坐標為　(　　) A.(1，) B.(，1) C.() D.(1，1) 【解析】選D.設點P的坐標為(x，y)，則由三角函數的定義得 即 故點P的坐標為(1，1). 9.下列終邊相同的角是　(　　) A.kπ+與，k∈Z B.kπ±與

11、，k∈Z C.kπ+與2kπ±，k∈Z D.(2k+1)π與(4k±1)π，k∈Z 10.如圖，設點A是單位圓上的一定點，動點P從A出發(fā)在圓上按逆時針方向轉一周，點P所旋轉過的弧AP的長為l，弦AP的長為d，則函數d=f(l)的圖象大致為　(　　) 【解析】選C.如圖，取AP的中點為D，設∠DOA=θ， 則d=2sinθ，l=2θR=2θ， 所以d=2sin. 11．已知α(0<α<2π)的正弦線和余弦線長度相等，且符號相同，那么α的值為　　　　　. 【答案】或 【解析】根據正弦線和余弦線的定義知， 當α=和時，其正弦線和余弦線長度相等，且符號相同. 12．若

12、sinθ·cosθ<0，=cosθ，則點P在　(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.已知角α的終邊經過點P(3a-9，a+2)，且cosα≤0，sinα>0，則a的取值范圍是　　　　　. 【答案】(-2，3] 【解析】由得 所以-2

13、半軸上的角α，β的終邊與圓心在原點的單位圓交于A，B兩點，若α=30°，β=60°，則弦AB的長為　　　　. 【答案】 【解析】由三角函數的定義得A(cos30°，sin30°)，B(cos60°，sin60°)， 即A，B. 所以|AB|= ==. 16.寫出下面各圖中終邊在陰影內的角的集合(包括邊界).[] (1)　 . (2)　 .

14、【答案】 (1) (2) 17.若角θ的終邊過點P(-4a，3a)(a≠0)， (1)求sinθ+cosθ的值. (2)試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號. 【解析】(1)因為角θ的終邊過點P(-4a，3a)(a≠0)，[] 所以x=-4a，y=3a，r=5|a|， 當a>0時，r=5a，sinθ+cosθ=-.[ 18.已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，試判斷的符號. 【解析】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的終邊在第二、三象限或y軸上或x軸的負半軸上;又tanθ<0，所以角θ的終邊在第二、四象限，從而可知角θ的終邊在第二象限.易知-10，sin(cosθ)<0，故<0，即符號為負. 19.如圖，動點P，Q從點A(4，0)出發(fā)沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，求P，Q第一次相遇時所用的時間、相遇點的坐標及點P，Q各自走過的弧長. 【解析】設P，Q第一次相遇時所用的時間是t， 則t·+t·=2π，所以t=4(秒)，即P，Q第一次相遇時所用的時間為4秒. 設第一次相遇點的坐標為C(xC，yC)， 12