高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧 第07講 導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題

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1、 第07講：導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理 【知識要點(diǎn)】 在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和高考中，我們經(jīng)常會遇到不等式的雙變量的存在性和任意性問題，學(xué)生由于對于這類問題理解不清，很容易和不等式的恒成立問題混淆，面對這類問題總是感到很棘手，或在解題中出現(xiàn)知識性錯(cuò)誤. 1、雙存在性問題 “存在，存在，使得成立”稱為不等式的雙存在性問題，存在，存在，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值小.，即.（見下圖1） “存在，存在，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值大，即.（見下圖2） 2、雙任意性問題 “任意，對任意的，使得成立” 稱為不等式

2、的雙任意性問題. 任意，對任意的，使得成立，即在區(qū)間任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小，即. “任意，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)任意一 個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大,即. 3、存在任意性問題 “存在，對任意的，使得成立” 稱為不等式的存在任意性問題. 存在，對任意的，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小，即. （見下圖3） “存在，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大，即.（見下圖4） 【方法講評】 題型一 雙存在性問題 使用情景 不等式中的兩個(gè)自變量屬性都

3、是存在性的. 解題理論 存在，存在，使得成立” 稱為不等式的雙存在性問題，存在，存在，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值小，即. “存在，存在，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值大，即. 【例1】已知函數(shù). （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若存在，，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)，） 當(dāng)時(shí)，，， , 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間. 當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為， 增區(qū)間為. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值為， ，令，得.

4、 時(shí)，，單調(diào)遞減， ，，單調(diào)遞增， 所以在上的最小值為， 由題意可知，解得, 所以. 【點(diǎn)評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識要點(diǎn)），也可以這樣記憶，雙存在性問題兩邊的最值相反. 【反饋檢測1】設(shè)函數(shù)， （1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，試求出關(guān)于的關(guān)系式（用表示）,并確定的單調(diào)區(qū)間； （2）在（1）的條件下，設(shè)，函數(shù)，若存在使得成立，求的取值范圍. 題型二 雙任意性問題 使用情景 不等式的兩個(gè)自變量屬性都是任意的. 解題理論 “任意

5、，對任意的，使得成立” 稱為不等式的雙任意性問題. 任意，對任意的，使得成立，即在區(qū)間任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小，即. “任意，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間 內(nèi)任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大,即 . 【例2】已知函數(shù)．若不等式對所有，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【解析】則對所有的，都成立， 令，，是關(guān)于的一次函數(shù)， 因?yàn)?，所? 【點(diǎn)評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識要點(diǎn)），也可以這樣記憶，雙任意性

6、問題，兩邊的最值相反. 【反饋檢測2】已知函數(shù)，，，. （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）對于任意，任意，總有，求的取值范圍. 題型三 存在任意性 使用情景 不等式的兩個(gè)自變量一個(gè)屬性是存在性的，一個(gè)是任意性的. 解題理論 “存在，對任意的，使得成立”稱為不等式的存在任意性問題. 存在，對任意的，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小，即. “存在，對任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大，即. 【例3】（2010高考山東理數(shù)第22題）已知函數(shù). (Ⅰ)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對任意，存

7、在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍. （1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增. (2)當(dāng)時(shí)，由，即，解得. 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增； 時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增. 綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意，有 又已知存在，使，所以，，（※） 又 當(dāng)時(shí)，與（※）矛盾； 當(dāng)時(shí)，也與（※）矛盾； 當(dāng)時(shí)，. 綜上所述，

8、實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【點(diǎn)評】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識要點(diǎn)），也可以這樣記憶，存在任意性問題，兩邊的最值相同. 【反饋檢測3】已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）已知，函數(shù).若對任意，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧第07講： 導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理參考答案 【反饋檢測1答案】（1）；（2） . 令，得或 ∵是極值點(diǎn)，∴，即 當(dāng)即時(shí)，由得或 由得 當(dāng)

9、即時(shí)，由得或 由得 綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 又∵，， ∴函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的值域是，即 又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是 ∵－＝＝， ∴存在使得成立只須僅須 －<1 【反饋檢測2答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，不存在增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；（Ⅱ）. ∴遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間； 綜上：當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，不存在增區(qū)間； 當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間； （Ⅱ）令，由已知得只需即 若對任意，恒成立，即 令，則 設(shè)，則 ∴在遞減，即 ∴在遞減∴即 的取值范圍為． 【反饋檢測3答案】（I）詳見解析；（II）. 【反饋檢測3詳細(xì)解析】 當(dāng)時(shí)，或，在上遞增，在和上遞減； ，在上遞減. (II)由（2）知在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞減， 又， 故有， 只需在[0,2]上最小值小于等于-1即可. 即時(shí)最小值，不合題意，舍去； 即時(shí)最小值； 即時(shí)最小值； 綜上所述：. 10