16、性：可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性．
(3)周期性：利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解．
[演練沖關(guān)]
1．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)函數(shù)y＝f(x)為R上的偶函數(shù)，函數(shù)y＝g(x)為 R上的奇函數(shù)，f(x)＝g(x＋2)，f(0)＝－4，則g(x)可以是( )
A．4tan B．－4sin
C．4sin D．－4sin
解析：選D ∵f(x)＝g(x＋2)，f(0)＝－4，∴g(2)＝－4.而4tan＝4tan＝4，－4sin＝－4sin π＝0,4sin＝4sin＝4，－4sin
17、＝－4，∴y＝g(x)可以是g(x)＝－4sin，經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)D符合題干條件．故選D.
2．(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：選D ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
3．定義在R上的奇
18、函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(－x)，當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)＝則f(x)在區(qū)間內(nèi)是( )
A．增函數(shù)且f(x)>0 B．增函數(shù)且f(x)<0
C．減函數(shù)且f(x)>0 D．減函數(shù)且f(x)<0
解析：選D 由f(x)為奇函數(shù)，f(x＋1)＝f(－x)得，f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期為2的周期函數(shù)．根據(jù)條件，當(dāng)x∈，1時，f(x)＝log，x－2∈，－(x－2)∈，∴f(x)＝f(x－2)＝－f(2－x)＝log.設(shè)2－x＝t，則t∈，x＝2－t，∴－f(t)＝log－t，∴f(t)＝－log，∴f(x)＝－log，x∈，可以看出當(dāng)x增大時，
19、－x減小，log增大，f(x)減小，∴在區(qū)間內(nèi)，f(x)是減函數(shù)．而由11，∴f(x)<0.故選D.
[必備知能·自主補(bǔ)缺]
(一) 主干知識要記牢
函數(shù)的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．
(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)的任意
20、一個x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期．
(二) 二級結(jié)論要用好
1．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論
(1)當(dāng)f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)．
(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性．
(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．
(4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)．
(5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)
21、的圖象必過原點(diǎn)，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x)＝0.
(6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)為奇函數(shù)；
f(x)－f(－x)＝0?f(x)為偶函數(shù)．
2．抽象函數(shù)的周期性與對稱性的結(jié)論
(1)函數(shù)的周期性
①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a.
②若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a.
③若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a.
(2)函數(shù)圖象的對稱性
①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x
22、)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱．
③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
3．函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論
(1)把y＝f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個單位(c＞0時向左移，c＜0時向右移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))．
(2)把y＝f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個單位(b＞0時向上移，b＜0時向下移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))．
(三) 易錯易混要明了
1．求函數(shù)的定義域時
23、，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)．列不等式時，應(yīng)列出所有的不等式，不能遺漏．
2．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．
3．判斷函數(shù)的奇偶性時，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響．
4．用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問題．
[針對練1] 已知f(cos x)＝sin2x，則f(x)＝________.
解析：令t＝c
24、os x，且t∈[－1,1]，則f(t)＝1－t2，t∈[－1，1]，即f(x)＝1－x2，x∈[－1,1]．
答案：1－x2，x∈[－1,1]
5．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應(yīng)法則的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．
[針對練2] 已知函數(shù)f(x)＝則f＝________.
解析：f＝ln＝－1，f＝f(－1)＝e－1＝.
答案：
[課時跟蹤檢測]
A組——12＋4提速練
一、選擇題
1．函數(shù)f(x)＝ 的定義域?yàn)? )
25、A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：選C 由題意可知x滿足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得x＞2，即函數(shù)f(x)的定義域是(2，＋∞)．
2．已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是( )
A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
B．函數(shù)f(x)是減函數(shù)
C．函數(shù)f(x)是周期函數(shù)
D．函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)
解析：選D 由函數(shù)f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，則f(x)不是偶函數(shù)．當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋1，則f(x)在區(qū)間(0，
26、＋∞)上是增函數(shù)，且函數(shù)值f(x)>1；當(dāng)x≤0時，f(x)＝cos x，則f(x)在區(qū)間(－∞，0]上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值f(x) ∈[－1,1]．所以函數(shù)f(x)不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域?yàn)閇－1，＋∞)．故選D.
3．(2017·合肥模擬)函數(shù)y＝4cos x－e|x|(e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象可能是( )
解析：選A 令f(x)＝4cos x－e|x|，因?yàn)閒(－x)＝4cos(－x)－e|－x|＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項(xiàng)B，D.又f(0)＝4cos 0－e0＝3>0，所以選項(xiàng)A滿足條件．故選A.
4．已知函數(shù)f(x－
27、1)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象可能是( )
解析：選B 函數(shù)f(x－1)的圖象向左平移1個單位，即可得到函數(shù)f(x)的圖象．因?yàn)楹瘮?shù)f(x－1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對稱，排除A，C，D，故選B.
5．(2017·長春質(zhì)檢)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是( )
A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
解析：選D 選項(xiàng)A，B是偶函數(shù)，排除；選項(xiàng)C是奇函數(shù)，但在(0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，不符合
28、題意；選項(xiàng)D中，y＝x－是奇函數(shù)，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，故y＝x－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以選項(xiàng)D正確．故選D.
6．(2017·陜西質(zhì)檢)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋2)為偶函數(shù)，則f(8)＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．－2
解析：選B 由奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，可得f(0)＝0，由f(x＋2)為偶函數(shù)，可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，故f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[－(x＋2)＋2]＝f(－x)＝－f(x)，則f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，
29、所以f(8)＝f(0)＝0，故選B.
7．(2018屆高三·湖南五市十校聯(lián)考)函數(shù)y＝的圖象大致為( )
選A 當(dāng)x>2時，2－x<0，ex>0，(x－1)2>0，∴y<0，此時函數(shù)的圖象在x軸的下方，排除B；當(dāng)x<2且x≠1時，2－x>0，ex>0，(x－1)2>0，∴y>0，此時函數(shù)的圖象在x軸的上方，故選A.
8．(2017·天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)
30、由f(x)為奇函數(shù)，知g(x)＝xf(x)為偶函數(shù)．因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，f(0)＝0，所以當(dāng)x>0時，f(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(x)>0.又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，20.8<2＝log24
31、(x)．又當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又當(dāng)x＜0時，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故選D.
10．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有兩個不同實(shí)根，則a的取值范圍為( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
解析：選A x≤0時，f(x)＝2－x－1,00時，f(x)是周期函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示．
若方程f(x)＝x＋a有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則函
32、數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個不同交點(diǎn)，
故a<1，即a的取值范圍是(－∞，1)．
11．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝e|x|，函數(shù)g(x)＝對任意的x∈[1，m](m>1)，都有f(x－2)≤g(x)，則m的取值范圍是( )
A．(1,2＋ln 2) B.
C．(ln 2,2] D.
解析：選D 作出函數(shù)y1＝e|x－2|和y＝g(x)的圖象，如圖所示，由圖可知當(dāng)x＝1時，y1＝g(1)，又當(dāng)x＝4時，y1＝e24時，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1
33、，∴1
34、1不滿足題意；
②當(dāng)a－1＝0，即a＝1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此時不能滿足M?(－∞，1)，因此a＝1不滿足題意；
③當(dāng)a－1>0，即a>1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M?(－∞，1)得解得1
35、＋6)＝f(x)，
∴f(x)的周期為6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)為偶函數(shù)，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
14．(2017·陜西質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝，下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論：
①y＝f(x)的值域?yàn)镽；
②y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
③y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；
④y＝f(x)的圖象與直線y＝ax(a≠0)至少有一個交點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號是________．
解析：函數(shù)f(x)
＝
＝
其圖象如圖所示，由圖象可知f(x)的值域?yàn)?－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①錯；f(x
36、)在(0,1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，而在(0，＋∞)上不是單調(diào)的，故②錯；f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故③正確；由于f(x)在每個象限都有圖象，所以與過原點(diǎn)的直線y＝ax(a≠0)至少有一個交點(diǎn)，故④正確．
答案：③④
15．(2017·惠州調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件fx＋＝－f(x)，且函數(shù)y＝fx－為奇函數(shù)，給出以下四個結(jié)論：
①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；
②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；
③函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；
④函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號為________．
解析：f(x＋3)＝f＝－fx＋＝f(x)，所以f(x)是
37、周期為3的周期函數(shù)，①正確；函數(shù)fx－是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，②正確；因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，－＝，所以f(－x)＝－f－＋x，又f＝－f－＋x＋＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，③正確；f(x)是周期函數(shù)，在R上不可能是單調(diào)函數(shù)，④錯誤．故正確結(jié)論的序號為①②③.
答案：①②③
16．(2017·云南統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝若f(x－1)0時，－x<0，f(－x)＝3(－x)2＋ln(＋x)＝3x2＋ln(＋x)＝f(x)，同理可得，當(dāng)x<0時，f(－x)＝f(x)，
38、所以f(x)是偶函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x>0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以不等式f(x－1)0，解得x>0或x<－2.
答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)
B組——能力小題保分練
1．(2017·鄭州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝cos x的圖象大致為( )
解析：選C 依題意，f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝cos x＝－f(x)，因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，結(jié)合各選項(xiàng)知，選項(xiàng)A，B均不正確；當(dāng)00，f(x)<0，結(jié)合選項(xiàng)知，C正確，故選C.
2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(
39、x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )
A．f(－25)
40、上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，
所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，
所以f(－1)0，a≠1)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).若函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[－2,2]時，有g(shù)(x)＝f(x)，且函數(shù)g(x＋2)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．g(π)
41、點(diǎn)，所以a＝，即a＝，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減．函數(shù)g(x＋2)為偶函數(shù)，所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，又x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)且g(x)單調(diào)遞減，所以x∈[2,6]時，g(x)單調(diào)遞增，根據(jù)對稱性，可知在[－2,6]上距離對稱軸x＝2越遠(yuǎn)的自變量，對應(yīng)的函數(shù)值越大，所以g()
42、因?yàn)榍€y＝sin是由曲線y＝sin x向右平移個單位長度得到的，所以曲線y＝sinx－關(guān)于點(diǎn)對稱，又曲線y＝關(guān)于點(diǎn)對稱，所以f(x)的圖象關(guān)于對稱，所以f(x)＋f(1－x)＝1.所以＝f ＋f ＋…＋f ＝1 008×＝
1 008，故選B.
5．設(shè)曲線y＝f(x)與曲線y＝x2＋a(x>0)關(guān)于直線y＝－x對稱，且f(－2)＝2f(－1)，則a＝________.
解析：依題意得，曲線y＝f(x)即為－x＝(－y)2＋a(y<0)，化簡后得y＝－，即f(x)＝－，于是有－＝－2，解得a＝.
答案：
6．已知函數(shù)f(x)滿足對任意的x，y∈R，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成
43、立，函數(shù)g(x)滿足對任意的x，y∈R，都有g(shù)(xy)＝g(x)－g(y)成立，且f(3)＝2，g(－2)＝3，則f(－3)＋g(2)＝________.
解析：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足對任意的x，y∈R，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，令x＝y(tǒng)＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0；令x＝y(tǒng)＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，則f(－1)＝0；令y＝－1，則f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f(－3)＝f(3)＝2.函數(shù)g(x)滿足對任意的x，y∈R，都有g(shù)(xy)＝g(x)－g(y)成立，令x＝y(tǒng)＝－1，則g
44、(1)＝g(－1)－g(－1)＝0；令x＝1，y＝－1，則g(－1)＝g(1)－g(－1)，即g(－1)＝0；令y＝－1，則g(－x)＝g(x)－g(－1)，∴g(－x)＝g(x)，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，∴g(2)＝g(－2)＝3.∴f(－3)＋g(2)＝2＋3＝5.
答案：5
第二講 小題考法——基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程
考點(diǎn)(一)
主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象辨析以及比較大小問題.
基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[典例感悟]
[典例] (1)若當(dāng)x∈R時，函數(shù)f(x)＝a|x|(a>0且a≠1)滿足f(x)≤1，則函數(shù)y＝loga(x＋1)的圖象大致為( )
45、
(2)(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
[解析] (1)由a|x|≤1(x∈R)，知01，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－
＝
＝
＝>0，
∴2x>3y；
∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－
＝＝
＝<0，
∴3y<5z
46、；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－
＝＝
＝<0，
∴5z>2x.∴5z>2x>3y.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
3招破解指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較問題
(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．
(2)底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較．
(3)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù)，常引入中間量或結(jié)合圖象比較大小．
[演練沖關(guān)]
1．(2017·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)( )
A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在R上
47、是減函數(shù)
D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
解析：選A 因?yàn)閒(x)＝3x－x，且定義域?yàn)镽，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－3x－x＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
又y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝x在R上是減函數(shù)，所以f(x)＝3x－x在R上是增函數(shù)．
2．(2017·洛陽統(tǒng)考)已知f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)單調(diào)遞減，設(shè)a＝－21.2，b＝－0.8，c＝2log52，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系為( )
A．f(c)f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(
48、b)
解析：選C 依題意，注意到21.2>20.8＝－0.8>1＝log55>log54＝2log52>0，又函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，于是有f(21.2)
49、點(diǎn)B到直線AC的距離為，設(shè)點(diǎn)B(x0,2＋log2x0)，則點(diǎn)A(x0＋，3＋log2x0)．由點(diǎn)A在函數(shù)y＝log24x的圖象上，得log24(x0＋)＝3＋log2x0＝log28x0，則4(x0＋)＝8x0，x0＝，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是.
答案：
考點(diǎn)(二)
主要考查利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)或其存在范圍，以及應(yīng)用零點(diǎn)求參數(shù)的值(或范圍).
函 數(shù) 的 零 點(diǎn)
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·南昌模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個數(shù)是(
50、 )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(2017·成都模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(－x－1)＝f(x－1)，當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，則關(guān)于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有實(shí)數(shù)解之和為( )
A．－7 B．－6
C．－3 D．－1
(3)(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a＝( )
A．－ B.
C. D．1
[解析] (1)當(dāng)x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0,1)時，f′(x)>0，此時f(x)單調(diào)
51、遞增；x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減．因此，當(dāng)x>0時，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的大致圖象，如圖，觀察到函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖象有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))有2個零點(diǎn)．故選C.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋2)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，又當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝|cos πx|的圖象，如圖所
52、示．
由圖知關(guān)于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的實(shí)數(shù)解有7個．不妨設(shè)x10，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，則
53、f(x)的零點(diǎn)不唯一．
綜上所述，a＝.
[答案] (1)C (2)A (3)C
[方法技巧]
1．判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法
直接法
直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，則方程解的個數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)
定理法
利用零點(diǎn)存在性定理，利用該定理只能確定函數(shù)的某些零點(diǎn)是否存在，必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)
數(shù)形
結(jié)合法
對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖象的，常分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出圖象的函數(shù)的交點(diǎn)問題
2．利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法
(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解．
(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解
54、．
(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．
[演練沖關(guān)]
1．已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝3－f(2－x)，則函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：選A 由已知條件得g(x)＝3－f(2－x)＝函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象交點(diǎn)的個數(shù)，分別畫出函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的草圖，觀察發(fā)現(xiàn)有2個交點(diǎn)．故選A.
2．(2017·洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋x有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．(0,1
55、)
C. D.
解析：選B 依題意，關(guān)于x的方程ax－1＝有兩個不等的正實(shí)數(shù)根．記g(x)＝，則g′(x)＝，當(dāng)00，g(x)在區(qū)間(0，e)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(e，＋∞)上單調(diào)遞減，且g(e)＝，當(dāng)0
56、當(dāng)x∈[0,1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．(0,1]∪[2，＋∞)
B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0， ]∪[2，＋∞)
D．(0， ]∪[3，＋∞)
解析：選B 在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)＝(mx－1)2＝m22與g(x)＝＋m的大致圖象．
分兩種情形：
(1)當(dāng)01時，0<<1，如圖②，要使f(x)與g(x)的圖象在[0,1]上只有一個交點(diǎn)，只需g(1)≤f(1)
57、，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
綜上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
[必備知能·自主補(bǔ)缺]
(一) 主干知識要記牢
1．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比表
解析式
y＝ax(a＞0與a≠1)
y＝logax(a＞0與a≠1)
圖象
定義域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
單調(diào)性
0＜a＜1時，在R上是減函數(shù)；a＞1時，在R上是增函數(shù)
0＜a＜1時，在(0，＋∞)上是減函數(shù)；a＞1時，在(0，＋∞)上是增函數(shù)
兩圖象的對
58、稱性
關(guān)于直線y＝x對稱
2.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
(1)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
由函數(shù)零點(diǎn)的定義，可知函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．所以方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．
(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．
[針對練1] 在下列區(qū)間中，函
59、數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
解析：選C 因?yàn)閒＝e＋4×－3＝e－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1>0，f·f<0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.
(二) 易錯易混要明了
1．不能準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如討論函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性時忽視字母a的取值范圍，忽視ax>0；研究對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)時忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件．
2．易混淆函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，不能把函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、不等式解集的端點(diǎn)值進(jìn)行準(zhǔn)確互化．
3．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有
60、且只有一個零點(diǎn)，要注意討論a是否為零．
[針對練2] 函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．
解析：當(dāng)m＝0時，f(x)＝－2x＋1，則x＝為函數(shù)的零點(diǎn)．
當(dāng)m≠0時，若Δ＝4－4m＝0，即當(dāng)m＝1時，x＝1是函數(shù)唯一的零點(diǎn)．
若Δ＝4－4m≠0，即m≠1時，顯然x＝0不是函數(shù)的零點(diǎn)．
這樣函數(shù)有且僅有一個正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價于方程f(x)＝mx2－2x＋1有一個正根一個負(fù)根．
因此<0.則m<0.綜上知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，0]∪{1}．
答案：(－∞，0]∪{1}
[課時跟蹤檢測]
61、
A組——12＋4提速練
一、選擇題
1．(2017·沈陽質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是( )
解析：選A 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于y軸對稱，排除C；又由f(0)＝ln 1＝0，可排除B，D.故選A.
2．(2016·全國卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，則( )
A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：選A a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5
62、.
∵y＝x在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.
3．(2017·福州質(zhì)檢)已知a＝ln 8，b＝ln 5，c＝ln－ln，則( )
A．a(chǎn)
63、解析：選C ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是(0,1)，故選C.
5．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( )
(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析：選B 設(shè)2017年后的第n年該公司投入的
64、研發(fā)資金開始超過200萬元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，兩邊取常用對數(shù)，得n＞≈＝，∴n≥4，∴從2021年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．
6．函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：選C 當(dāng)x≤0時，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍去)或x＝－，即在區(qū)間(－∞，0]上，函數(shù)只有一個零點(diǎn)．當(dāng)x>0時，f(x)＝2x－6＋ln x，f′(x)＝2＋，由x>0知f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而f(1)＝－4<0，f(e)＝2e－5>0，f(1)·f(e)<0，從而f(x)在(
65、0，＋∞)上只有一個零點(diǎn)．故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是2.
7．(2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則( )
A．f(x)在(0,2)單調(diào)遞增
B．f(x)在(0,2)單調(diào)遞減
C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱
D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱
解析：選C 由題易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定義域?yàn)?0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，所以排除A、B；
又f ＝ln＋ln＝ln，
f
66、 ＝ln＋ln＝ln，
所以f ＝f ＝ln，所以排除D.故選C.
8．(2017·貴陽檢測)已知函數(shù)f(x)＝ln(x2－4x－a)，若對任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：選D 依題意得，函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，令函數(shù)g(x)＝x2－4x－a，其值域包含(0，＋∞)，因此對于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4，＋∞)，故選D.
9．(2018屆高三·河北五校聯(lián)考)函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，則＋的最小值為( )
A．2 B．4
C. D．
解析：選D 由函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)知，當(dāng)x＝－2時，y＝－1，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，－1)，又因?yàn)辄c(diǎn)A在直線mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2 ＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝
（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題六 函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)教學(xué)案 文
