《高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)三十 數(shù)列的綜合問題 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)三十 數(shù)列的綜合問題 Word版含解析（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（三十） 數(shù)列的綜合問題
[小題?？碱}點(diǎn)——準(zhǔn)解快解]
1．(20xx·安徽六安一中月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－n，其前n項(xiàng)和為Sn，將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若存在m∈N*，使對(duì)任意n∈N*，Sn≤Tm＋λ恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( )
A．[2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：選D 依題意得Sn＝＝，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，n＝4,5時(shí)，Sn取得最大值為10.另外，根據(jù)通項(xiàng)公式得數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為a1＝4，a2＝
2、3，a3＝2，a4＝1，觀察易知抽掉第二項(xiàng)后，余下的三項(xiàng)可組成等比數(shù)列．所以數(shù)列{bn}中，b1＝4，公比q＝，所以Tn＝＝8，所以4≤Tn<8.因?yàn)榇嬖趍∈N*，對(duì)任意n∈N*，Sn≤Tm＋λ恒成立，所以10<8＋λ，所以λ>2.故選D.
2．(20xx·北京景山學(xué)校段測(cè))已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，P(an，an＋1)(n∈N*)在直線x－y＋1＝0上，如果函數(shù)f(n)＝＋＋…＋(n∈N*，n≥2)，那么函數(shù)f(n)的最小值為( )
A. B．
C. D．
解析：選C 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程，得an＋1－an＝1，所以{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n，
3、所以f(n)＝＋＋…＋，f(n＋1)＝＋＋…＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋－>＋－＝0，所以f(n)單調(diào)遞增，故f(n)的最小值為f(2)＝，故選C.
3．(20xx·江西金溪一中月考)據(jù)統(tǒng)計(jì)測(cè)量，已知某養(yǎng)魚場(chǎng)，第一年魚的質(zhì)量增長(zhǎng)率為200%，以后每年的增長(zhǎng)率為前一年的一半．若飼養(yǎng)5年后，魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的t倍．下列選項(xiàng)中，與t值最接近的是( )
A．11 B．13
C．15 D．17
解析：選B 設(shè)魚原來的質(zhì)量為a，飼養(yǎng)n年后魚的質(zhì)量為an，q＝200%＝2，則a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12.7a，即5年后
4、，魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的12.7倍，故選B.
4．(20xx·湖北襄陽四校聯(lián)考)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：
第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.①
第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以，得到一個(gè)新數(shù)列a1，a2，a3，…，an.
則a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝( )
A. B．
C. D．
解析：選C 由題意知所得新數(shù)列為1×，×，×，…，×，所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝＝＝＝，故選C.
5．(20xx·遼寧盤錦高中月考)數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝，若不等式＋＋…＋
5、恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為( )
A. B．
C. D．
解析：選A 因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝，所以反復(fù)代入計(jì)算可得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，由此可歸納出通項(xiàng)公式an＝，經(jīng)驗(yàn)證，成立．所以＝1＋＝1＋，所以＋＋…＋＝n＋1＋＝n＋－.因?yàn)橐螅?n＋λ對(duì)任何正整數(shù)n恒成立，所以λ≥.故選A.
6．已知數(shù)列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2，記yn＝f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為( )
A．0 B．－9
C．9 D．1
解析：選C 由已知可得，數(shù)列{an}為等
6、差數(shù)列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為9.
7．(20xx·四川成都石室中學(xué)模擬)若f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列(n∈N*)的前n項(xiàng)和為( )
A. B．
C. D．
解析：選A 因?yàn)閒(x)＝xm＋ax，所以f′(x)＝mxm－1＋a.又因?yàn)閒′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，所以f(n)＝
7、n2＋n＝n(n＋1)，所以＝＝－，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故選A.
8．(20xx·河南新鄉(xiāng)模擬)若數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝________.
解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，∵a1＝1，∴an＝.
答案：
9．(20xx·廣東潮州模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＝2·3n－1(n∈N*)，若bn＝，則b1＋b2＋…＋bn＝________.
解析：由
8、an＝2·3n－1可知數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝＝3n－1，則bn＝＝＝－，則b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝－.
答案：－
10．(20xx·安徽六安一中段測(cè))已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈R都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立，數(shù)列{an}滿足an＝f(3n)(n∈N*)，且a1＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：因?yàn)閍n＝f(3n)，所以an＋1＝f(3n＋1)且a1＝3＝f(3)．又因?yàn)閷?duì)于任意的x，y∈R都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立，所以令x＝3n，y＝3，則f(3n＋1
9、)＝3nf(3)＋3f(3n)，所以an＋1＝3an＋3·3n，所以－＝1，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n·3n.
答案：n·3n
[大題常考題點(diǎn)——穩(wěn)解全解]
1．(20xx·山西八校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，a1＝1，且2a2，a4,3a3成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記bn＝2nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)由2a2，a4,3a3成等差數(shù)列可得2a4＝2a2＋3a3，
即2a1q3＝2a1q＋3a1q2，
又q>1，a1＝1，故2q2＝2＋3q，
即2q2－3q
10、－2＝0，得q＝2，
因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.
(2)bn＝2n×2n－1＝n×2n，
Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.②
①－②得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1，
－Tn＝－n×2n＋1，
Tn＝(n－1)×2n＋1＋2.
2．(20xx·山東高考)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，
11、n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn.
解：(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q，由已知得q>0.由題意得所以3q2－5q－2＝0.因?yàn)閝>0，所以q＝2，x1＝1，因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1.
(2)過P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn，由題意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(
12、2n＋1)×2n－2.①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②
①－②得－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.
3．(20xx·河北二市聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N*)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中項(xiàng)，若bn＝log2an＋1.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn＝an＋1＋，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q>0，
在等比數(shù)列{an}中，由an
13、>0，a1a3＝4得，a2＝2，①
又a3＋1是a2和a4的等差中項(xiàng)，
所以2(a3＋1)＝a2＋a4，②
把①代入②得，2(2q＋1)＝2＋2q2，
解得q＝2或q＝0(舍去)，
所以an＝a2qn－2＝2n－1，
則bn＝log2an＋1＝log22n＝n.
(2)由(1)得，cn＝an＋1＋
＝2n＋
＝2n＋，
所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn＝2＋22＋…＋2n＋
＝＋
＝2n＋1－2＋.
4．(20xx·河北定州中學(xué)階段性檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝＋.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋2－an＋，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<2n＋.
解：(1)因?yàn)镾n＝＋，①
所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝＋，②
所以由①②兩式相減得an＝Sn－Sn－1＝＋－－＝n＋1.
又因?yàn)閚＝1時(shí)，a1＝S1＝2適合an＝n＋1，
所以an＝n＋1.
(2)證明：由(1)知bn＝n＋3－(n＋1)＋
＝2＋，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝2n＋
＝2n＋
＝2n＋－<2n＋.
高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)三十 數(shù)列的綜合問題 Word版含解析
