高考數學 第二章 第四節(jié) 指數、指數函數課件 理 蘇教版

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1、第四節(jié) 指數、指數函數1.1.根式根式(1)(1)根式的概念根式的概念根式根式 符號符號表示表示 備注備注 如果一個實數如果一個實數x x滿足滿足_，那么，那么稱稱x x為為a a的的n n次實數方根次實數方根 n1n1且且nNnN* * 當當n n為奇數時，正數的為奇數時，正數的n n次實數方次實數方根是一個根是一個_數，負數的數，負數的n n次實數次實數方根是一個方根是一個_數數. . 零的零的n n次實數方根是次實數方根是_ _ 當當n n為偶數時，正數的為偶數時，正數的n n次實數方次實數方根有兩個，它們互為根有兩個，它們互為_. _. (a0) (a0) _沒有偶次實數沒有偶次實數方

2、根方根 x xn n=a=a正正負負na零零相反數相反數na負數負數(2)(2)兩個重要公式兩個重要公式 (n(n為奇數且為奇數且nNnN* *),), (n (n為偶數且為偶數且nNnN* *).). =_(a =_(a必須使必須使 有意義有意義) )nn_aaa annaa ana2.2.分數指數冪的意義及有理數指數冪的運算性質分數指數冪的意義及有理數指數冪的運算性質(1)(1)意義意義 = _ (a0,m,n = _ (a0,m,n均為正整數均為正整數) )； =_= _(a0,m,n =_= _(a0,m,n均為正整數均為正整數).).mnamnamnamn1amn1a(2)(2)運算

3、性質運算性質a ar raas s=_(a0,r=_(a0,r，sQsQ) )；(a(ar r) )s s=_(a0,r=_(a0,r，sQsQ) )；(ab)(ab)r r=_(a0,b0,rQ).=_(a0,b0,rQ).上述有理數指數冪的運算性質，對于無理數指數冪也適用上述有理數指數冪的運算性質，對于無理數指數冪也適用. .a ar+sr+sa arsrsa ar rb br r3.3.指數函數的圖象與性質指數函數的圖象與性質名名 稱稱 y=ay=ax x(a(a1) 1) y=ay=ax x(0a1) (0a0 x0時，時，_;_;當當x0 x0 x0時，時，_;_;當當x0 x1y1

4、0y10y10y10y1y1增函數增函數減函數減函數R R判斷下面結論是否正確判斷下面結論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1) =-4.( )(1) =-4.( )(2) ( )(2) ( )(3)(3)函數函數y=ay=a-x-x是是R R上的增函數上的增函數.( ).( )(4)(4)函數函數y= (ay= (a1)1)的值域是的值域是(0(0，+).( )+).( )4442142111. 2x1a【解析【解析】(1)(1)錯誤錯誤. . 沒有意義沒有意義. .(2)(2)錯誤錯誤. .底數為負數時，指數不能約分底數為負數時，指數不能約分. .(3)(3)錯

5、誤錯誤. .當當a a1 1時函數是時函數是R R上的減函數，當上的減函數，當0 0a a1 1時函數是時函數是R R上的增函數上的增函數. .(4)(4)錯誤錯誤. .因為因為x x2 2+11+11，所以，所以yaya，即值域為，即值域為a a，+).+).答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)441.1.化簡化簡 -(-1)-(-1)0 0的結果為的結果為_._.【解析【解析】 -1=8-1=7.-1=8-1=7.答案：答案：7 716221160622212 2.2.化簡化簡 (x(x0 0，y y0)0)得得_._.【解析【解析】 =2x=2x2 2

6、|y|=-2x|y|=-2x2 2y.y.答案：答案：-2x-2x2 2y y84416x y4844244416x y2xy3.3.當當a a0 0且且a1a1時，函數時，函數f(xf(x)=a)=ax-2x-2-3-3的圖象必過定點的圖象必過定點_._.【解析解析】由由a a0 0=1=1知，當知，當x-2=0 x-2=0，即，即x=2x=2時，函數時，函數f(xf(x) )的圖象恒過的圖象恒過定點定點. .此時，此時，f(2)=-2f(2)=-2，即圖象必過定點，即圖象必過定點(2(2，-2).-2).答案：答案：(2(2，-2)-2)4.4.指數函數指數函數y=(2-a)y=(2-a)

7、x x在定義域內是減函數，則在定義域內是減函數，則a a的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】由題意知，由題意知，0 02-a2-a1 1，即，即1 1a a2.2.答案：答案：(1(1，2)2)5.5.函數函數y= y= 的值域是的值域是_._.【解析【解析】1-xR,y1-xR,y0.0.答案：答案：(0(0，+)+)1 x1( )2考向考向 1 1 指數冪的化簡與求值指數冪的化簡與求值 【典例【典例1 1】化簡：化簡：(1) (1) (2) (2) 【思路點撥【思路點撥】將根式化為分數指數冪，負分數指數冪化為正分將根式化為分數指數冪，負分數指數冪化為正分數指數冪，底數為小數的化成

8、分數，然后運用冪的運算性質進數指數冪，底數為小數的化成分數，然后運用冪的運算性質進行計算行計算. .3223111143342a baba0b0 .(a b ) ab ， 1111010.253324730.00813 ( ) 81(3 )10 0.027 .88【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)原式原式= =(2)(2)原式原式1213233211233a b a bab ab（）3 111111212 6333abab . 1114114233()3 13( ) 10211313233112310110 () ()()1030.10103331033【拓展提升【拓展提升】指數冪的一般運算原

9、則指數冪的一般運算原則有括號的先算括號里的有括號的先算括號里的, ,無括號的先做指數運算無括號的先做指數運算, ,先乘除后加減先乘除后加減, ,負指數冪化成正指數冪的倒數負指數冪化成正指數冪的倒數, ,底數是負數底數是負數, ,先確定符號先確定符號, ,底數底數是小數是小數, ,先化成分數先化成分數, ,底數是帶分數的底數是帶分數的, ,先化成假分數先化成假分數, ,若是根式若是根式, ,應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示, ,運用指數冪的運運用指數冪的運算性質來解答算性質來解答. .【提醒【提醒】運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有運算結果

10、不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數分母又含有負指數. .【變式訓練【變式訓練】(1)(1)計算：計算： (2)(2)計算：計算：(3)(3)已知已知【解析【解析】(1)(1)原式原式= = (2)(2)原式原式= =933713332aaaa.331122221122mmmm4.mm，求1713931333222a aaa（）（）113232aaaa1.1123227257110009 （） （）（）10549145.33 112032170.027221 .79 （） （） （）（）(3) =4,m+m(3) =4,m+m-1-1+2=16,+2=16,m+mm+m-1-

11、1=14,=14,=m+m=m+m-1-1+1=14+1=15.+1=14+1=15.1122mm33111222211112222mmmmmm1mmmm()()考向考向 2 2 指數函數圖象的應用指數函數圖象的應用【典例【典例2 2】已知函數已知函數y=y=(1)(1)作出圖象作出圖象. .(2)(2)由圖象指出其單調區(qū)間由圖象指出其單調區(qū)間. .(3)(3)由圖象指出當由圖象指出當x x取什么值時函數有最值取什么值時函數有最值. .【思路點撥【思路點撥】將函數寫成分段函數的形式，作出函數的圖象，將函數寫成分段函數的形式，作出函數的圖象，由圖象可求單調區(qū)間及最值由圖象可求單調區(qū)間及最值. .

12、x 11( ).3【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由已知可得由已知可得, ,其圖象由兩部分組成：其圖象由兩部分組成：一部分是：一部分是：y=( )y=( )x x(x0)(x0)圖象如圖所示：圖象如圖所示：x 1x 1x 11,x11y333,x1. （ ），（ ）13x 11xx 111y( )x13y3 (x0)y3x1 . 向左平移個單位向左平移個單位；另一部分是：(2)(2)函數在函數在(-(-，-1-1上是增函數，在上是增函數，在-1-1，+)+)上是減函數上是減函數. .(3)(3)當當x=-1x=-1時，函數時，函數y= y= 取最大值取最大值1 1，無最小值，無最小值. .x

13、 11( )3【拓展提升【拓展提升】1.1.應用指數函數圖象研究指數型函數的性質應用指數函數圖象研究指數型函數的性質對指數型函數的性質對指數型函數的性質( (單調性、最值、大小比較、零點等單調性、最值、大小比較、零點等) )的求的求解往往利用相應指數函數的圖象解往往利用相應指數函數的圖象, ,通過平移、對稱變換得到其通過平移、對稱變換得到其圖象圖象, ,然后數形結合使問題得解然后數形結合使問題得解. .2.2.利用圖象解指數型方程、不等式利用圖象解指數型方程、不等式一些指數型方程、不等式問題的求解一些指數型方程、不等式問題的求解, ,往往利用相應指數型函往往利用相應指數型函數圖象數形結合求解數

14、圖象數形結合求解. .【變式訓練【變式訓練】k k為何值時為何值時, ,方程方程|3|3x x-1|=k-1|=k無解？有一解？有兩解？無解？有一解？有兩解？【解析【解析】函數函數y=|3y=|3x x-1|-1|的圖象是由函數的圖象是由函數y=3y=3x x的圖象向下平移一的圖象向下平移一個單位后個單位后, ,再把位于再把位于x x軸下方的圖象沿軸下方的圖象沿x x軸翻折到軸翻折到x x軸上方得到的軸上方得到的, ,函數圖象如圖所示函數圖象如圖所示. .當當k k0 0時時, ,直線直線y=ky=k與函數與函數y=|3y=|3x x-1|-1|的圖象無交點的圖象無交點, ,即方程無解；即方程

15、無解；當當k=0k=0或或k1k1時時, ,直線直線y=ky=k與函數與函數y=|3y=|3x x-1|-1|的圖象有惟一的交點的圖象有惟一的交點, ,所以方程有一解；所以方程有一解；當當0 0k k1 1時時, ,直線直線y=ky=k與函數與函數y=|3y=|3x x-1|-1|的圖象有兩個不同的交的圖象有兩個不同的交點點, ,所以方程有兩解所以方程有兩解. .考向考向 3 3 指數函數性質的應用指數函數性質的應用【典例【典例3 3】(1)(1)函數函數y= y= 的定義域為的定義域為_，值域為，值域為_._.(2)(2)已知已知f(xf(x)= (a)= (a0 0且且a1).a1).討論

16、討論f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .求求a a的取值范圍，使的取值范圍，使f(xf(x) )0 0在定義域上恒成立在定義域上恒成立. .【思路點撥【思路點撥】(1)(1)解答本題主要利用指數函數的單調性結合二解答本題主要利用指數函數的單調性結合二次函數的性質求解次函數的性質求解. .(2)(2)先求函數的定義域，再判斷奇偶性，對于恒成立問題，可先求函數的定義域，再判斷奇偶性，對于恒成立問題，可借助函數的奇偶性，只討論借助函數的奇偶性，只討論x x0 0的情況的情況. .23 2x x1( )23x11xa12（）【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)函數函數y= y= 的定義域為的定義域為

17、R R，令令t=3+2x-xt=3+2x-x2 2, ,則則t=-(x-1)t=-(x-1)2 2+4,+4,由由xRxR得得t(-,4t(-,4, ,因為因為y= y= 在在(-,4(-,4上是減函數，上是減函數，所以所以y= y= ,+).,+).答案：答案：R R ,+),+)23 2x x1( )2t1( )2t1( )2116116(2)(2)由于由于a ax x-10,-10,則則a ax x1,1,得得x0,x0,所以函數所以函數f(xf(x) )的定義域為的定義域為x|x0,xR.x|x0,xR.對于定義域內任意對于定義域內任意x x，有，有f(xf(x) )是偶函數是偶函數.

18、 .x33xx3x3x11a1fx()xxa121 a2111xa1211xfx .a12 （） ()（）（）()（）（ ）由由知知f(xf(x) )為偶函數，為偶函數，只需討論只需討論x x0 0時的情況時的情況. .當當x x0 0時，要使時，要使f(xf(x) )0 0，即即即即a ax x-1-10 0，a ax x1 1，a ax xa a0 0. .又又xx0 0，aa1.1.因此因此a a1 1時，時，f(xf(x) )0 0在定義域上恒成立在定義域上恒成立. .3x11x0a12（） ，xxx11a100a122 a1即 ，即 ，【互動探究【互動探究】本例題本例題(1)(1)中

19、求函數的單調區(qū)間中求函數的單調區(qū)間. .【解析【解析】令令u=3+2x-xu=3+2x-x2 2，y=y=又當又當x(-,1)x(-,1)時時,u,u為增函數，當為增函數，當xx1,+)1,+)時，時，u u為減函為減函數，數，又又0 10 1，故，故y= y= 在在(-,1)(-,1)上為減函數，在上為減函數，在1,+)1,+)上為增函數上為增函數. .u1( ) ,21223 2x x1( )2【拓展提升【拓展提升】利用指數函數的性質可求解的問題及方法利用指數函數的性質可求解的問題及方法(1)(1)應用指數函數的單調性可以比較同底數冪值的大小應用指數函數的單調性可以比較同底數冪值的大小.

20、.(2)(2)與指數函數有關的指數型函數的定義域、值域與指數函數有關的指數型函數的定義域、值域( (最值最值) )、單、單調性、奇偶性的求解方法調性、奇偶性的求解方法, ,與前面所講一般函數的求解方法一與前面所講一般函數的求解方法一致致, ,只需根據條件靈活選擇即可只需根據條件靈活選擇即可. .【變式備選【變式備選】(1)(1)函數函數f(xf(x)= )= 的單調遞減區(qū)間為的單調遞減區(qū)間為_，值域為值域為_._.【解析【解析】令令g(xg(x)=-x)=-x2 2-4x+3=-(x+2)-4x+3=-(x+2)2 2+7,+7,由于由于g(xg(x) )在在(-,-2)(-,-2)上上單調遞

21、增單調遞增, ,在在(-2,+)(-2,+)上單調遞減上單調遞減, ,而而y= y= 在在R R上為單調遞減上為單調遞減, ,所以所以f(xf(x) )在在(-,-2)(-,-2)上單調遞減上單調遞減. .又又g(xg(x)=-(x+2)=-(x+2)2 2+77, +77, f(x)f(x)答案：答案：(-,-2) 3(-,-2) 3-7-7,+),+)2x4x 31( )3t1( )3771( )3 .3(2)(2)已知函數已知函數f(xf(x)= (a)= (a0 0且且a1)a1)，求求f(xf(x) )的定義域的定義域. .討論討論f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .討論討論f(

22、xf(x) )的單調性的單調性. .【解析【解析】f(xf(x) )的定義域是的定義域是R.R.f(-x)= =-f(x)f(-x)= =-f(x)，f(xf(x) )是奇函數是奇函數. .xxa1a1xxxxa11 aa11af(xf(x)=)=設設x x1 1,x,x2 2是是R R上任意兩個實數上任意兩個實數, ,且且x x1 1x x2 2, ,則則f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=xx1 1x x2 2,當當a a1 1時時, , 0,0,從而從而f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0,0,即即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2),f(x),f

23、(x)為為R R上的增函數上的增函數. .當當0 0a a1 1時時, , 0,0,從而從而f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0,0,即即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2),f(x),f(x)為為R R上的減函數上的減函數. .xxxa1221,a1a1 （）122112xxxxxx2 aa22.a1a1a1 a121xxaa1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,12xxaa1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,【易錯誤區(qū)【易錯誤區(qū)】忽略對指數函數的底數的討論致誤忽略對指數函數的底數的討論致誤【典例【典例】(2012(2012山東高考山東高考) )若函數若

24、函數f(x)=af(x)=ax x(a(a0 0，a1)a1)在在-1-1，2 2上的最大值為上的最大值為4 4，最小值為，最小值為m m，且函數，且函數g(xg(x)= )= 在在0 0，+)+)上是增函數，則上是增函數，則a=_.a=_.【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯誤主要有兩個方面本題易出現(xiàn)的錯誤主要有兩個方面: :(1)(1)誤以為誤以為a a1,1,未進行分類討論從而求得錯誤答案未進行分類討論從而求得錯誤答案. .(2)(2)對條件對條件“g(xg(x) )在在0 0，+)+)上是增函數上是增函數”不會使用，求得不會使用，求得結果后未進行檢驗得到兩個答案結果后未進行檢驗得到兩個答

25、案. .14mx【規(guī)范解答【規(guī)范解答】若若a a1 1，有，有a a2 2=4=4，a a-1-1=m=m，此時，此時a=2a=2，m= m= ，此時，此時g(xg(x)= )= 為減函數，不合題意為減函數，不合題意. .若若0 0a a1 1，有，有a a-1-1=4=4，a a2 2=m=m，故故a= a= ，m= m= ，檢驗知符合題意，檢驗知符合題意. .答案：答案： 12x1411614【思考點評【思考點評】1.1.指數函數的底數不確定時應分類討論指數函數的底數不確定時應分類討論指數函數的底數不確定時，單調性不明確，從而無法確定其最指數函數的底數不確定時，單調性不明確，從而無法確定其

26、最值，故應分值，故應分a a1 1和和0 0a a1 1兩種情況討論兩種情況討論. .2.2.根據函數的單調性確定其最值根據函數的單調性確定其最值根據函數的單調性求最值是求函數最值的常用方法之一，熟練根據函數的單調性求最值是求函數最值的常用方法之一，熟練掌握基本初等函數的單調性及復合函數的單調性是求解的基礎掌握基本初等函數的單調性及復合函數的單調性是求解的基礎. . 1.(20131.(2013徐州模擬徐州模擬) )設設xR,f(xxR,f(x)= )= 若不等式若不等式f(x)+f(2x)f(x)+f(2x)kk對于任意實數對于任意實數xRxR恒成立，則實數恒成立，則實數k k的取值范圍是的

27、取值范圍是_._.【解析【解析】f(x)+f(2x)kf(x)+f(2x)k，即，即 ，令，令t= t= 則則0t10t1，原不等式化為原不等式化為t+tt+t2 2kk，令，令y=t+ty=t+t2 2= =02.02.答案：答案：k2k2x1( )2，x2x11( )( )k22x1( )2，211(t),242.(20132.(2013濟南模擬濟南模擬) )設設y y1 1=4=40.90.9,y,y2 2=8=80.480.48,y,y3 3=( )=( )-1.5-1.5, ,則則y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小關系為的大小關系為_._.【解析【解析】y y1 1=2=

28、21.81.8,y,y2 2=2=21.441.44,y,y3 3=2=21.51.5，1.81.81.51.51.441.44，2 21.81.82 21.51.52 21.441.44,y,y1 1y y3 3y y2 2. .答案：答案：y y1 1y y3 3y y2 2123.(20133.(2013揚州模擬揚州模擬) )設設a1a1，若對任意的，若對任意的xxa,2aa,2a，都有，都有yya,aa,a2 2，滿足，滿足logloga ax+logx+loga ay y=3=3，則，則a a的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】由由logloga ax+logx+loga

29、ay y=3=3，得，得xyxy=a=a3 3,y=,y=函數函數y= y= 在在a,2aa,2a上為減函數上為減函數. . =a =a2 2, a,a2., a,a2.答案：答案：2 2，+)+)3a,x3ax3aa3a2a4.(20124.(2012上海高考上海高考) )方程方程4 4x x-2-2x+1x+1-3=0-3=0的解是的解是_._.【解析解析】方法一：原方程方法一：原方程4 4x x-2-2x+1x+1-3=0-3=0可化為可化為(2(2x x) )2 2-2-22 2x x-3=0-3=0，即即(2(2x x-3)(2-3)(2x x+1)=0+1)=0，由于，由于2 2x

30、 x0 0，xRxR，2 2x x-3=0-3=0，即，即x=logx=log2 23.3.方法二：令方法二：令t=2t=2x x，則，則t t0 0，原方程可化為，原方程可化為t t2 2-2t-3=0-2t-3=0，解得解得t=3t=3或或t=-1(t=-1(舍去舍去) )，即，即2 2x x=3=3，x=logx=log2 23.3.答案：答案：x=logx=log2 23 31.1.已知函數已知函數f(xf(x) )是定義在是定義在R R上的奇函數，當上的奇函數，當x x0 0時，時，f(xf(x)=)=1-21-2-x-x，則不等式，則不等式f(xf(x) ) 的解集是的解集是_._

31、.【解析【解析】當當x x0 0時，時，f(xf(x)=1-2)=1-2-x-x0 0，又又f(xf(x) )是是R R上的奇函數，上的奇函數，所以所以f(xf(x) ) 的解集和的解集和f(xf(x) ) (x(x0)0)的解集關于原點對的解集關于原點對稱，由稱，由1-21-2-x-x 得得2 2-x-x =2=2-1-1，即，即x x1 1，則，則f(xf(x) ) 的解集的解集是是(-(-，-1).-1).答案：答案：(-(-，-1)-1)1212121212122.2.若關于若關于x x的方程的方程a a2x2x+(1+ )a+(1+ )ax x+1=0(a+1=0(a0 0且且a1)a1)有解，則有解，則m m的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】由由a ax x0 0知知 解得解得 mm0.0.答案：答案： ，0)0)1m22m102mm140m ，1313