高中數(shù)學(xué) 人教A版 必修5 優(yōu)秀教案 8示范教案

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1、 或 2.5　等比數(shù)列的前n項和 2.5.1　等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用 從容說課 師生將共同分析探究等比數(shù)列的前n項和公式.公式的推導(dǎo)以教材中的“錯位相減法”為最基本的方法，“錯位相減法”也是一種算法，其設(shè)計的思路是“消除差別”，從而達到化簡的目的. 等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)還有許多方法，可啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生進行探索.例如，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得, 再由分式性質(zhì)，得,整理得. 教學(xué)中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，還應(yīng)給予學(xué)生充分的探索空間. 教學(xué)重點 1.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo); 2.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用. 教學(xué)難點 等比數(shù)列前n項和公式的推

2、導(dǎo). 教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影膠片、投影儀等 三維目標(biāo) 一、知識與技能 1.了解現(xiàn)實生活中存在著大量的等比數(shù)列求和的計算問題； 2.探索并掌握等比數(shù)列前n項和公式； 3.用方程的思想認(rèn)識等比數(shù)列前n項和公式，利用公式知三求一； 4.體會公式推導(dǎo)過程中的分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想. 二、過程與方法 1.采用觀察、思考、類比、歸納、探究得出結(jié)論的方法進行教學(xué)； 2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性活動. 三、情感態(tài)度與價值觀 1.通過生活中有趣的實例，鼓勵學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力；

3、2.在探究活動中學(xué)會思考，學(xué)會解決問題的方法； 3.通過對有關(guān)實際問題的解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣. 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 師 國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者.這個故事大家聽說過嗎？ 生 知道一些，踴躍發(fā)言. 師 “請在第一個格子里放上1顆麥粒，第二個格子里放上2顆麥粒，第三個格子里放上4顆麥粒，以此類推.每一個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒的2倍.直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”這就是國際象棋發(fā)明者向國王提出的要求. 師 假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g，按目前世界小麥年度產(chǎn)量約60億噸計.你

4、認(rèn)為國王能不能滿足他的要求？ 生 各持己見.動筆，列式，計算. 生 能列出式子：麥粒的總數(shù)為 1+2+22+…+263=? 師 這是一個什么樣的問題？你們計算出結(jié)果了嗎？讓我們一起來分析一下. 課件展示： 1+2+22+…+2 63=? 師 我們將各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列，那么我們得到的就是一個等比數(shù)列.它的首項是1，公比是2，求第1個格子到第64個格子所放的麥粒數(shù)總和，就是求這個等比數(shù)列的前64項的和. 現(xiàn)在我們來思考一下這個式子的計算方法： 記S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64項，后項與前項的比為公比2，當(dāng)每一項都乘以2后，中間有62項是

5、對應(yīng)相等的，作差可以相互抵消. 課件展示： S=1+2+22+23+…+2 63,① 2S=2+22+23+…+263+264,② ②-①得 2S-S=2 64-1. 264-1這個數(shù)很大，超過了1.84×10 19，假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g，那么麥粒的總質(zhì)量超過了7 000億噸.而目前世界年度小麥產(chǎn)量約60億噸，因此，國王不能實現(xiàn)他的諾言. 師 國王不假思索地給國際象棋發(fā)明者一個承諾，導(dǎo)致了一個很不幸的后果的發(fā)生，這都是他不具備基本的數(shù)學(xué)知識所造成的.而避免這個不幸的后果發(fā)生的知識，正是我們這節(jié)課所要探究的知識. 推進新課 ［合作探究］ 師 在對一般形式

6、推導(dǎo)之前，我們先思考一個特殊的簡單情形：1+q+q2+…+qn=？ 師 這個式子更突出表現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，請同學(xué)們注意觀察. 生 觀察、獨立思考、合作交流、自主探究. 師 若將上式左邊的每一項乘以公比q，就出現(xiàn)了什么樣的結(jié)果呢？ 生 q+q2+…+qn+q n+1. 生 每一項就成了它后面相鄰的一項. 師 對上面的問題的解決有什么幫助嗎？ 師 生共同探索： 如果記Sn=1+q+q2+…+qn, 那么qSn=q+q2+…+qn+q n+1. 要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=1-qn. 師 提問學(xué)生如何處理，適時提醒學(xué)生注意q的取

7、值. 生 如果q≠1，則有. 師 當(dāng)然，我們還要考慮一下如果q＝1問題是什么樣的結(jié)果. 生 如果q＝1，那么Sn=n. 師 上面我們先思考了一個特殊的簡單情形，那么，對于等比數(shù)列的一般情形我們怎樣思考？ 課件展示： a1+a2+a3+…+an=？ ［教師精講］ 師 在上面的特殊簡單情形解決過程中，蘊含著一個特殊而且重要的處理問題的方法，那就是“錯位相減，消除差別”的方法.我們將這種方法簡稱為“錯位相減法”. 師 在解決等比數(shù)列的一般情形時，我們還可以使用“錯位相減法”. 如果記Sn=a1+a2+a3+…+an, 那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+a

8、nq, 要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-anq. 師 再次提醒學(xué)生注意q的取值. 如果q≠1，則有. 師 上述過程如果我們略加變化一下，還可以得到如下的過程： 如果記Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1, 那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn, 要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn. 如果q≠1，則有. 師 上述推導(dǎo)過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒有什么差別，都是用的“錯位相減法”. 形式上，前一個出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,

9、an,Sn四個；后者出現(xiàn)的是a1,q,Sn,n四個，這將為我們今后運用公式求等比數(shù)列的前n項的和提供了選擇的余地. 值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q≠1時，我們才能用上述公式. 師 現(xiàn)在請同學(xué)們想一想，對于等比數(shù)列的一般情形，如果q＝1問題是什么樣的結(jié)果呢？ 生 獨立思考、合作交流. 生 如果q＝1，Sn=na1. 師 完全正確. 如果q＝1，那么Sn=nan.正確嗎？怎么解釋？ 生 正確.q＝1時，等比數(shù)列的各項相等，它的前n項的和等于它的任一項的n倍. 師 對了，這就是認(rèn)清了問題的本質(zhì). 師

10、等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)還有其他的方法，下面我們一起再來探討一下： ［合作探究］ 思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有：, 再由合比定理，則得, 即, 從而就有(1-q)Sn=a1-anq. (以下從略) 思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得 Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an), 從而得(1-q)Sn=a1-anq. (以下從略) 師 探究中我們們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，Sn-S n-1=an是一個非常有用的關(guān)系，應(yīng)該引起大家足夠的重視.在這個關(guān)系式中，n的取值應(yīng)該滿足什么條件

11、？ 生 n＞1. 師 對的，請同學(xué)們今后多多關(guān)注這個關(guān)系式：Sn-S n-1=an，n＞1. 師 綜合上面的探究過程，我們得出： 或者 ［例題剖析］ 【例題1】 求下列等比數(shù)列的前8項的和： (1),,,…； (2)a1=27,a9=,q＜0. ［合作探究］ 師生共同分析： 由(1)所給條件，可得，,求n＝8時的和，直接用公式即可. 由(2)所給條件，需要從中獲取求和的條件，才能進一步求n＝8時的和.而a9=a1q8，所以由條件可得q8= =，再由q＜0，可得，將所得的值代入公式就可以了. 生 寫出解答： (1)因為,，所以當(dāng)n＝8時，.

12、 (2)由a1=27,，可得， 又由q＜0，可得, 于是當(dāng)n＝8時，. 【例題2】 某商場今年銷售計算機5 000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達到30 000臺(結(jié)果保留到個位)？ 師 根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列，并明確這是一個已知Sn=30 000求n的問題. 生 理解題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并找出等比數(shù)列中的基本量，列式，計算. 解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成一個等比數(shù)列{an}，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=3

13、0 000. 于是得到, 整理得1.1n=1.6, 兩邊取對數(shù)，得nlg1.1=lg1.6, 用計算器算得≈≈5(年). 答：大約5年可以使總銷售量達到30 000臺. 練習(xí)： 教材第66頁，練習(xí)第1、2、3題. 課堂小結(jié) 本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容： 1.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)；特別是在推導(dǎo)過程中，學(xué)到了“錯位相減法”. 2.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.因為公式涉及到等比數(shù)列的基本量中的4個量，一般需要知道其中的3個，才能求出另外一個量.另外應(yīng)該注意的是，由于公式有兩個形式，在應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)題意所給的條件，適當(dāng)選擇運用哪一個公式. 在使用等比數(shù)列求和公式時，注意q的取值是至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)，需要放在第一位來思考.布置作業(yè) 課本第69頁習(xí)題2.5 A組第1、2、3題. 板書設(shè)計 等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用 等比數(shù)列的前n項和公式 情境問題的推導(dǎo) 一般情形的推導(dǎo) 例1 練習(xí)：(學(xué)生板演) 例2 練習(xí)：(學(xué)生板演) 中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司