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學案76 不等式選講
(三)算術—幾何平均不等式與柯西不等式的應用
導學目標: 1.理解二元柯西不等式的幾種不同形式.2.掌握兩個或三個正數的算術—幾何平均不等式.3.會用兩個或三個正數的算術—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數的最值.
自主梳理
1.算術——幾何平均不等式
(1)如果a,b>0,那么____________,當且僅當a=b時,等號成立.
(2)如果a,b,c>0,那么________________,當且僅當a=b=c時,等號成立.
(3)對于n個正數a1,a2,…,an,它們的算術平均數不小于它們的幾何
2、平均數,即≥,當且僅當__________________時等號成立.
2.柯西不等式
(1)二維形式:若a,b,c,d都是實數,則
(a2+b2)(c2+d2)≥____________,當且僅當__________時,等號成立.
(2)向量形式:設α、β是平面上的兩個向量,則__________________≥|α,β|,當且僅當α,β共線時等號成立.
3.三角形不等式
設x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,那么
+≥.
自我檢測
1.若x,y∈(0,+∞),且x+y=s,xy=p,則下列命題中正確的序號是________.
①當且僅當x=y時,s有最小值2;
3、②當且僅當x=y時,p有最大值;
③當且僅當p為定值時,s有最小值2;
④若s為定值,則當且僅當x=y時,p有最大值.
2.若x,y∈R,且滿足x+3y=2,則3x+27y+1的最小值是________.
3.(2011·湖南)設x,y∈R,且xy≠0,則(x2+)(+4y2)的最小值為________.
4.函數y=3+3x+(x<0)的最大值為________.
5.若a,b∈R,且a2+b2=10,則a-b的取值范圍為______________.
探究點一 利用柯西不等式求最值
例1 已知x,y,a,b∈R+,且+=1,求x+y的最小值.
4、
變式遷移1 若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.
探究點二 利用算術—幾何平均不等式求最值
例2 如圖(1),將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器(圖(2)).當這個正六棱柱容器的底面邊長為多少時,容積最大,并求出最大容積.
變式遷移2 用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻,且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖),設容器高為h米,蓋子邊長為a米.
(1)求a關于h的解析式;
(2)設容器的容積為V立方米,則當h為何值
5、時,V最大?求出V的最大值.(求解本題時,不計容器厚度).
探究點三 不等式的證明
例3 (1)已知a、b、c為正數,且滿足acos2θ+bsin2θ
6、而使用更廣泛,在使用柯西不等式證明不等式和求最值時,要注意與柯西不等式的一般形式比較,根據需要,構造“積和方”或“方和積”.柯西不等式等號成立的條件比較特殊,要牢記.
2.應用算術—幾何平均不等式求最值,要積極創(chuàng)造條件,合理拆添項或配湊因式是常用的解題技巧,而拆與湊的前提在于“和定積最大,積定和最小”,注意滿足“一正二定三相等”三個條件,缺一不可.
3.利用不等式解決實際問題,首先要認真審題,分清題意,建立合理的不等式模型或函數模型,最終通過解不等式或算術—幾何平均不等式實施解題.
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共48分)
1.若x>1,則函數y=x++的最小值為
7、________.
2.函數y=(x<0)的值域是________.
3.函數y=x2(-2x)(0≤x≤)的最大值為_____________________________________.
4.設a>b>c,n∈N*,且+≥恒成立,則n的最大值是________.
5.若3x+4y=2,則x2+y2的最小值為________.
6.函數y=+的最大值為________.
7.函數y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中m,n>0,則+的最小值為________.
8.設實數x,y滿足3x2+2y2≤6,則p=2x+
8、y的最大值是________.
二、解答題(共42分)
9.(12分)設a,b,c為正數,求證:(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.
10.(14分)設x、y均大于0,且x+y=1,求證:(x+)2+(y+)2≥.
11.(16分)某養(yǎng)殖廠需要定期購買飼料,已知該廠每天需要飼料200公斤,每公斤飼料的價格為1.8元,飼料的保管與其他費用為平均每公斤每天0.03元,購買飼料每次支付運費300元,求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的費用最?。?
學案76 不等式選講
(三
9、)算術—幾何平均不等式與柯西不等式的應用
答案
自主梳理
1.(1)≥ (2)≥ (3)a1=a2=…=an
2.(1)(ac+bd)2 ad=bc (2)|α||β|
自我檢測
1.④
解析 ∵x,y∈(0,+∞),
∴x+y≥2,
又x+y=s,xy=p,
∴當s一定,即x=y=時,p有最大值;
當p一定,即x=y=時,s有最小值2.
2.7
解析 3x+27y+1≥2+1=2+1=7,
當且僅當“3x=27y”即x=3y且x+3y=2時,
上式取“=”,此時x=1,y=.
3.9
解析 (x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+2=9,
當且僅
10、當x2y2=時“=”成立.
4.3-2
解析 ∵x<0,
∴y=3+3x+=3-[(-3x)+(-)]≤3-2.
當且僅當-3x=-,
即x=-時取等號.
∴當x=-時,函數y=3+3x+有最大值3-2.
5.[-2,2]
解析 由柯西不等式得,[12+(-1)2](a2+b2)≥(a-b)2,
∴(a-b)2≤20,
∴-2≤a-b≤2,當且僅當“b=-a”時上式“=”成立.
由得,或.
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 由于+=1,則可以構造x+y=[()2+()2][()2+()2]≥(+)2的形式,從而利用柯西不等式求出最值.
利用柯西不等式求最值,實際上就是利用
11、柯西不等式進行放縮,但放縮時要注意等號成立的條件是否符合題意.
解 ∵x,y,a,b∈R+,+=1,
∴x+y=[()2+()2][()2+()2]
≥(+)2.
當且僅當·=·,
即=時取等號.
∴(x+y)min=(+)2.
變式遷移1 解 由柯西不等式得:
(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1.∴4x2+9y2≥.
當且僅當2x×1=3y×1,即2x=3y時取等號.
由得.
∴4x2+9y2的最小值為.
例2 解題導引 運用算術—幾何平均不等式解決應用問題的步驟是:
(1)弄清量與量之間的關系,將要求最大值(或最小值)的變量表示為其他變量的函數
12、;
(2)建立相應的函數關系式,把實際問題抽象為數學中的最值問題;(3)在定義域內求函數的最值;(4)根據實際意義寫出正確答案.
解 如圖,設正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的邊長為x(0
13、2(1-x)=·x·x·(2-2x)
≤·[]3=.
當且僅當x=2-2x,即x=時,Vmax=.
故當正六棱柱容器的底面邊長為時,最大容積為.
變式遷移2 解 (1)設h′是正四棱錐的斜高,由題設可得:
,消去h′.解得:a=(h>0).
(2)由V=a2h=(h>0),
得:V=,而h+≥2=2.
所以0
14、,b,c∈R+,∴a+b+c≥3>0,
從而(a+b+c)2≥9>0,
又++≥3>0,
∴(++)(a+b+c)2≥3·9=27.當且僅當a=b=c時,等號成立.
變式遷移3 證明 ∵a,b,c∈R+,∴(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3>0,
++≥3>0,
∴(a+b+c)(++)≥.
當且僅當a=b=c時,等號成立.
課后練習區(qū)
1.8
解析 y=x++=+≥2=8.
當且僅當=,即x=2+時等號成立.
2.[-3,0)
解析 y==.
∵x+=-[(-x)+(-)]≤-2.
∴x++1≤-1.
∴0>≥-3,即-3≤y<0.
∴原函數的值域為[-
15、3,0).
3.
解析 y=x2(-2x)=x·x(-2x),
∵0≤x≤,∴-2x≥0,
∴y≤[]3=.
當且僅當x=x=-2x,即x=時,ymax=.
4.4
解析 ∵+
=+=2++≥2+2=4,
∴+≥4,∴+≥.
又∵+≥恒成立,
∴≥,又∵a>c,∴a-c>0,∴4≥n,即n≤4.
5.
解析 柯西不等式(32+42)(x2+y2)≥(3x+4y)2,
得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥.①
不等式①中當且僅當=時等號成立,x2+y2取得最小值,
解方程組得
因此當x=,y=時,x2+y2取得最小值,最小值為.
6.
解析 函數的定義
16、域為[1,6].
y2=(+)2
=(×+1×)2
≤[()2+12]×[()2+()2]=3×5=15.
∴y2≤15.∴y≤.
當且僅當×=1×,即x=時等號成立.
∴原函數的最大值為.
7.8
解析 函數y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A(-2,-1).
則(-2)m+(-1)·n+1=0,2m+n=1,m,n>0.
+=(+)·(2m+n)=4++
≥4+2=8,(m=,n=時取等號)
即+的最小值為8.
8.
解析 ∵(3x2+2y2)[()2+()2]≥(2x+y)2,
∴(2x+y)2≤×6=11.∴-≤2x+y≤,
當且
17、僅當時,上式取“=”.
即或.
∴x=,y=時,Pmax=.
9.證明 由算術—幾何平均不等式可得:
a+b+c≥3, ①
a2+b2+c2≥3, ②
①②相乘得(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc即為所證結論.(12分)
10.證明 方法一 要證(x+)2+(y+)2≥,
只需證x2+y2+++4≥. (3分)
∵x+y=1,
即要證(1-2xy)+≥,
即要證4x3y3+15x2y2+4xy-2≤0, (5分)
即要證(4xy-1)(x2y2+4xy+2)≤0, (8分)
即要證[4xy-(x+y)2](x2y2+4xy+2)≤
18、0, (10分)
即要證(x-y)2(x2y2+4xy+2)≥0.(12分)
∵x、y均大于0,x+y=1,故上式成立.
故所證不等式(x+)2+(y+)2≥成立. (14分)
方法二 ∵x+y=1,
∴xy≤()2=,
∴≥4. (4分)
又∵(12+12)[(x+)2+(y+)2]
≥(x++y+)2 (8分)
=(x+y+)2=(1+)2≥(1+4)2=25.
(12分)
即2[(x+)2+(y+)2]≥25.
∴(x+)2+(y+)2≥. (14分)
11.解 設該廠應隔x(x∈N*)天購買一次飼料,平均每天支付的費用為y.
∵飼料的保管與其他費用每天比前一天少
200×0.03=6(元), (2分)
∴x天飼料的保管與其他費用共是:
6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元). (8分)
從而有y=(3x2-3x+300)+200×1.8=+3x+357≥417. (14分)
當且僅當=3x,
即x=10時,y有最小值417.
即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的費用最?。? (16分)
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