江蘇省蘇北四市（徐州、連云港、宿遷、淮安）高三第一次模擬考試 數(shù)學(xué)試卷（含答案）

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1、蘇北四市2018屆高三一模數(shù)學(xué)試卷 注　意　事　項 考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求 1．本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題～第20題，共20題）。本卷滿分為160分，考試 時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。 2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及 答題卡的規(guī)定位置。 3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與您本人是否相符。 4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律無效。 5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚

2、，線條、符號等須加黑、加粗。 參考公式：1.柱體的體積公式：，其中是柱體的底面面積，是高． 2.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是圓錐底面的周長，是母線長． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置． 1．已知集合，，則 ▲ ． 2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為 ▲ ． 3．函數(shù)的定義域為 ▲ ． 4．如圖是一個算法的偽代碼，運行后輸出的值為 ▲ ． 150 200 250 300 350 400 450 成績/分 頻率 組距 （第5題） （第17題） 3 4 5 a

3、（第4題） 5．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1 000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這1 000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[250，400)內(nèi)的學(xué)生共有 ▲ 人． 6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為 ▲ ． 7．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點數(shù)，則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為 ▲ ． 8．已知正四棱柱的底面邊長為，側(cè)面的對角線長是，則這

4、個正四棱柱的體積是 ▲ ． 9．若函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)分別是，，，則實數(shù)的值為 ▲ ． 10．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點到直線的距離的最小值為 ▲ ． 11．已知等差數(shù)列滿足，，則的值為 ▲ ． 12．在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在點，且點關(guān)于直線的對稱點在圓上，則的取值范圍是 ▲ ． 13．已知函數(shù)函數(shù)，則不等式的解集為 ▲ ． B （第14題） A D C E 14．如圖，在中，已知，為邊的中點．若，垂足為，則EB·EC的值為 ▲ ． 二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題

5、卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟． 15．(本小題滿分14分) 在中，角，，所對的邊分別為，，，且,. ⑴求的值； ⑵若，求的面積. 16．（本小題滿分14分） （第16題） C 如圖，在直三棱柱中，，，，分別是， 的中點. 求證：⑴； ⑵. （第16題） C （第16題） C （第16題） C 17．(本小題滿分14分) 某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品

6、，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1．為了便于設(shè)計，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2．已知圓O的半徑為10 cm，設(shè)∠BAO=θ，，圓錐的側(cè)面積為S cm2． ⑴求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式； ⑵為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大．求S取得最大值時腰AB的長度． A B C O A B C O θ 圖1 圖2 （第17題） 18．（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

7、的離心率為，且過點.為橢圓的右焦點，為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，連接分別交橢圓于兩點. ⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵若，求的值； （第18題） ⑶設(shè)直線，的斜率分別為，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. （第18題） 19．(本小題滿分16分) 已知函數(shù)． ⑴當(dāng)時，求函數(shù)的極值； ⑵若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍． 20．（本小題滿分16分） 已知數(shù)列，其前項和為，滿足，，其中，，，.

8、 ⑴若，，（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列； ⑵若數(shù)列是等比數(shù)列，求，的值； ⑶若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列. 數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題) 21．【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． A．[選修4- 1：幾何證明選講]（本小題滿分10分） A B C D E F (第21－A題) O . 如圖，是圓的直徑，弦,的延長線相交于點，垂直的延長線于點． 求證： A B C D E F (第21－A題) O . A B C

9、 D E F (第21－A題) O . A B C D E F (第21－A題) O . A B C D E F (第21－A題) O . A B C D E F (第21－A題) O . B．[選修4- 2：矩陣與變換]（本小題滿分10分） 已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣． C．[選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分） 以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷直線（為參數(shù)）與圓的位置關(guān)系． D．[

10、選修4 - 5：不等式選講]（本小題滿分10分） 已知都是正實數(shù)，且，求證: ． 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫 出文字說明、證明過程或演算步驟． 22．（本小題滿分10分） 在正三棱柱中，已知，，，，分別是，和的中點．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． （第22題） ⑴求異面直線與所成角的余弦值； ⑵求二面角的余弦值． 23．（本小題滿分10分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行

11、于軸的動直線交拋物線于點，點為的焦點．圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線． ⑴求曲線的方程； ⑵若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點，．當(dāng)線段的長度最小時，求的值． 數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置． 1． 2． 3． 4． 5．750 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟． 15．（1）

12、在中，由，得為銳角，所以， 所以，………………………………………………………………2分 所以. ………………………………4分 …………………………………………………………6分 （2）在三角形中,由， 所以， ………………………………………………8分 由，…………………………10分 由正弦定理,得，………………………12分 所以的面積. …………………………14分 16．（1）證明：取的中點，連結(jié) 因為分別是的中點， 所以且 在直三棱柱中，，， 又因為是 的中點， 所以且. …………………………………………2分 所以四邊形是平行四邊形，

13、 所以， ………………………………………………………………4分 而平面，平面， 所以平面. ……………………………………………………6分 （第16題） N M B P （2）證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以面， 又因為面， 所以面面， …………………8分 又因為，所以， 面面，， 所以面， ………………………10分 又因為面， 所以，即， 連結(jié)，因為在平行四邊形中，， 所以， 又因為，且，面， 所以面，……………………………………………………………………12分 而面， 所以.……………………………………………

14、………………………………14分 D θ A B C O E 17．（1）設(shè)交于點，過作，垂足為， 在中，，， …………………………………………………………2分 在中，， …………………………………………………………4分 所以 ， ……………………6分 （2）要使側(cè)面積最大，由（1）得： …………8分 設(shè) 則，由得： 當(dāng)時，，當(dāng)時， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以在時取得極大值，也是最大值； 所以當(dāng)時，側(cè)面積取得最大值， …………………………11分 此時等腰

15、三角形的腰長 答：側(cè)面積取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為．…………14分 18．（1）設(shè)橢圓方程為，由題意知：……………2分 解之得：，所以橢圓方程為： ……………………………4分 （2）若，由橢圓對稱性，知，所以， 此時直線方程為， ……………………………………………6分 由，得，解得（舍去），…………8分 故．…………………………………………………………………10分 （3）設(shè)，則， 直線的方程為，代入橢圓方程，得 　　　　　， 因為是該方程的一個解，所以點的橫坐標(biāo)，…………………12分 又在直線上，所以， 同理，點坐標(biāo)為，， ……………………

16、………………………14分 所以， 即存在，使得． ………………………………………………………16分 19．（1）函數(shù)的定義域為 當(dāng)時，， 所以………………………………………………2分 所以當(dāng)時，，當(dāng)時，， 所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；…………………4分 （2）設(shè)函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同， 則 所以 ……………………………………6分 所以，代入得： ………………………………………………8分 設(shè)，則 不妨設(shè)則當(dāng)時，，當(dāng)時， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，……………10分 代入可得： 設(shè)

17、，則對恒成立， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又 所以當(dāng)時，即當(dāng)時, ……………12分 又當(dāng)時 ……………………………………14分 因此當(dāng)時，函數(shù)必有零點；即當(dāng)時，必存在使得成立； 即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同． 又由得： 所以單調(diào)遞減，因此 所以實數(shù)的取值范圍是．…………………………………………………16分 20．（1）證明：若，則當(dāng)(), 所以， 即， 所以， ……………………………………………………………2分 又由，， 得，，即， 所以， 故數(shù)列是等比數(shù)列．…………………………………

18、…………………………4分 （2）若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為（ ）， 當(dāng)時，，即，得 　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ① 當(dāng)時，，即，得 　　　　　　　　　　，　　　　　　　　?、? 當(dāng)時，，即，得 　　　　　　　　　，　　　　　　　?、? ②-①′，得 ， ③-②′，得 ， 解得． 代入①式，得．…………………………………………………………………8分 此時()， 所以，是公比為１的等比數(shù)列， 故． ……………………………………………………………………10分 （3）證明：若，由，得， 　　又，解得．…………………………………………………12分 由，

19、， ，，代入得， 所以，，成等差數(shù)列， 由，得， 兩式相減得： 即 所以 相減得： 所以 所以 ， ……………………………………14分 因為，所以， 即數(shù)列是等差數(shù)列.………………………………………………………………16分 數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 21．A．證明：連接，因為為圓的直徑，所以， 又，則四點共圓， 所以．　…………………………………………………………5分 又△∽△， 所以，即， ∴． …………10分 B．因為， ………………………………………5分 所以． ……………………………………………………

20、…10分 C.把直線方程化為普通方程為． ……………………………3分 將圓化為普通方程為， 即． ………………………………………………………………6分 圓心到直線的距離， 所以直線與圓相切.…………………………………………………………………10分 D．證明：因為 ， …………………………………………5分 又， 所以．…………………………………………10分 22．（1）因為，則， 所以，， ………………………………………2分 記直線和所成角為， 則， 所以直線和所成角的余弦值為． ………………………………………4分 （2）設(shè)平面的法

21、向量為 ， 因為，， 則，取得： ……………………………6分 設(shè)平面的一個法向量為， 因為，， 則，取得： ………………………8分 根據(jù)圖形可知二面角為銳二面角， 所以二面角的余弦值為； ……………………………………10分 23．（1）因為拋物線的方程為，所以的坐標(biāo)為， 設(shè)，因為圓與軸、直線都相切，平行于軸， 所以圓的半徑為，點， 則直線的方程為，即，………………………2分 所以，又， 所以，即， 所以的方程為 ………………………………………………4分 （2）設(shè)， ，， 由（1）知，點處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設(shè)， 由，所以，， 所以，， ……………………………………………………6分 所以．……………………………………8分 令，， 則， 由得，由得， 所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時，取得極小值也是最小值，即取得最小值 此時．……………………………………………………………10分