高等數(shù)學(xué)：第四章 第2節(jié) 第一類(lèi)換元積分法

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1、1第二節(jié) 第一類(lèi)換元法一、第一類(lèi)換元公式一、第一類(lèi)換元公式二、第一類(lèi)換元舉例二、第一類(lèi)換元舉例三、總結(jié)三、總結(jié)2問(wèn)題問(wèn)題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程過(guò)程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一類(lèi)換元法3在一般情況下：在一般情況下：設(shè)設(shè)),()(ufuF 則則.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）)()()(xxfxF（ CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得換元法定理由此可得換元法定理4設(shè)設(shè))(uf具有原函數(shù)，

2、具有原函數(shù)， dxxxf)()( )()(xuduuf第一類(lèi)換元公式第一類(lèi)換元公式（湊微分法湊微分法）說(shuō)明說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg)(化為化為. )()(xdxf 因此，第一類(lèi)換元法就是將被積函數(shù)中的某一因此，第一類(lèi)換元法就是將被積函數(shù)中的某一部分當(dāng)作一個(gè)變量部分當(dāng)作一個(gè)變量u，使積分變?yōu)樽兞?，使積分變?yōu)樽兞縰的積分。的積分。)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式定理定理1 1)()(xdxf5例例1 1 求求.2sinxdx解解（一）（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二）xdx2sinxdxxcossin2)(

3、sinsin2xxdCu 2解解（三）（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cxuduxusin212Cu cos21uduxu2sin;sin2Cxuduxu2cosCu 2例例2 2 求求.231dxx 解解dxx 231)2(23121xdxduuxu12123Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地)23(23121xdx7例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)l

4、n21ln(21Cx 8例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 9例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 10例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 11例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx

5、1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 12例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 13例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 14例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1co

6、tCxx 15例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 說(shuō)明說(shuō)明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分次項(xiàng)去湊微分.16例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101

7、sin21Cxx 17例例1313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函數(shù)恒等變形）（使用了三角函數(shù)恒等變形）18解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 類(lèi)似地可推出類(lèi)似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx19解解例例1414 設(shè)設(shè) 求求 .,c

8、os)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 20例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 2116例例xdxx35sectanxdxxxxtansecsectan24xxdxsecsec) 1(sec222xdxxxsec)secsec2(sec246Cxxx357sec31sec52sec712217例例dxxx1164dxxxxx) 1)(1 (12

9、424dxxxxxxx) 1)(1 (1242224dxxxdxx2322)(111Cxx3arctan31arctan23總總 結(jié)結(jié)23常用簡(jiǎn)化技巧:(1) 分項(xiàng)積分:(2) 降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx萬(wàn)能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用積化和差; 分式分項(xiàng);利用倍角公式 , 如2424xdxxInmcossin在中1. 若nm,中至少有一個(gè)為奇數(shù)，則用公式1cossin22xx例如：

10、43sincosxxdx2. 若nm,均為偶數(shù)，則用公式降階22cos1cos22cos1sin22xxxx42sin(1 sin) sinxx dx25253、在xdxxInmsectan或xdxxInmcsccot中當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可把xdxxsectan湊成xd secxdxxcsccot湊成)csc(xd 轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的積分。26練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題1、求積分、求積分.)1(ln)ln(dxxxxp 解答：解答：dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp2727xxxd) 1(110.) 1(d10 xxx提示提示:法法1 原式法法2 原式法法3 原式10)x) 1(1010 xx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx1012 . 用多種方法用多種方法求) 1(d10109xxxx法法4tx1原式.) 11(1d1102tttt.1d109ttt283、求.d222 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222