高三數(shù)學(xué)高考一輪課件 優(yōu)化方案人教A版(理科)第十章 空間向量的應(yīng)用 新人教A版10章7課時

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1、第7課時 空間向量的應(yīng)用1異面直線所成的角異面直線所成的角(1)過空間任一點過空間任一點O分別作異面分別作異面直線直線a與與b的平行線的平行線a與與b，那么直線，那么直線a與與b所成的所成的 的角，叫做的角，叫做異面直線異面直線a與與b所成的角所成的角基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理不大于不大于90 (2)異面直線所成角的向量公式異面直線所成角的向量公式 兩異面直線兩異面直線a、b的方向向量分別為的方向向量分別為m和和n.當當m與與n的夾角不大于的夾角不大于90時，異面時，異面直線直線a、b所成的角所成的角與與m和和n的夾角的夾角 ；當當m與與n的夾角大于的夾角大于90時，直線時，直線a、b所所成的角

2、成的角與與m和和n的夾角的夾角 所以直線所以直線a、b所成的角所成的角的余弦值為的余弦值為 .基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理相等相等互補互補 2直線和平面所成的角直線和平面所成的角 (1)平面的斜線與它在平面上的平面的斜線與它在平面上的 所成所成的角叫做這條斜線與平面所成的角的角叫做這條斜線與平面所成的角 (2)直線與平面所成角的向量公式直線與平面所成角的向量公式 直線直線a的方向向量和平面的方向向量和平面的法向量分別為的法向量分別為m和和n，若，若m與與n的夾角不大于的夾角不大于90時，直線時，直線a與與平面平面所成的角等于所成的角等于 ；若；若m與與n的夾角大于的夾角大于90時，直線時，直線a與

3、平面與平面所成的所成的角等于角等于 ，所以直線，所以直線a的方向向量和平面的方向向量和平面所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為 .基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理射影射影m與與n的夾角的余角的夾角的余角m與與n的夾角的補角的余角的夾角的補角的余角3平面和平面所成的角平面和平面所成的角(1)過二面角過二面角l棱上任一點棱上任一點O作垂作垂直于直于棱棱l的平面角，與面的平面角，與面、的交線分別為的交線分別為OA、OB，那么，那么 叫做二面角叫做二面角l的平面角的平面角(2)平面與平面所成角的向量公式平面與平面所成角的向量公式平面平面與平面與平面的法向量分別為的法向量分別為m和和n，則二面角與則二面角與m、

4、n的夾角的夾角 基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理AOB相等或互補相等或互補1若平面若平面，的法向量分別為的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則，則()ABC，相交但不垂直相交但不垂直 D以上均不正確以上均不正確答案答案：C三基能力強化三基能力強化2若直線若直線l的方向向量與平面的方向向量與平面的的法向量的夾角等于法向量的夾角等于120，則直線，則直線l與與平面平面所成的角等于所成的角等于()A120 B60C30 D以上均錯以上均錯答案答案：C三基能力強化三基能力強化3(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)在如圖所示在如圖所示的正方體的正方體A1B1C1D1ABCD中，中，E是是C1D1的中點

5、，則異面直線的中點，則異面直線DE與與AC所成角的余弦值為所成角的余弦值為()三基能力強化三基能力強化答案答案：D三基能力強化三基能力強化4已知直線已知直線l的方向向量為的方向向量為v，平，平面面的法向量是的法向量是，且，且v0，則，則l與與的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_答案答案：l或或l5.已知正方體已知正方體ABCDA1B1C1D1中中平面平面AB1D1與平面與平面A1BD所成的角為所成的角為(090)，則，則cos_.三基能力強化三基能力強化設(shè)設(shè)a，b分別是兩異面直線分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則的方向向量，則課堂互動講練課堂互動講練考點一考點一求異面直線所成的角求異面直線所成的角

6、l1與與l2所成的角所成的角a與與b的夾角的夾角a，b范圍范圍00a，b求法求法cos|cosa，b|cosa，b課堂互動講練課堂互動講練(2009年高考廣東卷年高考廣東卷)如圖，已知正方如圖，已知正方體體ABCDA1B1C1D1的棱長為的棱長為2，點，點E是是正方形正方形BCC1B1的中心，點的中心，點F、G分別是棱分別是棱C1D1、AA1的中點，設(shè)點的中點，設(shè)點E1、G1分別是點分別是點E、G在平面在平面DCC1D1內(nèi)的正投影內(nèi)的正投影(1)證明：直線證明：直線FG1平面平面FEE1；(2)求異面直線求異面直線E1G1與與EA所成角的正所成角的正弦值弦值課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練

7、課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練由題設(shè)知點由題設(shè)知點E、F、G1、E1的坐標分的坐標分別為別為(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練題目條件不變，求異面直線題目條件不變，求異面直線AE與與CG所成角的余弦值所成角的余弦值課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練考點二考點二求直線與平面所成的角求直線與平面所成的角課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練(2008年高考海南、寧夏年高考海南、寧夏卷卷)如圖，已知點如圖，已知點P在正方體在正方體ABCDABCD的對角線的對角線BD上，

8、上，PDA60.(1)求求DP與與CC所成角的所成角的大??；大??；(2)求求DP與平面與平面AADD所所成角的大小成角的大小課堂互動講練課堂互動講練【解解】如圖所示，以如圖所示，以D為原點，棱為原點，棱DA，DC，DD所在直線為所在直線為x軸，軸，y軸，軸，z軸軸建立空間直角坐標系設(shè)棱長為建立空間直角坐標系設(shè)棱長為1，則則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，C(0,1,1)，課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】在求直線和平面在求直線和平面所成的角時，誤認為直線的方向向量所成的角時，誤認為直線的方向

9、向量和平面的法向量的夾角就是直線和平和平面的法向量的夾角就是直線和平面所成角，其錯誤原因一是概念不清，面所成角，其錯誤原因一是概念不清，二是做題不認真二是做題不認真1利用向量求二面角的大小，利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，可以不作出平面角，如圖所示，m，n即為所求二面角的平面角即為所求二面角的平面角課堂互動講練課堂互動講練考點三考點三求二面角求二面角課堂互動講練課堂互動講練2對易于建立空間直角坐標系對易于建立空間直角坐標系的幾何體，求二面角的大小時，可的幾何體，求二面角的大小時，可以利用這兩個平面的法向量的夾角以利用這兩個平面的法向量的夾角來求來求如圖所示，二面角如圖所示，

10、二面角l，平面，平面的法向的法向量為量為n1，平面，平面的法向量為的法向量為n2，n1，n2，則二面角，則二面角l的大小為的大小為或或.課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練已知四棱錐已知四棱錐PABCD，底面底面ABCD為菱形，為菱形，PA平面平面ABCD，ABC60，E，F(xiàn)分別是分別是BC，PC的中點的中點(1)證明證明AEPD；課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】據(jù)題意，題目中據(jù)題意，題目中過過A點的線中垂直關(guān)系比較明顯，可點的線中垂直關(guān)系比較明顯，可以以以以A為坐標原點建立空間坐標系，為坐標原點建立空間坐標系，利用向量法求解利用向量法求解【解解】(1)證明：由四邊形證

11、明：由四邊形ABCD為菱形，為菱形，ABC60，可得，可得ABC為正三角形，為正三角形，點點E為為BC的中點，所以的中點，所以AEBC.又又BCAD，因此，因此AEAD.因為因為PA平面平面ABCD，AE平面平面ABCD，所以，所以PAAE.而而PA平面平面PAD，AD平面平面PAD且且PAADA，所以所以AE平面平面PAD.又又PD平面平面PAD，所以，所以AEPD.課堂互動講練課堂互動講練(2)設(shè)設(shè)AB2，H為為PD上任意一點上任意一點由由(1)知知AE平面平面PAD，則則EHA為為EH與平面與平面PAD所成的角所成的角課堂互動講練課堂互動講練所以所以ADH45.所以所以PA2.由由(1)

12、知知AE，AD，AP兩兩垂直，兩兩垂直，以以A為坐標原點，建立如圖所示的空為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又間直角坐標系，又E、F分別為分別為BC、PC的中點，的中點，課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練取取z11，則，則m(0,2，1)因為因為BDAC，BDPA，PAACA，所以所以BD平面平面AFC.課堂互動講練課堂互動講練【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】利用向量法求二利用向量法求二面角的步驟：面角的步驟：(1)利用圖形性質(zhì)建立坐標系；利用圖形性質(zhì)建立坐標系；(2)求兩半平面的法向量；求兩半平面的法向量；(3)求法向量的求法向量的夾角；夾角；(4)結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化二面角結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化二

13、面角課堂互動講練課堂互動講練在有些立體幾何的解答題中，建立空在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標系，以向量為工具，利用空間間直角坐標系，以向量為工具，利用空間向量的坐標和數(shù)量積解決直線，平面問題向量的坐標和數(shù)量積解決直線，平面問題的位置關(guān)系、角度、長度等問題越來越受的位置關(guān)系、角度、長度等問題越來越受青睞，尤其是探索性問題，比用傳統(tǒng)立體青睞，尤其是探索性問題，比用傳統(tǒng)立體幾何方法簡便快捷幾何方法簡便快捷課堂互動講練課堂互動講練考點四考點四利用空間向量解決空間中的探索性問題利用空間向量解決空間中的探索性問題課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練(1)求證：求證：ACSD；(2)若

14、若SD平面平面PAC，求二面角，求二面角PACD的大?。坏拇笮?；(3)在在(2)的條件下，側(cè)棱的條件下，側(cè)棱SC上是上是否存在一點否存在一點E，使得，使得BE平面平面PAC.若若存在，求存在，求SE EC的值；若不存在，的值；若不存在，試說明理由試說明理由課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】建立空間坐標系，建立空間坐標系，以以AC、BD為坐標軸為坐標軸課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】利用空間向量解利用空間向量解決探索性問題，具有一定的優(yōu)越性，決探索性問題，具有一定的優(yōu)越性，其思路上，利用坐標系，表示出一

15、些其思路上，利用坐標系，表示出一些點的坐標，計算出滿足條件的關(guān)系，點的坐標，計算出滿足條件的關(guān)系，從而探索出所要研究的問題從而探索出所要研究的問題課堂互動講練課堂互動講練4(本題滿分本題滿分12分分)如圖，三棱柱如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，中，AA1平面平面ABC，BCAC，BCAC2，AA13，D為為AC的中點的中點課堂互動講練課堂互動講練(1)求證：求證：AB1平面平面BDC1；(2)求二面角求二面角C1BDC的余弦值；的余弦值；(3)在側(cè)棱在側(cè)棱AA1上是否存在點上是否存在點P，使得，使得CP平面平面BDC1？并證明你的結(jié)論？并證明你的結(jié)論解解：(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)B1C，與

16、，與BC1相交于相交于O，連結(jié)，連結(jié)OD，如圖，如圖，四邊形四邊形BCC1B1是矩形，是矩形，O是是B1C的中點又的中點又D是是AC的中點，的中點，ODAB1.AB1 平面平面BDC1，OD平面平面BDC1，AB1平面平面BDC1. 4分分課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練(3)假設(shè)側(cè)棱假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點上存在一點P(2，y,0)(0y3)，使得，使得CP平面平面BDC1.方程組無解，方程組無解，假設(shè)不成立假設(shè)不成立側(cè)棱側(cè)棱AA1上不存在點上不存在點P，使得，使得CP平面平面BDC1 12分分課堂互動講練課堂互動講練用空間向量解決立體幾何問題的用空間

17、向量解決立體幾何問題的“三步三步曲曲”(1)兩種思維方法兩種思維方法用空間向量解決立體幾何問題，有兩用空間向量解決立體幾何問題，有兩種基本思維：一種是利用空間向量表示幾種基本思維：一種是利用空間向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷，此種方何量，利用向量的運算進行判斷，此種方法不需要建系；另一種是用空間向量的坐法不需要建系；另一種是用空間向量的坐標表示幾何量，利用向量的坐標運算進行標表示幾何量，利用向量的坐標運算進行判斷，此種方法需要建系判斷，此種方法需要建系規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)(2)“三步曲三步曲”建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運算，研究點、直線、平通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題夾角等問題把向量運算的結(jié)果把向量運算的結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的成相應(yīng)的幾何意義，即回歸到圖形問題幾何意義，即回歸到圖形問題規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)隨堂即時鞏固隨堂即時鞏固課時活頁訓(xùn)練課時活頁訓(xùn)練