高中數學第二章 推理與證明（全）課件與教案 新課標人教A版選修22第二章2.2.2反證法

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1、 當我們直接從正面考慮不易解決問題時當我們直接從正面考慮不易解決問題時,于是就要于是就要改變思維方向改變思維方向,從結論入手從結論入手,反面思考。這種從反面思考。這種從“正面難正面難解決就從反面思考解決就從反面思考”的思維方式就是我們通常所說的的思維方式就是我們通常所說的間接解法中的一種間接解法中的一種反證法反證法. (又比如課本的思考又比如課本的思考)推理過程中一定要用到才行推理過程中一定要用到才行顯而易見的矛盾顯而易見的矛盾( (如和已知條件矛盾如和已知條件矛盾).).反設反設歸謬歸謬結論結論例例1 1：用反證法證明：用反證法證明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b證：假設 a

2、 b不成立，則 a b證：假設 a b不成立，則 a b若 a =b，則a = b,若 a =b，則a = b,與已知a b矛盾,與已知a b矛盾,若 a b，則a b,若 a b，則a b矛盾,與已知a b矛盾,故假設不成立，結論 a b成立。故假設不成立，結論 a b成立。例例2 2 已知已知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一個根一個根證：假設方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，證：假設方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，1 12 21 12 2不不妨妨設設其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x x1212

3、則ax = b，ax = b則ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 與已知a 0矛盾,與已知a 0矛盾,故假設不成立，結論成立。故假設不成立，結論成立。例3:用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。已知：已知：如圖，在如圖，在OO中，弦中，弦ABAB、CDCD交于點交于點P P，且，且ABAB、CDCD不是直徑不是直徑. .求證：求證：弦弦ABAB

4、、CDCD不被不被P P平分平分. .POBADC由于P點一定不是圓心O，連結OP，根據垂徑定理的推論，有OPAB，OPCD，所以，弦AB、CD不被P平分。證明：證明： 假設弦AB、CD被P平分，即過點P有兩條直線與OP都垂直，這與垂線性質矛盾。(1)(1)用反證法證明命題的用反證法證明命題的一般步驟是什么一般步驟是什么? ? 用反證法在歸謬中所導出的矛盾可以是與題設矛盾用反證法在歸謬中所導出的矛盾可以是與題設矛盾, ,與與假設矛盾假設矛盾, ,與已知定義、公理、定理矛盾，自相矛盾等與已知定義、公理、定理矛盾，自相矛盾等反設反設歸謬歸謬結論結論(2)(2)用反證法證題用反證法證題, ,矛盾的主

5、要類型有哪些矛盾的主要類型有哪些? ?方法小結方法小結: : 1 1直接證明直接證明: :直接從原命題的條件逐步推得結論成立直接從原命題的條件逐步推得結論成立. .2.2.反證法反證法是一種常用的間接證明方法是一種常用的間接證明方法. .(3)(3)適宜使用反證法的情況適宜使用反證法的情況: : (1)(1)結論以否定形式出現；結論以否定形式出現；(2)(2)結論以結論以“至多至多-,” ,“,” ,“至少至少-” -” 形式出現；形式出現；(3)(3)唯一性、存在性問唯一性、存在性問題題;(4);(4)結論的反面比原結論更具體更容易研究的命題。結論的反面比原結論更具體更容易研究的命題。正難則

6、反正難則反! !說明：說明：常用的正面敘述詞語及其否定：常用的正面敘述詞語及其否定：正面正面詞語詞語等于等于大于（大于（） 小于小于 ()是是都是都是否定否定正面正面詞語詞語至多有至多有一個一個至少有至少有一個一個任意的任意的所有的所有的至多有至多有n個個任意任意兩個兩個否定否定不等于不等于小于或小于或等于（等于（）大于或大于或等于（等于（）不是不是不都是不都是至少有至少有兩個兩個一個也一個也沒有沒有某個某個某些某些至少有至少有n1個個某兩個某兩個( (自學課本例自學課本例5) 5) 求證求證： 是無理數是無理數. .2 2證：假設 2是有理數，證：假設 2是有理數，m m則則存存在在互互質質

7、的的整整數數m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數數，從從而而m m必必是是偶偶數數，故故設設m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4k = 2n ，即n = 2k從而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數，n 也是偶數，這與m，n互質矛盾！這與m，n互質矛盾！所以假設不成立，2是有理數成立。所以假設不成立，2是有理數成立。aOPABCEFHaOPABCEFH A A、B B、C C三個人，三個人，A A說說B B撒謊，撒謊，B B說說C C撒謊，撒謊，C C說說A

8、A、B B都撒謊。則都撒謊。則C C必定是在撒謊，為必定是在撒謊，為什么？什么？分析分析: :假設假設C C沒有撒謊沒有撒謊, , 則則C C真真. . - - - - 那么那么A A假且假且B B假假; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 這與這與B B假矛盾假矛盾. .那么那么假設假設C C沒有撒謊不成立沒有撒謊不成立, ,則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. .說謊者悖論說謊者悖論 nM M：我們陷入了著名的說謊者悖論之中。下面是：我們陷入了著名的說謊者悖論之中。下面是它的最簡單的形式。它的最簡單的形式。n甲：這句話是錯的。甲：這句話是錯的。nM M：上面這個句子對嗎：上面這個

9、句子對嗎? ?如果是對的，這句話就如果是對的，這句話就是錯的！如果這句話是錯的，那這個句子就對是錯的！如果這句話是錯的，那這個句子就對了！像這樣矛盾的說法比你所能想到的還要普了！像這樣矛盾的說法比你所能想到的還要普遍得多。遍得多。唐唐吉訶德悖論吉訶德悖論 nM M：小說：小說唐唐吉訶德吉訶德里描寫過一個國家它有一條里描寫過一個國家它有一條奇怪的法律：每一個旅游者都要回答一個問題。問，奇怪的法律：每一個旅游者都要回答一個問題。問，你來這里做什么？你來這里做什么？M M：如果旅游者回答對了。一切都：如果旅游者回答對了。一切都好辦。如果回答錯了，他就要被絞死。好辦。如果回答錯了，他就要被絞死。 nM

10、 M：一天，有個旅游者回答：一天，有個旅游者回答n旅游者：我來這里是要被絞死。旅游者：我來這里是要被絞死。nM M：這時，衛(wèi)兵慌了神，如果他們不把這人絞死，他：這時，衛(wèi)兵慌了神，如果他們不把這人絞死，他就說錯了，就得受絞刑。可是，如果他們絞死他，他就說錯了，就得受絞刑。可是，如果他們絞死他，他就說對了，就不應該絞死他。就說對了，就不應該絞死他。 nM M：為了做出決斷，旅游者被送到國王那里。苦苦想：為了做出決斷，旅游者被送到國王那里。苦苦想了好久，國王才說了好久，國王才說n國王：不管我做出什么決定，都肯定要破壞這條法律。國王：不管我做出什么決定，都肯定要破壞這條法律。我們還是寬大為懷算了，讓這個人自由吧。我們還是寬大為懷算了，讓這個人自由吧。