高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔:第一部分 考點(diǎn)十 三角恒等變換與解三角形

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1、 考點(diǎn)十 三角恒等變換與解三角形 一、選擇題 1.(2019·全國卷Ⅱ)已知α∈,2sin2α=cos2α+1,則sinα=(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由2sin2α=cos2α+1,得4sinαcosα=2cos2α. 又∵α∈,∴tanα=,∴sinα=.故選B. 2.(2019·遼寧丹東質(zhì)量測試二)若tan=-3,則sin2α-cos2α=(  ) A. B.- C.-1 D.3 答案 A 解析 因?yàn)閠an=-3?=-3?tanα=2,所以sin2α-cos2α====,故選A. 3.(2019·湖北4月調(diào)研)已知sinx

2、+cosx=,則cos=(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由sinx+cosx=,得2sin=,所以cos=sin=,故選B. 4.(2019·山西呂梁階段性測試一)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若2cosB=,則該三角形一定是(  ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形 答案 A 解析 由2cosB=得2×=,即c2=b2,∴b=c,∴△ABC為等腰三角形,故選A. 5.(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,則log 2等于(  ) A.2 B.3 C.4

3、 D.5 答案 C 解析 因?yàn)閟in(α+β)=,sin(α-β)=, 所以sinαcosβ+cosαsinβ=,sinαcosβ-cosαsinβ=, 所以sinαcosβ=,cosαsinβ=,所以=5, 所以log 2=log 52=4.故選C. 6.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角的余弦值為(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 根據(jù)題意可設(shè)此三角形的三邊長分別為2t,2t,t,由余弦定理得它的頂角的余弦值為=. 7.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a,b,c成等比數(shù)列,且a2=c2+ac-bc,則=(  ) A.

4、B. C. D. 答案 B 解析 由a,b,c成等比數(shù)列得b2=ac,則有a2=c2+b2-bc,由余弦定理得cosA===,故A=,對于b2=ac,由正弦定理得,sin2B=sinAsinC=·sinC,由正弦定理得,===. 8.(2019·山東棲霞模擬)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,B=2A,則b的取值范圍為(  ) A.(0,4) B.(2,2) C.(2,2) D.(2,4) 答案 C 解析 ∵a=2,B=2A,∴0<2A<,A+B=3A,∴<3A<π,∴

5、cosA,∴2<4cosA<2,則b的取值范圍為(2,2),故選C. 二、填空題 9.(2019·吉林聯(lián)合模擬一)已知sin10°+mcos10°=-2cos40°,則m=________. 答案?。? 解析 由sin10°+mcos10°=-2cos40°得sin10°+mcos10°=-2cos(10°+30°)=-2,所以m=-. 10.(2019·江西景德鎮(zhèn)第二次質(zhì)檢)公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618,這一數(shù)值也可以表示為m=2sin18°.若m2+n=4,則=________. 答案 2 解析 因?yàn)閙=2

6、sin18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°, 所以===2. 11.(2019·河南八市重點(diǎn)高中模擬)已知點(diǎn)(3,a)和(2a,4)分別在角β和角β-45°的終邊上,則實(shí)數(shù)a的值是________. 答案 6 解析 由題得tanβ=,tan(β-45°)===,所以a2-5a-6=0,解得a=6或-1, 當(dāng)a=-1時(shí),兩個點(diǎn)分別在第四象限和第二象限,不符合題意,舍去,所以a=6. 12.(2019·華南師大附中一模)在△ABC中,a,b,c為∠A,∠B,∠C的對邊,a,b,c成等比數(shù)列,a+c=3,cosB=,則·=________. 答

7、案 - 解析 因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac. 又因?yàn)閍+c=3,cosB=.根據(jù)余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB, 所以ac=32-2ac-ac, 解得ac=2,所以·=c·acos(π-B) =-accosB=-2×=-. 三、解答題 13.(2019·河北保定二模)已知△ABC中,A=,cosB=,AC=8. (1)求△ABC的面積; (2)求AB邊上的中線CD的長. 解 (1)∵cosB=,且B∈(0,π), ∴sinB==, ∴sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+c

8、osAsinB=×+×=,在△ABC中,由正弦定理,得=,即=,解得AB=7. ∴△ABC的面積為S=AB·AC·sinA=×7×8×=28. (2)解法一:在△ACD中,AD=, ∴由余弦定理得CD2=82+2-2×8××=,∴CD=. 解法二:∵cosB=<,∴B>, ∵A=,∴C為銳角,故cosC== . ∵+=2,∴4||2=(+)2=||2+2·+||2=64+2×8×5×+50=130,∴CD=. 14.(2019·河南鄭州第三次質(zhì)量檢測)在△ABC中,AB=2,AC=,AD為△ABC的內(nèi)角平分線,AD=2. (1)求的值; (2)求角A的大?。? 解 (1)在

9、△ABD中,由正弦定理,得=, 在△ACD中,由正弦定理,得=, ∵sin∠ADB=sin∠ADC,AC=,AB=2, ∴==2. (2)在△ABD中,由余弦定理,得 BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos =16-8×cos, 在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos=7-4cos,所以=4,解得cos=,又∈, ∴=,即A=. 一、選擇題 1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,A=60°,a=4,b=4,則B=(  ) A.B=30°或B=150° B.B=150° C.B=30° D.B=60°或B=150°

10、 答案 C 解析 ∵A=60°,a=4,b=4,∴sinB===,∵a>b,∴B<60°,∴B=30°,故選C. 2.(2019·江西新八校第二次聯(lián)考)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”,設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,面積為S,則“三斜求積”公式為 S=,若a2sinC=2sinA,(a+c)2=6+b2,則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為(  ) A. B. C. D.1 答案 A 解析 ∵a2sinC=2sinA,∴a2c=2a,即ac=2,又(a+c)2=6+b2,∴a2+c2+2ac=6+b2,即a2+c

11、2-b2=6-2ac=6-4=2,則△ABC的面積為 =,故選A. 3.(2019·湖北黃岡元月調(diào)研)已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,已知C=45°,c=,a=x,若滿足條件的三角形有兩個,則x的取值范圍是(  ) A.

12、答案 A 解析 因?yàn)棣痢?,所?α∈, 又sin2α=,所以2α∈,α∈, 所以cos2α=-.又β∈, 所以β-α∈,故cos(β-α)=-, 所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-×-×=,又α+β∈,故α+β=,選A. 5.(2019·河北邯鄲一模)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知absinC=20sinB,a2+c2=41,且8cosB=1,則b=(  ) A.6 B.4 C.3 D.7 答案 A 解析 因?yàn)閍bsinC=20sinB,所以由正弦定理得abc=20b,所以ac

13、=20,又因?yàn)閍2+c2=41,cosB=,所以由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=41-2×20×=36,所以b=6. 6.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足a∶b∶c=6∶4∶3,則=(  ) A.- B. C.- D.- 答案 A 解析 由已知得b=,c=,所以===cosA.因?yàn)閏osA==-,所以=-.故選A. 7.(2019·閩粵贛三省十校聯(lián)考)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且=,點(diǎn)M在邊AC上,且cos∠AMB=-,BM=,則AB=(  ) A.4 B.2 C. D. 答案 A 解析 由正弦定理可知=,

14、即sinAcosC=2sinBcosA-cosAsinC?sin(A+C)=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA?cosA=?sinA=,cos∠AMB=-?sin∠AMB=,在△AMB中,=,即=,解得AB=4,故選A. 8.(2019·福建寧德第二次質(zhì)量檢查)如圖,為了測量某濕地A,B兩點(diǎn)間的距離,觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C,D,E.從D點(diǎn)測得∠ADC=67.5°,從C點(diǎn)測得∠ACD=45°,∠BCE=75°,從E點(diǎn)測得∠BEC=60°.若測得DC=2,CE=(單位:百米),則A,B兩點(diǎn)的距離為(  ) A. B.2 C.3 D.2 答案 C 解析 根據(jù)題意

15、,在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=2,則∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,則AC=DC=2,在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,CE=,則∠EBC=180°-75°-60°=45°,則=,變形得BC===,在△ABC中,AC=2,BC=,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,則AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9,則AB=3,故選C. 二、填空題 9.已知cos+sin(π-α)=-,-<α<0,則cos=________. 答案?。? 解析 依題意得cos+sin(π-α)=cosα+sinα+s

16、inα=cosα+sinα=sin=-,∴sin=-,∴cos=cos=1-2sin2=1-2×2=-. 10.的值是________. 答案  解析 原式===. 11.如圖,在△ABC中,∠B=45°,D是BC邊上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,則AB的長為______. 答案  解析 在△ACD中,cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,所以∠ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理,得=,所以AB=. 12.(2019·安徽合肥模擬)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b=,且滿足(2c-a)cosB-bcosA=0,則△ABC周長的

17、取值范圍是________. 答案 (3+,3] 解析 由(2c-a)cosB-bcosA=0及正弦定理知(2sinC-sinA)cosB-sinBcosA=0,∴sinC(2cosB-1)=0, ∵sinC≠0,∴cosB=,又B∈(0,π),∴B=, ∵b=,根據(jù)正弦定理得, ===2, ∴a+c=2sinA+2sinC=2sin+2sinC=cosC+3sinC=2sin, 又△ABC是銳角三角形, ∴

18、考)在△ABC中,3sinA=2sinB,tanC=2. (1)證明:△ABC為等腰三角形; (2)若△ABC的面積為2,D為AC邊上一點(diǎn),且BD=3CD,求線段CD的長. 解 (1)證明:∵3sinA=2sinB,∴3a=2b, ∵tanC=2,∴cosC=, 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c, 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2a×cosC=b2,即b=c,則△ABC為等腰三角形. (2)∵tanC=2,∴sinC=,則△ABC的面積S=absinC=×a2×=2,解得a=2.設(shè)CD=x,則BD=3x,由余弦定理可得(3x)2=x2

19、+22-4x×,解得x=(負(fù)根舍去),從而線段CD的長為. 14.(2019·山西晉城第三次模擬)如圖所示,銳角△ABC中,AC=5,點(diǎn)D在線段BC上,且CD=3,△ACD的面積為6,延長BA至E,使得EC⊥BC. (1)求AD的值; (2)若sin∠BEC=,求AE的值. 解 (1)在△ACD中,S△ACD=AC·CDsin∠ACD=×5×3×sin∠ACD=6, 所以sin∠ACD=, 因?yàn)?°<∠ACD<90°, 所以cos∠ACD==. 由余弦定理得, AD2=CD2+CA2-2·CD·CA·cos∠ACD=56,得AD=2. (2)因?yàn)镋C⊥BC,所以sin∠ACE=sin(90°-∠ACD)=cos∠ACD=. 在△AEC中,由正弦定理得, =,即=,所以AE=.

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