22《綜合法與分析法》練習及答案

5、日方>1時，日>1, 方>1不一定成立.如：日=* '方=4也滿足日+方>2, ab=2>l,但不滿足 日>1,方>1. 答案：B 6. 若 1

6、$D. abc(a+ Z?+ c) 解析：因為 a ljA2ab, a + cA2ac, I J ~\~cA2bc,將三式相加得 2 +c2)A2ab 1 + 2 方 c+2&c 所以 /+ 乃 + 又因為(&+ b~\- c) — a + 方$ + c +2&方+2 方 c+2 臼 c,所以(&+ b + c)空 1+2X1 = 3. 答案:B 8. 設db,方>0, N=a+b,則於與N的大小關系是 ? 答案： MAN 9. 若 b, c 是不全相等的正數(shù)，求證： a+b b+c c+a lg ■刁一+ lg-+lg-A — >|g 日十 |g b+lg c. 證

7、明：證法一 (綜合法) V a, b, CUR*, 葦空窈>0, 矗>0, ￡嚴》寸￡>0,且上述三個不等式中等號不能同時 成立， .a+b b+ c c~\~a > abc. a~\~b b~\~c c~\~a ??」莒￡ +壓2十隹2 >lg日+噸c. 證法二 (分析法 ) a~\~b b+c c~\~ a a?\~ b b?\~ 9 c c~\~ a >lg ab* 1 g 2 +1 g 2 +1 g 2 > 1 g a+lg 方 + lg 占 a~\~b b~\~c c~\~ a > abc. 因為號'三乂窈〉0,號工矗> 0,號且以上三個不等式中等號不能

8、同 時成立，所以Y ?字？守〉&比 成立，從而原不等式成立. 10. 設b, c均為正數(shù)，且 a+ b+c=l,求證： (1) ab+ bc+ caA~ ； z J』_ d ⑵-+-+-A|. b c a 證明：⑴由 a !jA2ab, Z?2~\~cA2bc, c ~\~aA2ca 得 a cA- ab~\~ bc~\~ ca. 由題設得(日+方+c)2=l, 即 a 1} + c + 2<3Z?+ 2 bc~\~ 2ca— 1. 所以 3 @方 + bc~\~ ca) W1,即 ab~\~ bc~\~ ca"?. 舟 甘 d (2) 因為耳 + 於 2 日,—+Q2

9、方，一-+aA2c, b c a 2/2 2 故三 +— +a+ (日 +方+c) 22 @+方+c), b c a 2/2 2 即三 +—+旦 $ a+ b+ c. b c a 2 72 2 所 A4 + -+-Ai- b c a 匡Han 11. ⑴設x$l, yA|,求證：滅+計丄三丄+丄+刃； xy x y (2)l〈 &WZ?Wc,求證：loga b+logb c+logc log/, <3+log c Z?+log a c. 2 證明：(1)由于 心 1,所以 K+ — A-+-+Ajry(A+ K) +lAy+jr+ (x" , xy x y 將上式

10、中的右式減左式，得[y+x+ {xy) ] — \_xy(Ax+y) +1] = [(Ay) 2 — 1] — \_xy"x+y) — (x+ 力]=(AJ+1)(刃一 1) — {x+y)(刃一 1)=(刃一 1) (xy — x— y+1)=(刃一 1) (x — 1) (y — 1) ? 又 xMl, yA|,所以 Oy — 1)(T — 1) (y — 1) "0, 從而所要證明的不等式成立. (2)設logab.= x, log/, c=y,由對數(shù)換底公式得 1 1 1 log。log ” log。r , log. c=xy. 于是，所要證明的不等式.即為x+ y+丄￡

11、丄+丄+ xy, xy x y 其中 X=10ga 方$1,尸 10gb C$1. 故由(1)知所要證明的不等式成立. 12. 給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f{x) =2 1 x+ c+4 1 — | x+ c\,數(shù)列&i, a2,日3…滿足&卄1 = /*&), TJGN* ⑴若 & = — c — 2,求&2及&3; (2)求證：對任意 77GN*, an+\ — anAc. 解析：因為c>0, N = — (c+2),故 日 2 = f@i) =21 <91 +c+41 — | =2, &3=f@i) =21 日 2+c+41 — | &2+cl =c+10. (2)要證

12、明原命題，只需證明 A A) aX+C對任意/WR都成立， fAx) c02 I x~\~ c+41 — | x+ c I Ax+ c, 即只需證明 21 x~\~ c+41 2 I +x+ c, 若x+cWO,顯然有 2 | x+c+41 三 | x+c\ +x+c=0 成立； 若x+c>0則 21 x+ c+41 2 I x+c\ + x+ cAx+ c+ 4>x+ c 顯然咸立.綜上，/*(x)2x+c 恒成立， 即對任意的77AN*, &小一 ah c. 13. 設實數(shù)數(shù)列念2的前77項和$,滿足$+尸如ASWN* ）,（利用綜合法和分析法） 4 求證：對￡23有0W

13、越 證明：由題設條件有 S+ a n+i = a n+iSn, 故 0+1 Hl 且日卄 1= °, Sn= , bn丄 &n+1丄 從而對有 $-1 型-1 + Sk-2 ak — —1 Sk-2 — 1 + — 1 一越i +1 ° 因云-1 —越一一 i+1 —（念-1 —診尸+ 丁〉。且￡一■ 1上0,由①得鳥$0. 1型一 i 即證 3￡_IW4&_ I —越-1 + 1)+艮卩(越 —1 — 2)空0.此式明顯成立. 4 因此A-(A3).即原命題成立. 14. (2015 ?新課標全國卷II,數(shù)學文理)設b, c, 〃均為正數(shù)，且a+ b= c+

14、d.證明： ⑴若 ab> cd,貝]\y|A+y[b>y[c+\[c/ ； (2)y[a+y[b>y[c+y[dA \ a — 的充要條件. 分析：⑴由a+b= c+d及ab>cd,可證明 2 (y[a+y[b) > (A[c+\[c/) \ 開方即 Ay[a+\[b>y[c+y[d. (2)本小題可借助第…問的結論來證明，但要分必要性與充分性來證明 解析：(1)因為(y[a+y[b) 由題設 a+b= c+d, at)>cd, ⑵①若 | a~b\ < | c~d\, d,所以血cd,由⑴得 ②若寸寸寸 2,則(r\[a+y[tf) b= c+ d,所以 ab>cd. 2

15、 =a+b+ 2y[ab, (y[c+y[c/) = c+d+ 2y[cd 9 2 2 得(y[a+y[i) >(r\[c+y[d),因此需 + 訓〉匹 則(& —方)2〈(c—小？，即(A+Z?)2— 4a/K(c+ d) 4cd 因為a+b =c+ 2 > (y[c+y/~A 即 a~\~ b~\~ 2y[ab> c+ d+ 2yl~cc/, 因為日+ ,綜 _Ey[a+ 于是 ?-方 T= (a+Z?)2— 4aZK (,c+(J) 2—4cd= (c — d) 21,因此 | a y[b>y[c+\[dA \a~b\< \ c — 的充要條件. 總與*h轄)

16、 i. 綜合法是從已知條件或基本不等式出發(fā)，運用不等式的有關性質推導出所要證明的 不等式， 證明思路是“由因導果”.綜合法證明不等式，要揭示岀條件與結論間的因果聯(lián)系 ，為此要著力分析 已知與求證間，不等式左、右兩端的差異與聯(lián)系，合理變換、恰當選擇已知 不等式是證明的關鍵.尋 找啟動不等式是綜合法的難點.常用不等式有：(l)a2$0(aWR)； 怡 + ”2 1 (2) (& —方)2 三 0(&,方 GR),其變形有舟七甘 A2ab, [ ? J 鼻訪，52+Z?2a-(<3+Z?) 2 ； (3)若 方 WR+, —A — "Tab,特別的有'+ 蜀2； (4)a2+z?2 +c

17、Aab+ bc+ ca{a, b, cWR). Z <3 b 2. 分析法就是從求證的不等式出發(fā)，執(zhí)果索因，找出使這個不等式成立需具備的充分 條件， 直至能肯定所需條件已經(jīng)具備 . 證明的關鍵是推理的每一步都必須可逆 . 對思路不明 顯，從條件看感 到無從下手的問題宜用分析法 . 用分析法證明“若〃則的模式為： 欲證命題 B 成立， 只需證命題 Bi 成立 只需證命題 B 成立 只需證明力為真 . 今已知力為真，故 B 必真 . 可以簡單寫成： . .. =B” =A. 3. 證明時省略掉“要證明”和“只需證明”的字樣，就會顛倒因果關系而犯邏輯上的 根本錯 誤，

18、但可用“曰‘取代那些必要的詞語 . 應予以足夠重視 . 4. 分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法，分■析法的特點是利于思考，因為其方向明 確， 思路自然，易于掌握 . 綜合法的優(yōu)點是宜于表述、條理清楚、形式簡潔 . 證明時常用分 析法探索證明 途徑，后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解數(shù)學問題的一種重要思想方 法. 分析與綜合互為前 提，相互滲透，分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步 分析的起點，分析法和綜合法 要結合. 起來使用，也就是“兩頭湊”，會使問題較易解決 .即 在分析過程中有時進行到一定步驟不 易進行下去，就要從已知條件出發(fā)，進行推理， .直至 綜合法推出的結論與分析法追溯的 A5 分條件 同一為止，從而證明了不等式 .這種“由兩頭 往中間靠”的方法可稱為分析綜合法 . 5. 一般來說，如果已知條件信息量較小，或已知與待證間的直接聯(lián)系不明顯，“距離” 較 大，用分析法來證明 .