高考數(shù)學大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第一部分 考點二十 概率、隨機變量及其分布 Word版含解析

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1、 考點二十　概率、隨機變量及其分布 一、選擇題 1．同時拋擲3枚硬幣，那么互為對立事件的是(　　) A．“至少有1枚正面”與“最多有1枚正面” B．“最多有1枚正面”與“恰有2枚正面” C．“至多有1枚正面”與“至少有2枚正面” D．“至少有2枚正面”與“恰有1枚正面” 答案　C 解析　兩個事件是對立事件必須滿足兩個條件：①不同時發(fā)生，②兩個事件的概率之和等于1.故選C. 2．隨機向邊長為10π，10π，12π的三角形中投一點M，則點M到三個頂點的距離都不小于的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　分別以三角形的三個頂點為圓心，為半徑作

2、圓，則在三角形內部，且在三圓外部的區(qū)域即為與三角形三個頂點距離不小于的部分，所以所求概率P＝1－＝，故選C. 3．(2019·四川成都七中5月模擬)據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級．若給有巨大貢獻的2人進行封爵，則兩人不被封同一等級的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由題意知，基本事件的總數(shù)有5×5＝25種情形，兩人被封同一等級的方法種數(shù)有男、子、伯、侯、公，共5種情形，故所求事件的概率為1－＝＝. 4. (2019·晉冀魯豫中原名校第三次聯(lián)考)1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的

3、一種證明方法，即在如圖的直角梯形ABCD中，利用“兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形面積”，可以簡潔明了地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)．后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”．如圖，設∠BEC＝15°，在梯形ABCD中隨機取一點，則此點取自等腰直角△CDE中(陰影部分)的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　在直角△BCE中，a＝ccos15°，b＝csin15°，則P＝＝＝＝＝，故選C. 5．古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火、土之間相生相克的關系，如圖所示，

4、現(xiàn)從五種不同屬性的物質中任取兩種，則取出的兩種物質恰是相克關系的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　依題意，從5種物質中任取2種，共有C＝10種選法，根據(jù)相生相克原理，可知恰有5種選法具有相克關系，故恰是相克關系的概率為P＝，故選C. 6．(2019·廣東潮州二模)一試驗田某種作物一株生長果個數(shù)x服從正態(tài)分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，從試驗田中隨機抽取10株，果實個數(shù)在[90,110]的株數(shù)記作隨機變量X，且X服從二項分布，則X的方差為(　　) A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21 答案　B 解析　∵x～N(90，σ2)，且P

5、(x<70)＝0.2，所以P(x>110)＝0.2，∴P(90

6、投籃練習，若他第1球投進則后一球投進的概率為，若他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第1球投進的概率為，則他第2球投進的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　第2球投進的概率為P＝×＋×＝.故選B. 二、填空題 9．已知某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率都為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4次射擊的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)： 7527　0293　7140　9857　

7、0347　4373　8636　6947 1417　4698　0371　6233　2616　8045　6011　3661 9597　7424　7610　4281 據(jù)此估計，該射擊運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率為________． 答案　0.75 解析　4次射擊中有1次或2次擊中目標的有：0371,6011,7610,1417,7140，∴所求概率P＝1－＝＝0.75. 10．在棱長為4的一個正方體內，有一根細線系在上底面的中心處，下方懸掛了一個半徑為1的球，且球位于正方體內，已知球面是網(wǎng)狀的，小蟲可以自由地出入．若一只小蟲在某一時刻可以位于正方體內的任意一個位置，則小蟲飛入網(wǎng)狀

8、球面球體內的概率為________． 答案　 解析　小蟲飛入網(wǎng)狀球面球體內的概率為＝. 11．(2019·遼寧沈陽東北育才學校八模)已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率為________． 答案　 解析　記“三人中至少有兩人解答正確”為事件A，“甲解答不正確”為事件B，則P(A)＝C2＋C3＝，P(AB)＝××＝， ∴P(B|A)＝＝. 12．(2019·山東鄆城一中三模)七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，是由七塊板組成的．而這七塊板可拼成許多圖形，例如：三

9、角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動物、建筑物等，清陸以湉《冷廬雜識》寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余．在18世紀，七巧板流傳到了國外，至今英國劍橋大學的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》．若用七巧板拼成一只雄雞，在雄雞平面圖形上隨機取一點，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為________． 答案　 解析　設包含7塊板的正方形邊長為4，其面積為4×4＝16，則雄雞的雞尾面積為標號為6的板塊，其面積為S＝2×1＝2，所以在雄雞平面圖形上隨機取一點，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為P＝＝. 三、解答題 13．隨著網(wǎng)絡營銷和電子商務的興起，人們的購物方式更具多

10、樣化．某調查機構隨機抽取10名購物者進行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購，2名傾向于選擇實體店，5名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購，3名傾向于選擇實體店． (1)若從10名購物者中隨機抽取2名，其中男、女各1名，求至少有1名傾向于選擇實體店的概率； (2)若從這10名購物者中隨機抽取3名，設X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望． 解　(1)設“隨機抽取2名，其中男、女各1名，至少有1名傾向于選擇實體店”為事件A，則表示事件“隨機抽取2名，其中男、女各1名，都傾向于選擇網(wǎng)購”， 則P(A)＝1－P()＝1－＝. 所以至少有1名傾向于選擇實體店的

11、概率為. (2)X所有可能的取值為0,1,2,3，且P(X＝k)＝，則P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 14．(2019·江西贛州3月摸底)現(xiàn)有甲、乙、丙三名學生參加某大學的自主招生考試，考試分兩輪，第一輪筆試，第二輪面試，只有第一輪筆試通過才有資格進入第二輪面試，面試通過就可以在高考錄取中獲得該校的優(yōu)惠加分，兩輪考試相互獨立．根據(jù)以往多次的模擬測試，甲、乙、丙三名學生能通過筆試的概率分別為0.4,0.8,0.5，能通過面試的概率分別為0.8,0.

12、4,0.64.根據(jù)這些數(shù)據(jù)我們可以預測： (1)甲、乙、丙三名學生中至少有兩名學生通過第一輪筆試的概率； (2)甲、乙、丙三名學生能獲得該校優(yōu)惠加分的人數(shù)X的數(shù)學期望． 解　(1)記事件A：甲通過第一輪筆試，事件B：乙通過第一輪筆試，事件C：丙通過第一輪筆試，事件D：至少有兩名學生通過第一輪筆試， 則P(A)＝0.4，P(B)＝0.8，P(C)＝0.5. P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)·P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.4×0.8×0.5＋0.4×0.2×0.5＋0.6×0.8×0.5＋

13、0.4×0.8×0.5＝0.6， 所以至少有兩名學生通過第一輪筆試的概率為0.6. (2)因為甲、乙、丙三名學生中每個人獲得優(yōu)惠加分的概率均為0.32，所以X～B(3,0.32)，故E(X)＝3×0.32＝0.96. 一、選擇題 1．已知實數(shù)m∈[0,1]，向量a＝(2，－2)，b＝(1,1)，則|ma|>|b|的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　ma＝(2m，－2m)，若|ma|>|b|，則 >，得m<－(舍去)或m>.所以|ma|>|b|的概率是P＝＝.故選C. 2．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率

14、為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 答案　A 解析　根據(jù)獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為C0.62×0.4＋0.63＝0.648.故選A. 3．(2019·山東臨沂二模)某人連續(xù)投籃6次，其中4次命中，2次未命中，則他第1次和第5次兩次均命中的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　基本事件總數(shù)n＝CC＝15，他第1次和第5次兩次均命中包含的基本事件個數(shù)m＝CCC＝6，則他第1次和第5次兩次均命中的概率是P＝＝＝，故選B. 4．某種電路開關閉合后會出現(xiàn)

15、紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則開關在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設“開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“開關第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則“開關兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈”為事件AB，“開關在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B|A，由題意得P(B|A)＝＝，故選C. 5．(2019·河南鄭州第三次質檢)關于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過很多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗，受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的試驗來估計π的值，試驗步驟如

16、下：①先請高二年級n名同學每人在小卡片上隨機寫下一個實數(shù)對(x，y)(0

17、202路公交車由南往北等可能進入二里半公交站，則這兩路公交車進站時間的間隔不超過2分鐘的概率為(　　) A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.64 答案　C 解析　設305路車和202路車的進站時間分別為x，y，設所有基本事件為W：“進站時間的間隔不超過2分鐘”為事件A，則A＝{(x，y)|0≤x≤10，0≤y≤10，|x－y|≤2}，畫出不等式表示的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域，則S＝10×10－8×8＝36，則P(A)＝＝＝0.36，故選C. 7. (2019·北京師大附中模擬三)剪紙藝術是中國最古老的民間藝術之一，作為一種鏤空藝術，它能給人以視覺上的藝術享受．在如圖所

18、示的圓形圖案中有12個樹葉狀圖形(即圖中陰影部分)，構成樹葉狀圖形的圓弧均相同．若在圓內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是(　　) A．2－ B．4－ C． D． 答案　B 解析　設圓的半徑為r，如圖所示，12片樹葉是由24個相同的弓形組成，且弓形AmB的面積為S弓形＝πr2－·r2·sin＝πr2－r2. ∴所求的概率為P＝＝＝4－，故選B. 8．(2019·武漢4月調研)黨的十九大報告指出，建設教育強國是中華民族偉大復興的基礎工程，必須把教育事業(yè)放在優(yōu)先位置，深化教育資源的均衡發(fā)展，現(xiàn)有4名男生和2名女生主動申請畢業(yè)后到兩所偏遠山區(qū)小學任教，將這6名畢業(yè)生全部進

19、行安排，每所學校至少安排2名畢業(yè)生，則每所學校男女畢業(yè)生至少安排1名的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由題意，將這6名畢業(yè)生全部進行安排，每所學校至少2名畢業(yè)生，基本事件的總數(shù)為N＝×A＝50種，每所學校男女畢業(yè)生至少安排1名共有：一是其中一個學校安排一女一男，另一個學校有一女三男，有CCA＝16種；二是其中一個學校安排一女兩男，另一個學校有一女兩男，有CC＝12種，共有16＋12＝28種，所以概率為P＝＝. 二、填空題 9．(2019·河北石家莊二中二模)甲、乙兩人組隊參加猜謎語大賽，比賽共兩輪，每輪比賽甲、乙兩人各猜一個謎語，已知甲猜對每個謎語的概率為，

20、乙猜對每個謎語的概率為，甲、乙在猜謎語這件事上互不影響，則比賽結束時，甲、乙兩人合起來共猜對三個謎語的概率為________． 答案　 解析　若甲猜對2個，乙猜對1個，則有××C××＝，若甲猜對1個，乙猜對2個，則有C××××＝，∴比賽結束時，甲、乙兩人合起來共猜對三個謎語的概率為＋＝. 10．某人在微信群中發(fā)了一個7元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領到整數(shù)元，且每人至少領到1元，則甲領取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是________． 答案　 解析　如下圖，利用隔板法．該問題相當于把下面七個圓圈(○○○○○○○)分成三份(每個圓圈代表1元)，其中有6個空檔，需要插入

21、2個隔板，共有C＝15種方法．甲領取的錢數(shù)不少于其他任何人，則有如下情況： 如下圖，甲領到5元，有1種， ○○○○○|○|○ 如下圖，甲領到4元，有2種， ○○○○|○|○○ ○○○○|○○|○ 如下圖，甲領到3元，有3種， ○○○|○|○○○ ○○○|○○○|○ ○○○|○○|○○ 所以所求概率P＝＝. 11．從區(qū)間[－2,2]中隨機選取一個實數(shù)a，則函數(shù)f(x)＝4x－a·2x＋1＋1有零點的概率是________． 答案　 解析　令t＝2x，函數(shù)有零點就等價于方程t2－2at＋1＝0有正根，進而可得?a≥1，又a∈[－2,2]，所以函數(shù)有零點的實數(shù)a應滿足a∈[

22、1,2]，故P＝. 12．某個部件由三個電子元件按如圖所示的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________． 答案　 解析　三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000，502)，所以每個電子元件的使用壽命超過1000 h的概率均為p＝.因為各個元件能否正常工作相互獨立，所以P(該部件的使用壽命超過1000小時)＝p×[1－(1－p)2]＝. 三、解答題 13．(2019·遼寧沈陽質量

23、監(jiān)測三)某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種， 方案一：每滿200元減50元； 方案二：每滿200元可抽獎一次．具體規(guī)則是依次從裝有3個紅球、1個白球的甲箱，裝有2個紅球、2個白球的乙箱，以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機摸出1個球，所得結果和享受的優(yōu)惠如下表：(注：所有小球僅顏色有區(qū)別) 紅球個數(shù) 3 2 1 0 實際付款 半價 7折 8折 原價 (1)若兩個顧客都選擇方案二，各抽獎一次，求至少一人獲得半價優(yōu)惠的概率； (2)若某顧客購物金額為320元，用所學概率知識比較哪一種方案更劃算？ 解　(1)設事件A為“顧客獲得半價”，則

24、P(A)＝××＝， 所以兩位顧客至少一人獲得半價的概率為 P＝1－2＝. (2)若選擇方案一，則付款金額為320－50＝270(元)． 若選擇方案二，記付款金額為X元， 則X可取的值為160,224,256,320. P(X＝160)＝， P(X＝224)＝××＋××＋××＝， P(X＝256)＝××＋××＋××＝， P(X＝320)＝××＝， ∴E(X)＝160×＋224×＋256×＋320×＝240. 所以方案二更為劃算． 14．(2019·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥

25、效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X. (1)求X的分布列； (2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，

26、最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設α＝0.5，β＝0.8. ①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列； ②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性． 解　(1)X的所有可能取值為－1,0,1. P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)． 所以X的分布列為 X －1 0 1 P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β) (

27、2)①證明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1， 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1， 故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)． 又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比為4，首項為p1的等比數(shù)列． ②由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1. 由于p8＝1，故p1＝， 所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝p1＝. p4表示最終認為甲藥更有效的概率．由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p4＝≈0.0039，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理．