2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員系列 專(zhuān)題28 直角三角形（含解析）

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1、 考點(diǎn)二十八：直角三角形 聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解 一、直角三角形 1.定義 有一個(gè)角是直角的三角形叫作直角三角形 2.性質(zhì) （1）直角三角形兩銳角互余. （2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半； （3）在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半. 3.判定 （1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 二、勾股定理及逆定理 1. 勾股定理： 直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2; 2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三

2、條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 三、直角三角形全等的判定： 對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，除了有一般三角形全等的判定方法，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）： 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”） 四、解直角三角形 解直角三角形的常用關(guān)系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，則： (1)三邊關(guān)系：a2＋b2＝c2； (2)兩銳角關(guān)系：∠A＋∠B＝90°； (3)邊與角關(guān)系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝； (4)sin2A＋cos2A＝1 名師點(diǎn)睛☆典例分類(lèi)

3、考點(diǎn)典例一、直角三角形的判定 【例1】（2017-2018學(xué)年山東省諸城市桃林鎮(zhèn)桃林初中期末模擬）下列條件不能判定一個(gè)三角形為直角三角形的是（ ） A. 三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：3 B. 一邊上的中線(xiàn)等于該邊的一半 C. 三邊為 、 、 D. 三邊長(zhǎng)為m2+n2、m2﹣n2、2mn（m≠0，n≠0） 【答案】C 【舉一反三】 （2017年廣西防城港市防城區(qū)扶隆中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．下列條件中，能證明△ABC是直角三角形的有 （多選、錯(cuò)選不得分）． ①∠A+∠B=90°

4、 ②A(yíng)B2=AC2+BC2 ③ ④CD2=AD?BD． 【答案】①②④． 【解析】試題解析：①∵三角形內(nèi)角和是180°，由①知∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°， ∴△ABC是直角三角形．故選項(xiàng)①正確． ②A(yíng)B，AC，BC分別為△ABC三個(gè)邊，由勾股定理的逆定理可知，②正確． ③題目所給的比例線(xiàn)段不是△ACB和△CDB的對(duì)應(yīng)邊，且?jiàn)A角不相等，無(wú)法證明△ACB與△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③錯(cuò)誤； ④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，

5、 又∵CD2=AD?BD，（即 ） ∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B ∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90° △ABC是直角三角形 ∴故選項(xiàng)④正確； 故答案為：①②④． 考點(diǎn)典例二、直角三角形的性質(zhì) 【例2】（2017江蘇無(wú)錫第10題）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)等于（　?。? A．2 B． C． D． 【答案】D． 【解析】 試題解析：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3， ∴BC==5，

6、 ∵CD=DB， ∴AD=DC=DB=， ∵?BC?AH=?AB?AC， ∴AH=， ∵AE=AB，DE=DB=DC， ∴AD垂直平分線(xiàn)段BE，△BCE是直角三角形， ∵?AD?BO=?BD?AH， ∴OB=， ∴BE=2OB=， 在Rt△BCE中，EC= . 故選D． 考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問(wèn)題）；2.直角三角形斜邊上的中線(xiàn)；3.勾股定理． 【舉一反三】 （2017湖南株洲第11題）如圖示在△ABC中∠B=　?。? 【答案】25°. 【解析】 試題分析：∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°； 故答案為：25°． 考點(diǎn)：直角三角

7、形的性質(zhì)． 考點(diǎn)典例三、直角三角形斜邊上的中線(xiàn) 【例3】（2017遼寧大連第8題）如圖，在中，，，垂足為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（ ） A． B． C. D． 【答案】B. 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線(xiàn). 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線(xiàn)定理及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律． 【舉一反三】 （2016四川達(dá)州第9題）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E．若AB=10，BC=16，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為（　?。? A．2 B．3 C．4

8、 D．5 【答案】B. 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)；平行線(xiàn)的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)． 考點(diǎn)典例四、解直角三角形 【例4】（2017浙江嘉興第15題）如圖，把個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接成一排，求得，，，計(jì)算 ，……按此規(guī)律，寫(xiě)出 （用含的代數(shù)式表示）． 【答案】，. 【解析】 試題解析：作CH⊥BA4于H， 由勾股定理得，BA4=，A4C=， △BA4C的面積=4-2-=， ∴××CH=， 解得，CH=， 則A4H==， ∴tan∠BA4C==， 1=12-1+1， 3=22-2+1， 7=32-3+1， ∴tan

9、∠BAnC=. 考點(diǎn)：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性質(zhì)． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理和正方形的性質(zhì).． 【舉一反三】 （廣東省廣州市越秀區(qū)2016年中考數(shù)學(xué)一模）如圖，△ABC中，DE是BC的垂直平分線(xiàn)，DE交AC于點(diǎn)E，連接BE，若BE=5，BC=6，則sinC=___． 【答案】 【解析】∵DE是BC的垂直平分線(xiàn)，∴CE=BE=5，CD=BD=3，∠CDE=90°， ∴DE==4，∴sinC==， 故答案為： ． 課時(shí)作業(yè)☆能力提升 一、選擇題 1. （重慶市秀山縣2017-2018學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期八校聯(lián)考）如圖， 中， ，則AB長(zhǎng)

10、為 A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2， ∴AB=2BC=4， 故選C． 2. （浙江省金華市第五中學(xué)2017-2018學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)期末模擬）在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,AB=4cm,則BD的長(zhǎng)為（ ）. A. 3 B. 4 C. 1 D. 7 【答案】C 【解析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì),結(jié)合已知∠ACB=90°,∠A=30°，得∠ABC=60°,BC=2,；再由含30°角的直角三角形可得BD是BC的一半為1. 故選：C. 3

11、. （浙江省寧波市李興貴中學(xué)2017-2018學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)期末模擬）直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊上高為h，則下列各式總能成立的是（ ） A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C. D. 【答案】D 【解析】根據(jù)直角三角形的面積可以導(dǎo)出：斜邊c=． 再結(jié)合勾股定理：a2+b2=c2． 進(jìn)行等量代換，得a2+b2=，兩邊同除以a2b2， 得． 故選D． 4. （華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)：2018年中考模擬）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問(wèn)井深幾何？”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問(wèn)題，它的題意可以由

12、圖獲得（單位：尺），則井深為（ ） A. 1.25尺 B. 57.5尺 C. 6.25尺 D. 56.5尺 【答案】B 【解析】依題意有△ABF∽△ADE， ∴AB:AD=BF:DE， 即5:AD=0.4:5， 解得AD=62.5， BD=AD?AB=62.5?5=57.5尺。 故選：B. 5. （2017廣西百色第10題）如圖，在距離鐵軌200米處的處，觀(guān)察由南寧開(kāi)往百色的“和諧號(hào)”動(dòng)車(chē)，當(dāng)動(dòng)車(chē)車(chē)頭在處時(shí)，恰好位于處的北偏東方向上，10秒鐘后，動(dòng)車(chē)車(chē)頭到達(dá)處，恰好位于處西北方向上，則這時(shí)段動(dòng)車(chē)的平均速度是（ ）米/秒. A．

13、 B． C. 200 D．300 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：1.解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題；2.勾股定理的應(yīng)用． 二、填空題 6. （2017湖南常德第14題）如圖，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是線(xiàn)段AE上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，則CD長(zhǎng)度的取值范圍是 ． 【答案】0≤CD≤5． 【解析】 試題分析：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)E重合時(shí)，CD=0，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，∴CE=CD，CD=C

14、B，∴CD=BE=5，∴0≤CD≤5，故答案為：0≤CD≤5． 考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)． 7. （山東省平邑縣陽(yáng)光中學(xué)2018屆九年級(jí)一輪復(fù)習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，則CF=______． 【答案】 【解析】試題解析：∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴ 又∵AB∥DC， ∴ . 又∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ，即 . 又∵ ∠ B=∠D，所以 ， . 由題，AF=4，AE=6， 則根據(jù)勾股定理，易得 ， ， ∴ . 所以本題的正確答案為 . 8.

15、在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，則BC= ． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===，故答案為：． 考點(diǎn)：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理． 9.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，點(diǎn)E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在A(yíng)C邊上的點(diǎn)B′處，則BE的長(zhǎng)為 ． 【答案】． 【解析】 考點(diǎn)：1. 折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應(yīng)用. 10. （2017江蘇無(wú)錫第18題）在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都

16、是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于　 ?。? 【答案】3. 【解析】 試題解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如圖所示， 則∠BO′D′=∠BOD， ∴tan∠BOD=tan∠BO′D′， 設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a， 則O′B=，O′D′=，BD′=3a， 作BE⊥O′D′于點(diǎn)E， 則BE=， ∴O′E=， ∴tanBO′E=， ∴tan∠BOD=3. 考點(diǎn)：解直角三角形． 11. （2017黑龍江綏化第21題）如圖，順次連接腰長(zhǎng)為2 的等腰直角三角形各邊中點(diǎn)得到第1個(gè)小三角形，再順次連接所得的小三角形

17、各邊中點(diǎn)得到第2個(gè)小三角形，如此操作下去，則第個(gè)小三角形的面積為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：記原來(lái)三角形的面積為s，第一個(gè)小三角形的面積為s1，第二個(gè)小三角形的面積為s2，…， ∵s1= ?s= ?s， s2=?s=?s， s3=?s， …… ∴sn=?s=??2?2=. 考點(diǎn)：1.三角形中位線(xiàn)定理；2.等腰直角三角形． 三、解答題 12. （2017黑龍江齊齊哈爾第23題）如圖，在中，于，，，，分別是，的中點(diǎn)． （1）求證：，； （2）連接，若，求的長(zhǎng)．　 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF=5 ． 【解析】 試題分析：（1

18、）證明△BDG≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明； （2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出DE、DF，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可． 試題解析：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△BDG和△ADC中， ， ∴△BDG≌△ADC，∴BG=AC，∠BGD=∠C， ∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點(diǎn)，∴DE=BG=EG，DF=AC=AF， ∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，∴∠EDG+∠FDA=90°，∴DE⊥DF； （2）∵AC=10，∴DE=DF=5，由勾股定理得，EF= =5 ． 考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性

19、質(zhì)；2.勾股定理． 13. （2017遼寧大連第24題）如圖，在中，，，點(diǎn)分別在上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且.將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.當(dāng)?shù)男边叀⒅苯沁吪c分別相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）時(shí)，設(shè). （1）求證：； （2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)等角的余角相等即可證明； （2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)C′E′與AB相交于Q時(shí)，即時(shí)，過(guò)P作MN∥DC′，設(shè)∠B=α．②當(dāng)DC′交AB于Q時(shí)，即時(shí)，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，分別求解即可； 試題解析：（1）證明：如圖1中，

20、 ∵∠EDE′=∠C=90°，∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°， ∴∠ADP=∠DEC． （2）解：如圖1中，當(dāng)C′E′與AB相交于Q時(shí)，即時(shí)，過(guò)P作MN∥DC′，設(shè)∠B=α ∴MN⊥AC，四邊形DC′MN是矩形， ∴PM=PQ?cosα=y，PN=×（3﹣x）， ∴（3﹣x）+y=x，∴， 當(dāng)DC′交AB于Q時(shí)，即時(shí)，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形， ∴PN=DM， ∵DM=（3﹣x），PN=PQ?sinα=y， ∴（3﹣x）=y，∴． 綜上所述， 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；函數(shù)關(guān)系式；矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形. 14.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F. （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長(zhǎng). 【答案】（1）30°；（2）4. 【解析】 考點(diǎn)：1.等邊三角形的判定與性質(zhì)；2.平行的性質(zhì)；3.含30度角的直角三角形的性質(zhì)． 17