2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型二 圖形規(guī)律

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1、類型二 圖形規(guī)律 例1.將一些相同的“”按如圖所示擺放，觀察每個圖形中的“”的個數(shù)，若第n個圖形中“”的個數(shù)是78，則n的值是(　　) 第1題圖 A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14 【答案】B　 【解析】由每個圖形中小圓的個數(shù)規(guī)律可得第n個圖形中，小圓的個數(shù)為，由此可得方程＝78，解得n＝12，故選B. 例2. 如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個△A2A3E，…，按此做法繼續(xù)下

2、去，則第n個三角形中以An為頂點的內(nèi)角度數(shù)是(　　) 第2題圖 A. ()n·75° B. ()n－1·65° C. ()n－1·75° D. ()n·85° 【答案】C　 【解析】在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝()2×75°，∠FA4A3＝()3×75°，∴第n個三角形中以An為頂點的內(nèi)角度數(shù)是()n－1×7 例3. 下列圖形都是由相同大小的按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有4顆，第②個圖形中一共

3、有11顆，第③個圖形中一共有21顆，…，按此規(guī)律排列下去，第⑨個圖形中的顆數(shù)為(　　) 第3題圖 116 B. 144 C. 145 D. 150 【答案】 B　 【解析】將圖中下半部分組成的梯形放到矩形上方，第n個組合圖形可看作是由下半部分為n行n列方陣和上半部分的梯形成，第n個圖中方陣中的為(n＋1)2，梯形中為·(n－1)＝，∴第n個圖中的的個數(shù)為(n＋1)2＋＝＋，令n＝9，解得第9個中個數(shù)為144個． 例4.如圖所示，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1，O2，O3，…，組成一條平滑的曲線．點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，

4、則第2017秒時，點P的坐標是(　　) 第4題圖 A. (2014，0) B. (2015，－1) C. (2017，1) D. (2016，0) 【答案】C　 【解析】由圖象可知，半圓的周長為π，∴運動一秒后的坐標為(1，1)，兩秒后的坐標為(2，0)，三秒后的坐標為(3，－1)，四秒后的坐標為(4，0)，…，其中縱坐標以1，0，－1，0循環(huán)變化，∵2017÷4＝504……1，∴第2017秒時，點P的坐標為(2017，1)． 例5. 如圖所示，將形狀、大小完全相同的“”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形．第1幅圖形中“”的個數(shù)為a1，第2幅圖形中“”的個數(shù)為a2，

5、第3幅圖形中“”的個數(shù)為a3，…，以此類推，則＋＋＋…＋的值為(　　) 第5題圖 A. B. C. D. 【答案】C　 【解析】由所給圖形可知，a1＝3＝22－1＝(1＋1)2－1，a2＝8＝32－1＝(2＋1)2－1，a3＝15＝42－1＝(3＋1)2－1，a4＝24＝52－1＝(4＋1)2－1，由此猜想an＝(n＋1)2－1＝n(n＋2)，∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝ ×(1＋－－)＝. 例6.如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，依此類推，這樣連續(xù)旋

6、轉(zhuǎn)2017次．若AB＝4，AD＝3，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為(　　) 第6題圖 A. 2017π B. 2034π C. 3024π D. 3026π 【答案】D　 【解析】∵AB＝4，AD＝3，∴AC＝BD＝5，轉(zhuǎn)動一次A的路線長是＝2π，轉(zhuǎn)動第二次A的路線長是＝π，轉(zhuǎn)動第三次A的路線長是＝π，轉(zhuǎn)動第四次A的路線長是0，以此類推，每四次一個循環(huán)，且頂點A轉(zhuǎn)動一個循環(huán)的路線長為：π＋π＋2π＝6π，∵2017÷4＝504……1，∴頂點A轉(zhuǎn)動2017次經(jīng)過的路線長為：6π×504＋2π＝3026π. 例7. 如圖，已知菱形OABC的頂點O(0

7、，0)，B(2，2)，若菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為(　　) 第7題圖 A.(1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，) 【答案】B　 【解析】∵菱形OABC的頂點O(0，0)，點B的坐標是(2，2)，∴BO與x軸的夾角為45°，∵菱形的對角線互相垂直平分，∴點D 是線段OB的中點，∴點D 的坐標是(1，1) ，∵菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，360°÷45°＝8，∴每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒時是把菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)了7周

8、回到原來位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了4×45°＝180°，∴點D的對應(yīng)點落在第三象限，且對應(yīng)點與點D關(guān)于原點O成中心對稱，∴第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為(－1，－1)． 例8. 某廣場用同一種如下圖所示的地磚拼圖案，第一次拼成形如圖①所示的圖案，第二次拼成形如圖②所示的圖案，第三次拼成形如圖③所示的圖案，第四次拼成形如圖④所示的圖案…按照這樣的規(guī)律進行下去，第n次拼成的圖案共用地磚________塊． 第8題圖 地磚圖案 【答案】2n2＋2n　 【解析】①4，②4＋2×4，③4＋2×4＋2×6，…，故第n個圖形共有4＋2×4＋2×6＋…＋2×2n

9、＝4＋4×2＋4×3＋…＋4n＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝4×＝2n2＋2n. 例9.下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規(guī)律組成的，其中第1個圖形的周長為4，第2個圖形的周長為10，第3個圖形的周長為18，…，按此規(guī)律排列，第5個圖形的周長為________． 第9題圖 【答案】40　 【解析】第一個圖形周長1×2＋1×2；第二個圖形周長(2＋1)×2＋2×2；第三個圖形周長(3＋2＋1)×2＋2×3；第四個圖形周長(4＋3＋2＋1)×2＋2×4；第五個圖形周長(5＋4＋3＋2＋1)×2＋2×5＝40. 例10. 如圖，在△ABC中，BC＝1，點P1、M1分別是AB、AC邊的

10、中點，點P2、M2分別是AP1、AM1的中點，點P3、M3分別是AP2、AM2的中點，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長為________(n為正整數(shù))． 第10題圖 【答案】　 【解析】在△ABC中，BC＝1，P1、M1分別是AB、ACnnnn的中點，∴P1M1＝BC＝，按照題設(shè)給定的規(guī)律，列表如下： 圖形序號 PnMn PnMn的長度 ① P1M1 ② P2M2 ＝ ③ P3M3 ＝ … … … n PnMn 例11. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如圖所示放置，點A1、A2、A3…在直線y＝x＋1上，點C1、C

11、2、C3…在x軸上，則An的坐標是________． 第11題圖 【答案】(2n－1－1，2n－1)　 【解析】∵點A1、A2、A3…在直線y＝x＋1上，∴A1的坐標是(0，1)，即OA1＝1，∵四邊形A1B1C1O為正方形，∴OC1＝1，即點A2的橫坐標為1，∴A2的坐標是(1，2)，A2C1＝2，∵四邊形A2B2C2C1為正方形，∴C1C2 ＝2，∴OC2 ＝1＋2＝3，即點A3的橫坐標為3，∴A3的坐標是(3，4)，…，觀察可以發(fā)現(xiàn)：A1的橫坐標是：0＝20－1，A1的縱坐標是：1＝20；A2的橫坐標是：1＝21－1，A2的縱坐標是：2＝21；A3的橫坐標是：3＝22－1，A3

12、的縱坐標是：4＝22；…據(jù)此可以得到An的橫坐標是：2n－1－1，縱坐標是：2n－1.所以點An的坐標是(2n－1－1，2n－1)． 例12. 如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝2x和y＝－x的圖象分別為直線l1，l2，過點(1，0)作x軸的垂線交l1于點A1，過點A1作y軸的垂線交l2于點A2，過點A2作x軸的垂線交l1于點A3，過點A3作y軸的垂線交l2于點A4，…，依次進行下去，則點A2017的坐標為________． 第12題圖 第13題圖 【答案】(21008，21009)　 【解析】觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A1(1

13、，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－2)n)，A2n＋2(－2)n＋1，2(－2)n，(n為自然數(shù))，∵2017＝1008×2＋1，∴A2017的坐標為((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)． 例13. 如圖，∠MON＝60°，作邊長為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分別在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM、ON于點A2、F2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在的直線分別交OM、ON于點A3、F3，再以A3F3為邊

14、作正六邊形A3B3C3D3E3F3，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點Bn到ON的距離是________． 【答案】3n－1　 【解析】由題可知，∠MON＝60°，不妨設(shè)Bn到ON的距離為hn，∵正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為1，則A1B1＝1，易知△A1OF1為等邊三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，則h1＝2×＝，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，則h2＝6×＝3，同理可求：OB3＝18，則h3＝18×＝9，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，則hn＝2×3n－1×＝3n－1，∴Bn到ON的距離hn＝3n－1. 例14. 如圖，Rt△OA0A1在平面直

15、角坐標系內(nèi)，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以O(shè)A1為直角邊向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90，∠A1OA2＝30°，以O(shè)A2為直角邊向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法進行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若點A0(1，0)，則點A2017的橫坐標為________． 第14題圖 【答案】()1008　 【解析】由題意可知，經(jīng)過12次變換后，點A13落在射線OA1上，∵2017÷12＝168……1，∴點A2017落在射線OA1上，其橫坐標與點A2016相同，∵OA0＝1，經(jīng)

16、過12次變換后，OA12＝()12，再經(jīng)過12次變換后，OA24＝()24，綜上可猜想，OA2016＝()2016＝()1008，∴點A2017的橫坐標為()1008. 例15. 如圖，直線y＝x上有點A1，A2，A3，…，An＋1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，…，AnAn＋1＝2n，分別過點A1，A2，A3，…，An＋1作直線y＝x的垂線，交y軸于點B1，B2，B3，…，Bn＋1，依次連接A1B2，A2B3，A3B4，…，AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1，則△AnBnBn＋1的面積為________(用含正整數(shù)n的式子表

17、示)． 第15題圖 【答案】 ×22n－×2n　 【解析】如解圖，作A1C1⊥x軸于C1，A2C2⊥x軸于C2，AnCn⊥x軸于Cn，∵點An在直線上y＝x，∴＝＝＝，∴∠AnOCn＝30°，∴OCn＝OAn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)，∠AnOBn＝60°，∵BnAn⊥OAn，∴OBn＝2OAn，∴ BnBn＋1＝2OAn＋1－2OAn＝2AnAn＋1＝2×2n＝2n＋1. 第15題解圖 S△AnBnBn＋1＝BnBn＋1×OCn＝×2n＋1·(1＋2＋22＋…＋2n－1)，設(shè)S＝1＋2＋4＋…＋2n－1，則2S＝2＋4＋…＋2n＋1＋2n，∴S＝2S－S＝(2＋4＋

18、…＋2n－1＋2n)－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝2n－1 ，綜上可知 S△AnBnBn＋1＝×2n＋1×(2n－1)＝×22n－×2n. 例16. 如圖，∠AOB＝60°，點O1是∠AOB平分線上一點，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分別為A1，B1，以A1B1為邊作等邊三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分別為A2，B2，以A2B2為邊作等邊三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分別為A3，B3，以A3B3為邊作等邊三角形A3B3O4；…，按這樣的方法繼續(xù)下去，則△AnBnOn的面積為________(用含正整數(shù)n的代數(shù)式表

19、示)． 【答案】　 【解析】∵∠AOB＝60°，OOn平分∠AOB，∴∠AOOn＝30°，∵A1O1⊥AO，OO1＝2，∴A1O1＝1，OA1＝.∵O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，∴O1A1＝O1B1，∵O1O＝O1O，∴Rt△O1A1O≌Rt△O1B1O(HL)，∴OA1＝OB1，∵∠A1OB1＝60°，∴△A1OB1是等邊三角形，∴A1B1＝OA1＝，∵△A1O2B1是等邊三角形，∴A1O2＝A1B1＝，在Rt△A1O2A2中，∠O2A1A2＝60°，A1O2＝，∴A2O2＝A1O2＝O1A1，同理A3O3＝A2O3＝()2A1O1，∴AnOn＝()n－1A1O1. 又 S△O1A1B1＝2S△O1A1O－S△A1B1O＝2××1×－·()2＝ .易得∠AnOnBn＝∠A1O1B1＝120°，AnOn＝BnOn，∴＝，∴△A1O1B1∽△AnOnBn，∴＝()2＝()2n－2.∴S△AnBnOn＝. 9