5、形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角．
典例2 小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，
∵，，
∵，，
∴
=
=，
故選C．
2．如圖，CE是△ABC的外角的平分線，若，則__________．
3．如圖，在△ABC中，∠ACB=68°，若P為△ABC內(nèi)一點，且∠1=∠2，則∠BPC=__________．
考向三 三角形中的重要線段
三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)
6、系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．另外，要注意區(qū)分三角形的中線和中位線．中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段；中位線：連接三角形兩條邊中點的線段.
典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC中點，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF的周長是
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【解析】∵D、E、F分別為AB、BC、AC中點，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四邊形DBEF為平行四邊形，∴四邊形DBEF的周長=2（DF+EF）=2×（2+）=7，故選B．
【名師點睛】三
7、角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則∠EAG的度數(shù)為
A．50° B．40° C．30° D．25°
【答案】A
【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，
∵DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，
∴EA=EB，GA=GC，
∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，
∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°，
故選A．
4．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于
8、D點，AB=4，BD=5，點P是線段BC上的一動點，則PD的最小值是__________．
考向四 全等三角形
1．從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路：
（1）已知兩邊
（2）已知一邊、一角
（3）已知兩角
2．若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目．
9、典例5 如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度數(shù)．
【解析】（1）∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
∵BF=EC
∴BF+FC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF．
（2）∵∠A=120°，∠B=20°，
∴∠ACB=40°，
由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，
∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°．
【名師點睛】本題考查了全等三角形的判定方法，①三邊對應相等的兩個三角形全等，
10、簡記為“SSS”；
②兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，簡記為“SAS”；③兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為“ASA”；④兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為“AAS”；⑤斜邊及一直角邊對應相等的兩個三角形全等，根據(jù)這幾種判定方法解答即可．
5．如圖，OA=OB，∠A=∠B，有下列3個結(jié)論：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③點E在∠O的平分線上，其中正確的結(jié)論個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如圖，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，點A、點F分別在BE、CE上，BF、AC相交于點D，BD=CE．求證：
11、AD=AE．
1．下列線段，能組成三角形的是
A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cm
C．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm
2．下列圖形不具有穩(wěn)定性的是
A．正方形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
3．直角三角形中兩銳角之差為20°，則較大銳角為
A．45° B．55°
C．65° D．50°
4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點E，DE=1，則BC=
A． B．2 C．3
12、 D．+2
5．如圖所示，AB=DB，BC=BE，欲證△ABE≌△DBC，則需補充的條件是
A．∠A=∠D B．∠E=∠C
C．∠A=∠C D．∠1=∠2
6．如圖，△ABC中，H是高AD、BE的交點，且BH=AC，則∠ABC=__________．
7．如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1＋∠2＋∠3=__________度．
8．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=8，CF=5，則BD=__________．
9．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中線，AF⊥BD，F(xiàn)為垂足，過點C作AB的平行線交AF的延長線于點E
13、．
求證：（1）∠ABD=∠FAD；
（2）AB=2CE．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，F(xiàn)分別在AB，AC上，CF=CB．連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF．
（1）求證：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD．求∠BDC的度數(shù)．
11．如圖，操場上有兩根旗桿CA與BD之間相距12 m，小強同學從B點沿BA走向A，一定時間后他到達M點，此時他測得CM和DM的夾角為90°，且CM=DM，已知旗桿AC的高為3 m，小強同學行走的速度為0.5 m/s，則：
（1）請你求出另一旗桿BD的高度；
14、
（2）小強從M點到達A點還需要多長時間？
1．（2019?徐州）下列長度的三條線段，能組成三角形的是
A．，， B．，，12
C．，， D．，，
2．（2019?百色）三角形的內(nèi)角和等于
A． B． C． D．
3．（2019?荊門）將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，使得它們的直角邊互相垂直，則的度數(shù)是
A． B． C． D．
4．（2019?大慶）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是外角∠ACM的平分線，BE與CE相交于點E，若∠A=60°，則∠BEC是
A．15° B．30°
15、C．45° D．60°
5．（2019?長春）如圖，在中，為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點．使，則符合要求的作圖痕跡是
A． B．
C． D．
6．（2019?張家界）如圖，在中，，，，BD平分，則點D到AB的距離等于
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2019?梧州）如圖，是的邊的垂直平分線，為垂足，交于點，且
，則的周長是
A．12 B．13 C．14 D．15
8．（2019?臨沂）如圖，是上一點，交于點，，，若，，則的長是
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
9．（2019?河南）
16、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是AC的中點，則CD的長為
A．2 B．4 C．3 D．
10．（2019?宿遷）一副三角板如圖擺放（直角頂點重合），邊與交于點，，則等于
A． B． C． D．
11．（2019?青島）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC=35°，∠C=50°，則∠CDE的度數(shù)為
A．35° B．40° C．45° D．50°
12．
17、（2019?濱州）如圖，在和中，，
連接交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2019?蘭州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，則∠B=__________．
14．（2019?長沙）如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點間的距離，可以在池塘外選一點C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點D，E，測得DE=50 m，則AB的長是__________m．
15．（2019?成都）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長為_____
18、_____．
16．（2019?南通）如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=__________度．
17．（2019?瀘州）如圖，，和相交于點，．求證：．
18．（2019?廣州）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB，求證：．
19．（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點O．
求證：（1）；
（2）．
變式拓展
19、
1．【答案】C
【解析】2cm+5cm<8cm，A不能組成三角形；
3cm+3cm=6cm，B不能組成三角形；
3cm+4cm＞5cm，C能組成三角形；
1cm+2cm=3cm，D不能組成三角形；
故選C．
2．【答案】85°
【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案為：85°．
3．【答案】112°
【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=
20、180°-68°=112°，故答案為：112°．
4．【答案】3
【解析】由勾股定理知AD=，BD平分∠ABC交AC于D點，所以PD=AD最小，PD=3，故答案為：3．
5．【答案】D
【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，
∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正確；
∴OD=CO，∴BD=AC，
∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正確；
∴AE=BE，連接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE，∴點E在∠O的平分線上，故③正確，
故選D．
6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，，
∴
21、Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．
考點沖關(guān)
1．【答案】B
【解析】A、3+2=5，故選項錯誤；
B、5+6>10，故正確；
C、1+1<3，故錯誤；
D、4+3<8，故錯誤．
故選B．
2．【答案】A
【解析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可知，只有選項A不具有穩(wěn)定性，故選A．
3．【答案】B
【解析】設(shè)兩個銳角分別為x、y，由題意得，，解得，所以最大銳角為55°．
故選B．
4．【答案】C
【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE=1，根據(jù)Rt△ADE可得AD=2DE=2，根據(jù)題意可得△ADB為等腰三角形，則DE為AB的中垂線，則BD=AD=2，則B
22、C=CD+BD=1+2=3．故選C．
5．【答案】D
【解析】根據(jù)全等“SAS”判定可知，要證△ABE≌△DBC還需補充條件AB，BE與BC，BD的夾角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故選D．
6．【答案】45°
【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠HBD=∠CAD，
∵在△HBD和△CAD中，，
∴△HBD≌△CAD，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
即∠ABC=45°
故答案為：45°．
7．【答案】135
23、
【解析】如圖所示：
由題意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，
又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，
故答案為：135．
8．【答案】3
【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=5，
∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3，
故答案為：3．
9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°.
∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠FAD．
(2)∵CE
24、∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，
在△BAD和△ACE中，
∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°，
∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE.
∵BD為△ABC中AC邊上的中線．∴AC=2AD，∴AC=2CE.
又∵AB=AC，∴AB=2CE.
10．【解析】（1）∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，CB=CF，
∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，
∴△BCD≌△
25、FCE．
（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°–∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
11．【解析】（1）如圖，∵CM和DM的夾角為90°，
∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，
在△CAM和△MBD中，，
∴△CAM≌△MBD（AAS），∴AM=DB，AC=MB，
∵AC=3m，∴MB=3m，
∵AB=12m，∴AM=9m，∴DB=9m；
（2）9÷0.5=18（s）．
答
26、：小強從M點到達A點還需要18秒．
直通中考
1．【答案】D
【解析】∵，∴，，不能組成三角形，故選項A錯誤，
∵，∴，，不能組成三角形，故選項B錯誤，
∵，∴，，不能組成三角形，故選項C錯誤，
∵，∴，，能組成三角形，故選項D正確，故選D．
2．【答案】B
【解析】因為三角形的內(nèi)角和等于180度，故選B．
3．【答案】C
【解析】如圖，
由題意得，，∴，
由三角形的外角性質(zhì)可知，，故選C．
4．【答案】B
【解析】∵BE是∠ABC的平分線，∴∠EBM=∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分線，∴∠ECM=∠ACM，
則∠BEC=∠ECM–∠EBM=
27、×（∠ACM–∠ABC）=∠A=30°，故選B．
5．【答案】B
【解析】∵且，∴，∴，
∴點是線段中垂線與的交點，故選B．
6．【答案】C
【解析】如圖，過點D作于E，
∵，，∴，
∵，BD平分，∴，即點D到AB的距離為2，故選C．
7．【答案】B
【解析】∵是的邊的垂直平分線，∴，∵，∴的周長是：．故選B．
8．【答案】B
【解析】∵，∴，，
在和中，，∴，∴，
∵，∴．故選B．
9．【答案】A
【解析】如圖，連接FC，則AF=FC．
∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA與△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF=BC=
28、3，∴FC=AF=3，F(xiàn)D=AD-AF=4-3=1．
在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32，∴CD=2．故選A．
10．【答案】A
【解析】由題意知，，∵，∴，
在中，，故選A．
11．【答案】C
【解析】∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，∴AB=BE，∴AF=EF，∴AD=ED，∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故選C．
1
29、2．【答案】B
【解析】∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，①正確；
∴，由三角形的外角性質(zhì)得：，
∴°，②正確；
作于，于，如圖所示：
則°，
在和中，，∴，∴，∴平分，④正確，正確的個數(shù)有3個，故選B．
13．【答案】70°
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°-40°）=70°．故答案為：70°．
14．【答案】100
【解析】∵點D，E分別是AC，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE=2×50=100 m．
故答案為：100．
15．【答案】9
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD
30、和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE=9，故答案為：9．
16．【答案】70
【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案為：70．
17．【解析】∵，∴，，
在和中，，
∴，
∴．
18．【解析】∵FC∥AB，
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
所以在△ADE與△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE．
19．【解析】（1）∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在與中，，
∴≌．
（2）由（1）≌，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC．
2020年中考數(shù)學考點一遍過 考點14 三角形及其全等（含解析）
