2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型二 階梯費(fèi)用類問題

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1、類型二 階梯費(fèi)用類問題 例1．某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本，且不高于80元．經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y(kg)與每千克售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表： 售價(jià)x(元/kg) 50 60 70 銷售量y(kg) 100 80 60 (1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤＝收入—成本)； (3)試說明(2)中總利潤W隨售價(jià)x的變化而變化的情況，并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是多少？ 【答案】（1）y＝－2x＋200(40≤x≤80)； （2）w=－2x

2、2＋280x－8 000(40≤x≤80)； （3）當(dāng)x＝70時(shí)，利潤W取得最大值，最大值為1 800元． 【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)y＝kx＋b，其中k，b為待定的常數(shù)， 由表中的數(shù)據(jù)得解得 ∴y＝－2x＋200(40≤x≤80)； (2)根據(jù)題意得W＝y(tǒng) ·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－ 8 000(40≤x≤80)； (3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1 800，∴當(dāng)售價(jià)x在滿足 40≤x≤70的范圍內(nèi)，利潤W隨著x的增大而增大；當(dāng)售價(jià)在滿足 70＜x≤80的范圍內(nèi)，利潤W隨著x的增大而減?。喈?dāng)x＝70時(shí)，利潤W取得最大值，最

3、大值為1 800元． 例2．襄陽市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號(hào)召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品．已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件，且年銷售量y(萬件)關(guān)于售價(jià)x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式為： y＝ (1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為W(萬元)，請(qǐng)直接寫出年利潤關(guān)于售價(jià)x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式； (2)當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià)x(元/件)為多少時(shí)，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大？最大年利潤是多少？ (3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，試確定該產(chǎn)品的售價(jià)x(元/件)的取值范圍． 【答案】（1）W＝ （2）800萬（3）45≤x≤55. 【解析】(1)W＝ (2)由(1)知，當(dāng)4

4、0≤x<60時(shí)，W＝－2(x－50)2＋800. ∵－2<0，∴當(dāng)x＝50時(shí)，W有最大值800. 當(dāng)60≤x≤70時(shí)，W＝－(x－55)2＋625. ∵－1＜0，∴當(dāng)60≤x≤70時(shí)，W隨x的增大而減小， ∴當(dāng)x＝60時(shí)，W有最大值為600. ∵800>600，∴W最大值為800萬元． 答：當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià)定為50元/件時(shí)，銷售該產(chǎn)品的年利潤最大，最大利潤為800萬元； (3)當(dāng)40≤x＜60時(shí)，令W＝750，得 －2(x－50)2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55. 由函數(shù)W＝－2(x－50)2＋800的性質(zhì)可知， 當(dāng)45≤x≤55時(shí)，W≥750， 當(dāng)60≤x≤

5、70時(shí)，W最大值為600＜750. 答：要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，該產(chǎn)品的銷售價(jià)x(元/件)的取值范圍為45≤x≤55. 例3．荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖．已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個(gè)銷售旺季的80天里，銷售單價(jià)p(元/kg)與時(shí)間第t天之間的函數(shù)關(guān)系為p＝日銷售量y(kg)與時(shí)間第t天之間的函數(shù)關(guān)系如圖3－3－1所示． (1)求日銷售量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式？ (2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？ (3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2 400元？ (4)在實(shí)際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1 kg小龍蝦，就捐贈(zèng)m(m＜7)元給

6、村里的特困戶．在這前40天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間t的增大而增大，求m的取值范圍． 【答案】（1）y＝－2t＋200(1≤t≤80，t為整數(shù))；（2）W＝(p－6)y （3）21天（4）5≤m＜7. 圖3－3－1 【解析】 (1)根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得； (2)設(shè)日銷售利潤為W，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據(jù)“總利潤＝每千克利潤×銷售”列出函數(shù)表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷； (3)求出W＝2 400時(shí)x的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案； (4)依據(jù)(2)中相等關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，確定其對(duì)稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤隨時(shí)間

7、t的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案． 解：(1)設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝kt＋b， 將(1，198)，(80，40)代入，得解得 ∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t為整數(shù))； (2)設(shè)日銷售利潤為W，則W＝(p－6)y， ①當(dāng)1≤t≤40時(shí)，W＝(－2t＋200)＝－(t－30)2＋2 450， ∴當(dāng)t＝30時(shí)，W最大＝2 450； ②當(dāng)41≤t≤80時(shí)，w＝(－2t＋200)＝(t－90)2－100， ∴當(dāng)t＝41時(shí)，W最大＝2 301， ∵2 450＞2 301， ∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2 450元； (3)由(2)得當(dāng)1≤t≤40時(shí)，W＝－(t

8、－30)2＋2 450， 令W＝2 400，即－(t－30)2＋2 450＝2 400，解得t1＝20，t2＝40， 由函數(shù)W＝－(t－30)2＋2 450的圖象(如答圖)可知，當(dāng)20≤t≤40時(shí)，日銷售利潤不低于2 400元， 第3題答圖 而當(dāng)41≤t≤80時(shí)，W最大＝2 301＜2 400， ∴t的取值范圍是20≤t≤40，∴共有21天符合條件； (4)設(shè)日銷售利潤為W，根據(jù)題意，得 W＝(－2t＋200)＝－ t2＋(30＋2m)t＋2 000－200m，其函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為t＝2m＋30， ∵W隨t的增大而增大，且1≤t≤40， ∴由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知2

9、m＋30≥40， 解得m≥5，又∵m＜7，∴5≤m＜7. 例4．小慧和小聰沿圖3－3－2①中景區(qū)公路游覽．小慧乘坐車速為30 km/h的電動(dòng)汽車，早上7：00從賓館出發(fā)，游玩后中午12：00回到賓館．小聰騎車從飛瀑出發(fā)前往賓館，速度為20 km/h，途中遇見小慧時(shí)，小慧恰好游完一景點(diǎn)后乘車前往下一景點(diǎn)，上午10：00小聰?shù)竭_(dá)賓館．圖②中的圖象分別表示兩人離賓館的路程s(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系．試結(jié)合圖中信息回答： 圖3－3－2 (1)小聰上午幾點(diǎn)鐘從飛瀑出發(fā)？ (2)試求線段AB，GH的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，并說明它的實(shí)際意義； (3)如果小聰?shù)竭_(dá)賓館后，立即以30 km/h的

10、速度按原路返回，那么返回途中他幾點(diǎn)鐘遇見小慧？ 【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00 【解析】(1)小聰從飛瀑到賓館所用的時(shí)間為50÷20＝2.5(h)， ∵小聰上午10：00到達(dá)賓館， ∴小聰從飛瀑出發(fā)的時(shí)刻為10－2.5＝7.5，即7：30. 答：小聰早上7：30從飛瀑出發(fā)； (2)設(shè)直線GH的函數(shù)表達(dá)式為s＝kt＋b， 由于點(diǎn)G的坐標(biāo)為，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(3，0)， 則有解得 ∴直線GH的函數(shù)表達(dá)式為s＝－20t＋60， 又∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為30， ∴當(dāng)s＝30時(shí)，得－20t＋60＝30，解得t＝， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 答：點(diǎn)B的實(shí)際意義是上午8：30小慧與

11、小聰在離賓館30 km(即景點(diǎn)草甸)處第一次相遇； (3)方法一：設(shè)直線DF的函數(shù)表達(dá)式為s＝k1t＋b1，該直線過點(diǎn)D和F(5，0)， 由于小慧從飛瀑回到賓館所用時(shí)間為50÷30＝(h)， ∴小慧從飛瀑準(zhǔn)備返回時(shí)t＝5－＝(h)， 即點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 則有解得 ∴直線DF的函數(shù)表達(dá)式為s＝－30t＋150， ∵小聰上午10：00到達(dá)賓館后立即以30 km/h的速度返回飛瀑，所需時(shí)間為50÷30＝(h)． 第4題答圖 如答圖，HM為小聰返回時(shí)s關(guān)于t的函數(shù)圖象， ∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3＋＝，∴M， 設(shè)直線HM的函數(shù)表達(dá)式為s＝k2t＋b2，該直線過點(diǎn)H(3，0)和M ， 則

12、有 ∴直線HM的函數(shù)表達(dá)式為s＝30t－90， 由30t－90＝－30t＋150，解得t＝4，即11：00. 答：小聰返回途中上午11：00遇見小慧； 方法二：如答圖，過點(diǎn)E作EQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由題意，可得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為兩人相遇時(shí)距賓館的路程， 又∵兩人速度均為30 km/h， ∴該路段兩人所花時(shí)間相同，即HQ＝QF， ∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為4. 答：小聰返回途中上午11：00遇見小慧． 例5．月電科技有限公司用160萬元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，成功研制出了一種市場急需的電子產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售．已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y(

13、萬件)與銷售價(jià)格x(元/件)的關(guān)系如圖3－3－3所示，其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC為一次函數(shù)圖象的一部分．設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為W(萬元)．(注：若上一年盈利，則盈利不計(jì)入下一年的年利潤；若上一年虧損，則虧損記做下一年的成本) 圖3－3－3 (1)請(qǐng)求出y(萬件)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式． (2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤W(萬元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第一年年利潤的最大值． (3)假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤W(萬元)取得最大值時(shí)進(jìn)行銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價(jià)格x(元)定在8元以上(

14、x＞8)，當(dāng)?shù)诙甑哪昀麧櫜坏陀?03萬元時(shí)，請(qǐng)結(jié)合年利潤W(萬元)與銷售價(jià)格x(元/件)的函數(shù)示意圖，求銷售價(jià)格x(元/件)的取值范圍． 【答案】（1）y＝（2）當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年的年利潤的最大值為－16萬元．（3）當(dāng)11≤x≤21時(shí)，第二年的年利潤W不低于103萬元． 【解析】 (1)求y(萬件)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，是一個(gè)分段函數(shù)，已知點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法可求； (2)根據(jù)“年利潤＝年銷售量×每件的利潤－成本(160萬元)”，可求出年利潤W(萬元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，但要注意的是和第(1)問一樣是分段函數(shù)，根據(jù)每段的函數(shù)特征分別求

15、出最大值，再比較這兩個(gè)數(shù)值的大小，從而確定第一年的年利潤的最大值； (3)根據(jù)條件“第二年的年利潤不低于103萬元”，可得W≥103，這是一個(gè)一元二次不等式，觀察年利潤W(萬元)與銷售價(jià)格x(元/件)的函數(shù)示意圖，從而得出結(jié)果． 解：(1)當(dāng)4≤x≤8時(shí)，設(shè) y＝，將A(4，40)代入，得 k＝4×40＝160. ∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝. 當(dāng)8＜x≤28時(shí)，設(shè)y＝kx＋b，將B(8，20)，C(28，0)代入，得 解得 ∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x＋28. ∴綜上所述，得y＝ (2)當(dāng)4≤x≤8時(shí)，W＝(x－4)×y－160＝(x－4)×－160＝－. ∵W

16、隨著x的增大而增大， ∴當(dāng)x＝8時(shí)，Wmax＝－ ＝－80. 當(dāng)8＜x≤28時(shí)，W＝(x－4)×y－160 ＝(x－4)×(－x＋28)－160＝－x2＋32x－272＝－(x－16) 2－16. ∴當(dāng)x＝16時(shí)，Wmax＝－16.∵－16＞－80， ∴當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年的年利潤的最大值為－16萬元． (3)∵第一年的年利潤為－16萬元． ∴16萬元應(yīng)作為第二年的成本． 第5題答圖 又∵x＞8， ∴第二年的年利潤W＝(x－4)(－x＋28)－16 ＝－x2＋32x－128， 令W＝103，則－x2＋32x－128＝103，解得x1＝11，x2＝21.

17、 在平面直角坐標(biāo)系中，畫出W與x的函數(shù)示意圖如答圖，觀察示意圖可知：當(dāng)W≥103時(shí)，11≤x≤21. ∴當(dāng)11≤x≤21時(shí)，第二年的年利潤W不低于103萬元． 例6．某水果店在兩周內(nèi)，將標(biāo)價(jià)為10元/斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元/斤，并且兩次降價(jià)的百分率相同． (1)求該種水果每次降價(jià)的百分率； (2)從第一次降價(jià)的第1天算起，第x天(x為正數(shù))的售價(jià)、銷量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示．已知該種水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元)，求y與x(1≤x＜15)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤最大？ 時(shí)間x(天) 1≤x＜9

18、9≤x＜15 x≥15 售價(jià)(元/斤) 第1次降價(jià)后的價(jià)格 第2次降價(jià)后的價(jià)格 銷量(斤) 80－3x 120－x 儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用(元) 40＋3x 3x2－64x＋400 (3)在(2)的條件下，若要使第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元，則第15天在第14天的價(jià)格基礎(chǔ)上最多可降多少元？ 【答案】（1）10％（2）10（3）0.5元 【解析】 (1)設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為x，則第一次降價(jià)后的價(jià)格為10(1－x)，第二次降價(jià)后的價(jià)格為10(1－x)2，進(jìn)而可得方程； (2)分兩種情況考慮，先利用“利潤＝(售價(jià)－進(jìn)價(jià))×銷量－儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用”，

19、再分別求利潤的最大值，比較大小確定結(jié)論； (3)設(shè)第15天在第14天的價(jià)格基礎(chǔ)上降a元，利用不等關(guān)系“(2)中最大利潤－[(8.1－a－4.1)×銷量－儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用]≤127.5”求解． 解：(1)設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為x，依題意， 得10(1－x)2＝8.1， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合題意，舍去)． 答：該種水果每次降價(jià)的百分率為10%. (2)第一次降價(jià)后的銷售價(jià)格為10×(1－10%)＝9(元/斤)， 當(dāng)1≤x＜9時(shí)，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352； 當(dāng)9≤x＜15時(shí)，y＝(8.1－4.1)(120－x)

20、－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80， 綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系式為 y＝ 當(dāng)1≤x＜9時(shí)，y＝－17.7x＋352， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最大＝334.3(元)； 當(dāng)9≤x＜15時(shí)，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380， ∴當(dāng)x＝10時(shí)，y最大＝380(元)． ∵334.3＜380， ∴在第10天時(shí)銷售利潤最大． (3)設(shè)第15天在第14天的價(jià)格上最多可降a元，依題意，得 380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，解得a≤0.5， 則第15天在第14天的價(jià)格上最多可降0.5元． 9