2020年中考數學二輪復習 重難題型突破 類型一 新定義型

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1、類型一 新定義型 例1、對任意一個三位數n，如果n滿足各數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”．將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F(n)．例如n＝123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6． （1）計算：F(243)，F(617); （2）若s，t都是“相異數”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正

2、整數），規(guī)定：k＝當F(s)＋F(t)＝18時，求k的最大值． 【解答】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9； F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14． （2）∵s，t都是“相異數”，s＝100x＋32，t＝150＋y， ∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y(tǒng)＋6． ∵F(t)＋F(s)＝18， ∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18， ∴x＋y＝7． ∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數， ∴或或或或或． ∵s是“相異數

3、”， ∴x≠2，x≠3． ∵t是“相異數”， ∴y≠1，y≠5． ∴或或， ∴或或， ∴k＝＝或k＝＝1或k＝＝ ∴k的最大值為． 例2、如圖1，在正方形ABCD的內部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根據三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形． 類比探究 如圖2，在正△ABC的內部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F三點(D，E，F三點不重合） （1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明． （2）△DEF是否為正三角形？請說明理由． （3

4、）進一步探究發(fā)現，△ABD的三邊存在一定的等量關系，設BD＝a，AD＝b，AB＝c，請?zhí)剿鱝，b，c滿足的等量關系． 【解答】解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下： ∵△ABC是正三角形， ∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC， ∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3， ∴∠ABD＝∠BCE， 在△ABD和△BCE中，， ∴△ABD≌△BCE(ASA); (2)△DEF是正三角形；理由如下： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA， ∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD， ∴△DEF是正三角

5、形； （3）作AG⊥BD于G，如圖所示： ∵△DEF是正三角形， ∴∠ADG＝60°， 在Rt△ADG中，DG＝＝ 在Rt△ABG中＝ ∴＝． 例3、有這樣一個問題：探究同一平面直角坐標系中系數互為倒數的正、反比例函數y＝與y＝≠0）的圖象性質． 小明根據學習函數的經驗，對函數y＝與y＝當k＞0時的圖象性質進行了探究． 下面是小明的探究過程： （1）如圖所示，設函數y＝與y＝圖象的交點為A，B，已知A點的坐標為(－k，－1)，則B點的坐標為________； （2）若點P為第一象限內雙曲線上不同于點B的任意一點． ①設直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點N．求證：P

6、M＝PN． 證明過程如下：設直線PA的解析式為y＝ax＋b(a≠0）． 則 ， 解得 ________ ∴直線PA的解析式為________ 請你把上面的解答過程補充完整，并完成剩余的證明． ②當P點坐標為(1，k)(k≠1）時，判斷△PAB的形狀，并用k表示出△PAB的面積． 【解答】解：（1）由正、反比例函數圖象的對稱性可知，點A、B關于原點O對稱， ∵A點的坐標為(－k，－1)， ∴B點的坐標為(k，1)． 故答案為：(k，1)． （2）①證明過程如下，設直線PA的解析式為y＝ax＋b(a≠0）． 則， 解得：， ∴直線PA的解析式為y＝． 當y＝0

7、時，x＝m－k， ∴M點的坐標為(m－k，0)． 過點P作PH⊥x軸于H，如圖1所示， ∵P點坐標為 ∴H點的坐標為(m，0)， ∴MH＝＝m－(m－k)＝k． 同理可得：HN＝k． ∴MH＝HN， ∴PM＝PN． 故答案為：；y＝． ②由①可知，在△PMN中，PM＝PN， ∴△PMN為等腰三角形，且MH＝HN＝k． 當P點坐標為(1，k)時，PH＝k， ∴MH＝HN＝PH， ∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°， ∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°， ∴△PAB為直角三角形． 當k＞1時，如圖1， ＝ ＝ ＝ ＝ 當0＜k＜

8、1時，如圖2， ＝ ＝ ＝ ＝． 例4、問題呈現：如圖1，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，AE＝DG，求證：2S四邊形EFGH＝S矩形ABCD．（S表示面積） 實驗探究：某數學實驗小組發(fā)現：若圖1中AH≠BF，點G在CD上移動時，上述結論會發(fā)生變化，分別過點E、G作BC邊的平行線，再分別過點F、H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點、、、得到矩形． 如圖2，當AH＞BF時，若將點G向點C靠近(DG＞AE)，經過探索，發(fā)現：2 S四邊形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形． 如圖3，當AH＞BF時，若將點G向點D靠近(DG＜AE)，請?zhí)剿鱏四邊形E

9、FGH、S矩形ABCD與S矩形之間的數量關系，并說明理由． 遷移應用：請直接應用“實驗探究”中發(fā)現的結論解答下列問題： （1）如圖4，點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AH＞BF，AE＞DG，S四邊形EFGH＝11，HF＝求EG的長． （2）如圖5，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E、H分別在邊AB、AD上，BE＝1，DH＝2，點F、G分別是邊BC、CD上的動點，且FG＝連接EF、HG，請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值． 【解答】問題呈現：證明：如圖1中， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠A＝90°， ∵AE＝DG，

10、 ∴四邊形AEGD是矩形， ∴＝S四邊形EFGH， 同理＝S矩形BEGC， ∴S四邊形EFGH＝＝S矩形ABCD． 實驗探究：結論：2 S四邊形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形． 理由：∵ =， =， =， =，∴S四邊形EFGH=+++﹣，∴2S四邊形EFGH=2+2+2+2﹣2，∴2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形． 遷移應用：解：（1）如圖4中，∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形，∴S矩形=25﹣2×11=3=A1B1A1D1，∵正方形的面積為25，∴邊長為5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=，∴EG2=A

11、1B12+52=，∴EG=． （2）∵2 S四邊形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形． ∴四邊形面積最大時，四邊形EFGH的面積最大． ①如圖5－1中，當G與C重合時，四邊形面積最大時，四邊形EFGH的面積最大． 此時矩形面積＝＝ ②如圖5－2中，當G與D重合時，四邊形面積最大時，四邊形EFGH的面積最大．此時矩形面積＝2﹒1＝2，∵∴四邊形EFGH的面積最大值＝． 例5、定義：點P是△ABC內部或邊上的點（頂點除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個三角形與△ABC相似，則稱點P是△ABC的自相似點． 例如：如圖1，點P在△ABC的內部，∠PBC＝∠A，∠BCP

12、＝∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點P是△ABC的自相似點． 請你運用所學知識，結合上述材料，解決下列問題： 在平面直角坐標系中，點M是曲線y＝上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點． （1）如圖2，點P是OM上一點，∠ONP＝∠M，試說明點P是△MON的自相似點；當點M的坐標是點N的坐標是時，求點P的坐標； （2）如圖3，當點M的坐標是點N的坐標是(2，0)時，求△MON的自相似點的坐標； （3）是否存在點M和點N，使△MON無自相似點？若存在，請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由． 【解答】解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON， ∴△NOP

13、∽△MON， ∴點P是△MON的自相似點； 過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD＝＝ ∴∠MON＝60°， ∵當點M的坐標是點N的坐標是 ∴∠MNO＝90°， ∵△NOP∽△MON， ∴∠NPO＝∠MNO＝90°， 在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°＝ ∴OD＝OPcos60°＝＝＝OP﹒sin60°＝＝ ∴ （2）作MH⊥x軸于H，如圖3所示： ∵點M的坐標是點N的坐標是(2，0)， ∴OM＝＝直線OM的解析式為y＝＝2，∠MOH＝30°， 分兩種情況： ①如圖3所示：∵P是△MON的相似點， ∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x軸于Q， ∴PO＝PN，OQ＝＝1， ∵P的橫坐標為1， ∴y＝＝ ∴ ②如圖4所示： 由勾股定理得：MN＝＝2， ∵P是△MON的相似點， ∴△PNM∽△NOM， ∴＝即＝ 解得：PN＝ 即P的縱坐標為代入y＝得：＝ 解得：x＝2， ∴ 綜上所述：△MON的自相似點的坐標為或 （3）存在點M和點N，使△MON無自相似點理由如下： ∵ ∴OM＝＝ON，∠MON＝60°， ∴△MON是等邊三角形， ∵點P在△MON的內部， ∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON， ∴存在點M和點N，使△MON無自相似點． 9