4、歸納：本題注意隱含條件的挖掘，即鄰補角和為180°及凸多邊形的一個內角是小于平角的角．
考點2：平行四邊形的性質與判定
【例題2】(2017·大慶)如圖，以BC為底邊的等腰△ABC，點D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長GE至點F，使得BE＝BF.
(1)求證：四邊形BDEF為平行四邊形；
(2)當∠C＝45°，BD＝2時，求D，F兩點間的距離．
【解析】(1)證明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，
∴∠DEG＝∠C＝∠AEG.
∵BE＝BF
5、，
∴∠F＝∠BEF＝∠AEG，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE.
又∵EG∥BC，即FE∥BD，
∴四邊形BDEF為平行四邊形；
(2)解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE，△BEF均是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝.
過點F作FM⊥BD交DB的延長線于點M，連接DF，如解圖所示．
則△BFM是等腰直角三角形．
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3.
在Rt△DFM中，由勾股定理得DF＝＝.
即D，F兩點間的距離為.
考點3： 關于平行四邊形的綜合探究問題
【例題3】(2018四川省眉山市15分 ) 如圖①
6、，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點E，AB=AC=BD，點M為BC中點，N為線段AM上的點，且MB=MN.
（1）求證：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，連結DN，當四邊形DNBC為平行四邊形時，求線段BC的長；
（3）如圖②，若點F為AB的中點，連結FN、FM，求證：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）證明：∵AB=AC,
?∴∠ABC=∠ACB,
又∵M為BC中點，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，
∴∠ABC+∠MAB=90°,
∵AC⊥BD，
在Rt△CBE中，
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠MAB=∠EBC,
又∵
7、MB=MN，AM⊥BC，
∴△NBM為等腰直角三角形，
∴∠MBN=∠MNB=45°,
∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,
∴∠NBE=∠ABN,
∴BN平分∠ABE.
（2）解：∵四邊形DNBC為平行四邊形，
設BM=CM=MN=a，則DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2 ，
∴（2a+a）2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2
8、a= .
（3）解證明：∵MB=MN，M為BC中點，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中點，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN,
由（1）知∠MAB=∠EBC,
∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,
∴△MFN∽△BDC.
一、選擇題：
1. （2018·浙江寧波·4分）已知正多邊形的一個外角等于40°，那么這個正多邊形的邊數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：正多邊形的一個外角等于40°，且外角和為360°，
則這個正多邊形的邊數是：360°÷40°=9．
9、
故選：D．
2. 在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（ ?。?
A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
而∠B=60°，
∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．
所以D是錯誤的．
故選D．
3. （2018?寧波）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，連結OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，則∠1的度數為（ ?。?
A．50° B．40° C．30° D．20°
【
10、答案】B
【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，
∵對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，
∴EO是△DBC的中位線，
∴EO∥BC，
∴∠1=∠ACB=40°．故選：B．
4. （2018·浙江省臺州·4分）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以點C為圓心，適當長為半徑畫弧，交BC于點P，交CD于點Q，再分別以點P，Q為圓心，大于PQ的長為半徑畫弧，兩弧相交于點N，射線CN交BA的延長線于點E，則AE的長是（ ?。?
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵由題意可知CF是∠BCD的平
11、分線，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故選：B．
5. （2018?陜西?3分）點O是平行四邊形ABCD的對稱中心，AD＞AB，E.F分別是AB邊上的點，且EF＝AB；G、H分別是BC邊上的點，且GH＝BC；若S1,S2分別表示?EOF和?GOH的面積，則S1,S2之間的等量關系是（ ）.
A．2S1＝3S2. B．2S1＝S2. C． S1＝3S2. D．3S1＝2S2.
【答案】A
【詳解】
12、過點O分別作OM⊥BC，垂足為M，作ON⊥AB，垂足為N，
∵點O是平行四邊形ABCD的對稱中心，
∴S平行四邊形ABCD=AB?2ON， S平行四邊形ABCD=BC?2OM，
∴AB?ON=BC?OM，
∵S1=EF?ON，S2=GH?OM，EF＝AB，GH＝BC，
∴S1=AB?ON，S2=BC?OM，
∴2S1＝3S2，
故答案為：2S1＝3S2.故選A.
二、填空題：
6. （2018·湖南省衡陽·3分）如圖，?ABCD的對角線相交于點O，且AD≠CD，過點O作OM⊥AC，交AD于點M．如果△CDM的周長為8，那么?ABCD的周長是 ?。?
【答案】16
【
13、解答】解：∵ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=MC．
∴△CDM的周長=AD+CD=8，
∴平行四邊形ABCD的周長是2×8=16．
故答案為16．
7. （2018?十堰）如圖，已知?ABCD的對角線AC，BD交于點O，且AC=8，BD=10，AB=5，則△OCD的周長為 ?。?
【答案】14
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD的周長=5+4+5=14，
故答案為14．
8. （2018?株洲市?3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BD＝CD，過點A
14、作AM⊥BD于點M，過點D作DN⊥AB于點N，且DN＝，在DB的延長線上取一點P，滿足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，則AP＝_____.
【答案】6
【解析】分析：根據BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根據AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依據∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，進而得到AP=AM=6．
詳解：∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等
15、腰直角三角形，
∴AP=AM=6，
故答案為：6．
9. （2018?無錫）如圖，已知∠XOY=60°，點A在邊OX上，OA=2．過點A作AC⊥OY于點C，以AC為一邊在∠XOY內作等邊三角形ABC，點P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內的一點，過點P作PD∥OY交OX于點D，作PE∥OX交OY于點E．設OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是 ．
【答案】2≤a+2b≤5．
【解答】解：過P作PH⊥OY交于點H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四邊形EODP是平行四邊形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，
Rt△HEP中，∠EPH=30°，
16、∴EH=EP=a，
∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，
當P在AC邊上時，H與C重合，此時OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；
當P在點B時，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，
∴2≤a+2b≤5．
三、解答題：
10. 已知n邊形的內角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同學說，θ能取360°；而乙同學說，θ也能取630°.甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數n；若不對，說明理由；
(2)若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現內角和增加了360°，用列方程的方法確定x.
【解析】：(1)甲對，乙不對．理由：
∵θ＝360°
17、，∴(n－2)×180＝360.解得n＝4.
∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630.解得n＝.
∵n為整數，∴θ不能取630°.
∴甲對，乙不對．
(2)依題意，得
(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180.
解得x＝2.
11. (2017·河北模擬)看圖回答問題：
(1)內角和為2 018°，佳佳為什么說不可能？
(2)音音求的是幾邊形的內角和？
【解析】：(1)∵n邊形的內角和是(n－2)·180°，
∴內角和一定是180°的倍數．
∵2 018÷180＝11……38，
∴內角和為2 018°不可能．
(2)設漏加的內角為x°，依題意，得
18、
(n－2)·180＝2 018＋x，
∴x＝180n－2 378.
∵90＜x＜180，∴90＜180n－2 378＜180.
解得13＜n＜14，且n為整數．
∴多邊形的邊數是14.
故音音求的是十四邊形的內角和．
12. 如圖，在?ABCD中，E，F在對角線AC上．
(1)若BE，DF分別是△ABO，△CDO的中線，求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
(2)若BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？若BE，DF分別是△ABO，△CDO的高線時，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？
【點撥】(1)可從對角線互相平分上證明四邊形BEDF是
19、平行四邊形；(2)BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線和高線時，可得到△BOE≌△DOF，仍有OE＝OF，則有四邊形BEDF是平行四邊形．
【解答】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE，DF分別是△ABO，△CDO的中線，
∴OE＝OF.
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，AB∥CD.
∴∠ABO＝∠CDO.
∵BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線，
∴∠OBE＝∠ODF.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)．
∴OE＝OF.
∴
20、四邊形BEDF是平行四邊形．
同理可證得BE，DF分別是△ABO，△CDO的高線時，仍有四邊形BEDF是平行四邊形．
13. 正方形ABCD的邊長是5，點M是直線AD上一點，連接BM，將線段BM繞點M逆時針旋轉90°得到線段ME，在直線AB上取點F，使AF＝AM，且點F與點E在AD同側，連接EF，DF.
(1)如圖1，當點M在DA延長線上時，求證：△ADF≌△ABM；
(2)如圖2，當點M在線段AD上時，求證：四邊形DFEM是平行四邊形；
(3)在(2)的條件下，線段AM與線段AD有什么數量關系時，四邊形EFDM的面積最大？并求出這個面積的最大值．
圖1 圖2
21、【解析】：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB.
在△ADF和△ABM中，
∴△ADF≌△ABM(SAS)．
(2)證明：延長BM交DF于K.
∵△ADF≌△ABM，
∴DF＝BM，∠ABM＝∠ADF.
∵EM＝BM，∴EM＝DF.
∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMK，
∴∠ADF＋∠DMK＝90°.∴∠BKD＝90°.
∵∠EMB＝90°，∴∠EMB＝∠BKF＝90°.
∴EM∥DF.
∴四邊形EFDM是平行四邊形．
(3)設DM＝x，則AM＝AF＝5－x，
S?EFDM＝DM·AF＝x(5－x)＝－(
22、x－)2＋.
∵－1＜0，
∴x＝時，?EFDM的面積最大，最大面積為，
即當AM＝AD時，?EFDM的面積最大，最大面積為.
14. 正方形ABCD的邊長是5，點M是直線AD上一點，連接BM，將線段BM繞點M逆時針旋轉90°得到線段ME，在直線AB上取點F，使AF＝AM，且點F與點E在AD同側，連接EF，DF.
(1)如圖1，當點M在DA延長線上時，求證：△ADF≌△ABM；
(2)如圖2，當點M在線段AD上時，求證：四邊形DFEM是平行四邊形；
(3)在(2)的條件下，線段AM與線段AD有什么數量關系時，四邊形EFDM的面積最大？并求出這個面積的最大值．
圖1
23、 圖2
解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB.
在△ADF和△ABM中，
∴△ADF≌△ABM(SAS)．
(2)證明：延長BM交DF于K.
∵△ADF≌△ABM，
∴DF＝BM，∠ABM＝∠ADF.
∵EM＝BM，∴EM＝DF.
∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMK，
∴∠ADF＋∠DMK＝90°.∴∠BKD＝90°.
∵∠EMB＝90°，∴∠EMB＝∠BKF＝90°.
∴EM∥DF.
∴四邊形EFDM是平行四邊形．
(3)設DM＝x，則AM＝AF＝5－x，
S?EFDM＝DM·AF＝x(5－x)＝－(x－)2＋.
∵－1＜0，
∴x＝時，?EFDM的面積最大，最大面積為，
即當AM＝AD時，?EFDM的面積最大，最大面積為.
13
2020年中考數學考點總動員 第19講 平行四邊形（含多邊形）（含解析）
