2年中考1年模擬備戰(zhàn)2018年中考數(shù)學 第一篇 數(shù)與式 專題03 因式分解（含解析）

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1、 第一篇 數(shù)與式 專題03 因式分解 ?解讀考點 知　識　點 名師點晴 因式分解的概念 就是把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式． 因式分解與整式乘法是互逆運算． 因式分解是將一個多項式化成幾個整式積的形式的恒等變形，若結果不是積的形式，則不是因式分解，還要注意分解要徹底． 因式分解的方法 1．提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c） 確定好公因式是解題的關鍵 2．公式法： （1）平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； （2）完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2. 要熟記公式的特點，兩項式時考慮平方差公式，三項式進

2、考慮完全平方公式化． 3．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） 這個是課后的內容，不做硬性的要求，熟練運用在高中學習就會輕松許多．一定要熟記公式的特點． 因式分解的步驟 一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 要分解到不能在分解為止． ?2年中考 【2017年題組】 一、選擇題 1．（2017湖南省常德市）下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是（　?。? A．a（m+n）=am+an　　　　　　B． C．　　　D． 【答案】C． 【解析】 考點：因式分解的意義． 二、填空題 2．

3、（2017廣東?。┓纸庖蚴剑? ． 【答案】a（a+1）． 【解析】 試題分析：直接提取公因式分解因式得出即可． 試題解析：=a（a+1）．故答案為：a（a+1）． 考點：因式分解﹣提公因式法． 3．（2017吉林?。┓纸庖蚴剑? ． 【答案】． 【解析】 試題分析：=．故答案為：． 考點：1．因式分解﹣運用公式法；2．因式分解． 4．（2017四川省內江市）分解因式：= ． 【答案】 ． 【解析】 試題分析：==．故答案為：． 點睛：本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用

4、完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 5．（2017四川省內江市）若實數(shù)x滿足，則= ． 【答案】﹣2020． 【解析】 點睛：本題考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知條件的形式是解題的關鍵，整體代入思想的利用比較重要． 考點：1．因式分解的應用；2．降次法；3．整體思想． 6．（2017廣西百色市）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次項系數(shù)2=1×2； （2）常數(shù)項﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），驗算：“交叉相乘之和”； 　1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1

5、）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5 （3）發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次項系數(shù)﹣1． 即：，則． 像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式： ． 【答案】（x+3）（3x﹣4）． 【解析】 試題分析：根據(jù)“十字相乘法”分解因式得出=（x+3）（3x﹣4）即可． 試題解析：=（x+3）（3x﹣4）．故答案為：（x+3）（3x﹣4）． 考點：1．因式分解﹣十字相乘法等；2．閱讀型． 7．（2017貴州省黔東南州）在實數(shù)范圍內因式

6、分解：= ． 【答案】． 【解析】 考點：實數(shù)范圍內分解因式． 三、解答題 8．（2017棗莊）我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=． 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)． 求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1； （2）如果一個兩位正整數(shù)t

7、，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”； （3）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最大值． 【答案】（1）證明見解析；（2）15，26，37，48，59；（3）． 【解析】 試題分析：（1）對任意一個完全平方數(shù)m，設m=n2（n為正整數(shù)），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可； （2）設交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，由“吉祥數(shù)”的定義確定出x與y的關系式，進而求出所求即可； （3）利用“吉祥數(shù)”的定義分

8、別求出各自的值，進而確定出F（t）的最大值即可． 試題解析：（1）對任意一個完全平方數(shù)m，設m=n2（n為正整數(shù)），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）==1； （2）設交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，∵t是“吉祥數(shù)”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)，∴滿足“吉祥數(shù)”的有：15，26，37，48，59； （3）F（15）=，F(xiàn)（26）=，F(xiàn)（37）=，F(xiàn)（48）==，F(xiàn)（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值為．

9、 點睛：此題考查了因式分解的應用，弄清題中“吉祥數(shù)”的定義是解本題的關鍵． 考點：1．因式分解的應用；2．新定義；3．因式分解；4．閱讀型． 9．（2017重慶）對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”，將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）．例如n=123，對調百位與十位上的數(shù)字得到213，對調百位與個位上的數(shù)字得到321，對調十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）

10、計算：F（243），F(xiàn)（617）； （2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k=，當F（s）+F（t）=18時，求k的最大值． 【答案】（1）F（243）=9，F(xiàn)（617）=14；（2）． 【解析】 試題解析：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9； F（617）=（167+716+671）÷111=14． （2）∵s，t都是“相異數(shù)”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F(xiàn)（t）=（510+y+100y

11、+51+105+10y）÷111=y+6． ∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7． ∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數(shù)，∴或或或或或． ∵s是“相異數(shù)”，∴x≠2，x≠3． ∵t是“相異數(shù)”，∴y≠1，y≠5，∴或或，∴或或，∴k==或k==1或k==，∴k的最大值為． 點睛：本題考查了因式分解的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)F（n）的定義式，求出F（243）、F（617）的值；（2）根據(jù)s=100x+32、t=150+y結合F（s）+F（t）=18，找出關于x、y的二元一次方程． 考點：1．因式分解的應用；

12、2．二元一次方程的應用；3．新定義；4．閱讀型；5．最值問題；6．壓軸題． 【2016年題組】 一、選擇題 1．（2016吉林省長春市）把多項式分解因式，結果正確的是（　?。? A．　　　　B．　　　　C．（x+3）（x﹣3）　　　　D．（x+9）（x﹣9） 【答案】A． 【解析】 考點：因式分解-運用公式法． 2．（2016山東省濱州市）把多項式分解因式，得（x+1）（x﹣3）則a，b的值分別是（　?。? A．a=2，b=3　　　　　　B．a=﹣2，b=﹣3　　　　　　C．a=﹣2，b=3　　　　　　D．a=2，b=﹣3 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵（

13、x+1）（x﹣3）=，∴=，∴a=﹣2，b=﹣3．故選B． 考點：因式分解的應用． 3．（2016山東省濰坊市）將下列多項式因式分解，結果中不含有因式a+1的是（　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 考點：因式分解的意義． 4．（2016山東省聊城市）把進行因式分解，結果正確的是（　?。? A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】C． 【解析】 試題分析：==．故選C． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 5．（2016廣西賀州市）n是整數(shù)，式子計算的結果（　?。? A．是0　　　　B．總是奇數(shù)　　　　C．

14、總是偶數(shù)　　　　D．可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù) 【答案】C． 【解析】 試題分析：當n是偶數(shù)時，==0，當n是奇數(shù)時，==，設n=2k﹣1（k為整數(shù)），則==k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k為整數(shù)）都是偶數(shù)，故選C． 考點：1．因式分解的應用；2．探究型；3．分類討論． 6．（2016湖北省宜昌市）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，，分別對應下列六個字：昌、愛、我、宜、游、美，現(xiàn)將因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（　　） A．我愛美　　　　B．宜晶游　　　　C．愛我宜昌　　　　D．美我宜昌 【答案】C． 【解析】 試

15、題分析：∵==，∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四個代數(shù)式分別對應愛、我，宜，昌，∴結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛我宜昌”，故選C． 考點：因式分解的應用． 7．（2016福建省廈門市）設681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，則a，b，c的大小關系是（　?。? A．b＜c＜a　　　　　　B．a＜c＜b　　　　　　C．b＜a＜c　　　　　　D．c＜b＜a 【答案】A． 【解析】 考點：因式分解的應用． 二、填空題 8．（2016云南?。┮蚴椒纸猓? ． 【答案】（x+1）（x﹣1）．

16、 【解析】 試題分析：原式=（x+1）（x﹣1）．故答案為：（x+1）（x﹣1）． 考點：1．因式分解-運用公式法；2．因式分解． 9．（2016內蒙古巴彥淖爾市）分解因式：=_____________． 【答案】． 【解析】 試題分析：==．故答案為：． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 10．（2016北京市）下圖中的四邊形均為矩形，根據(jù)圖形，寫出一個正確的等式： ． 【答案】am+bm+cm=m（a+b+c）． 【解析】 試題分析：由題意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．故答案為：am+bm+cm=m（a+b+c）． 考點：因式分解-提

17、公因式法． 11．（2016四川省宜賓市）分解因式：= ． 【答案】． 【解析】 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 12．（2016四川省巴中市）把多項式分解因式的結果是 ． 【答案】m（4m+n）（4m﹣n）． 【解析】 試題分析：原式==m（4m+n）（4m﹣n）．故答案為：m（4m+n）（4m﹣n）． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 13．（2016山東省威海市）分解因式：= ． 【答案】3（a+b）（a﹣b）． 【解析】

18、試題分析：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案為：3（a+b）（a﹣b）． 考點：因式分解-運用公式法． 14．（2016山東省煙臺市）已知，則的值為 ． 【答案】﹣4． 【解析】 試題分析：∵，∴x﹣y+2=0，x+y﹣2=0，∴x﹣y=﹣2，x+y=2，∴=（x﹣y）（x+y）=﹣4．故答案為：﹣4． 考點：1．因式分解-運用公式法；2．非負數(shù)的性質：絕對值；3．非負數(shù)的性質：算術平方根；4．整體思想． 15．（2016廣東省深圳市）分解因式：= ． 【答案】． 【解析】 試題

19、分析：原式==．故答案為：． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 16．（2016廣西賀州市）將分解因式的結果是 ． 【答案】m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）． 【解析】 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 17．（2016江蘇省常州市）分解因式：= ． 【答案】． 【解析】 試題分析：==．故答案為：． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 18．（2016江蘇省南京市）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ． 【答案】

20、（b+c）（2a﹣3）． 【解析】 試題分析：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案為：（b+c）（2a﹣3）． 考點：因式分解-提公因式法． 19．（2016浙江省杭州市）若整式（k為不等于零的常數(shù)）能在有理數(shù)范圍內因式分解，則k的值可以是 （寫出一個即可）． 【答案】﹣1． 【解析】 考點：因式分解-運用公式法． 20．（2016湖南省株洲市）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x= ． 【答案】（x+4）（x﹣4）． 【解析】 試題分析：原式===（x+4）（x﹣4）．故答案為：（x+4）（x﹣4）． 考

21、點：因式分解-運用公式法． 21．（2016貴州省黔東南州）分解因式：= ． 【答案】x（x+4）（x﹣5）． 【解析】 試題分析：原式==x（x+4）（x﹣5）．故答案為：x（x+4）（x﹣5）． 考點：1．因式分解-十字相乘法等；2．因式分解-提公因式法． 22．（2016湖北省荊門市）分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ． 【答案】（m+3）（m﹣3）． 【解析】 試題分析：（m+1）（m﹣9）+8m===（m+3）（m﹣3）．故答案為：（m+3）（m﹣3）． 考點：因

22、式分解-運用公式法． 23．（2016貴州省畢節(jié)市）分解因式：= ． 【答案】． 【解析】 試題分析：原式===． 故答案為：． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 三、解答題 24．（2016黑龍江省大慶市）已知a+b=3，ab=2，求代數(shù)式的值． 【答案】18． 【解析】 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． ?考點歸納 歸納 1：因式分解的有關概念 基礎知識歸納： 因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算． 注意問題

23、歸納： 1. 符合因式分解的等式左邊是多項式，右邊是整式積的形式． 2．因式分解與整式乘法是互逆運算． 【例1】下列式子從左到右變形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】利用因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式，進而判斷得出即可． 【點評】此題主要考查了因式分解的意義，正確把握因式分解的意義是解題關鍵． 考點：因式分解的有關概念． 歸納 2：提取公因式法分解因式 基礎知識歸納： 將多項式各項中的公因式提出來這個方法是提公因式法，公因式

24、系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母取最低次冪． 提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c） 注意問題歸納： 1. 提公因式要注意系數(shù)； 2. 要注意查找相同字母，要提凈． 【例2】（2017貴州省安順市）已知，，則的值為 ． 【答案】 ． 【分析】根據(jù)，，可以求得的值． 【解析】∵，，∴=xy（x+y）= ==.故答案為：． 【點評】本題考查因式分解的應用，解答本題的關鍵是明確因式分解的方法，利用題目中的已知條件解答． 考點：因式分解的應用． 【例3】（2017遼寧省沈陽市）因式分解：= ． 【答案】a（3a+1）． 【分析】直接提公因

25、式a即可． 【點評】此題主要考查了提公因式法進行因式分解，關鍵是正確確定公因式． 考點：因式分解﹣提公因式法． 歸納 3：運用公式法分解因式 基礎知識歸納： 運用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； 運用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2． 注意問題歸納：首先要看是否有公因式，有公因式必須要先提公因式，然后才能運用公式，注意公式的特點，要選項擇合適的方法進行因式分解． 【例4】（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）分解因式：= ． 【答案】（3+b）（3﹣b）． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解析】原式=（3+b）（3﹣b），故答案為：

26、（3+b）（3﹣b）． 【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵． 考點：1．因式分解﹣運用公式法；2．因式分解． 【例5】（2017山東省濟南市）分解因式：= ． 【答案】． 【分析】直接用完全平方公式分解即可． 【解析】=．故答案為：． 【點評】本題主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2． 考點：因式分解﹣運用公式法． 歸納 4：綜合運用多種方法分解因式 基礎知識歸納： 因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解必須有平方項，如果

27、是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的2倍，如果沒有兩數(shù)乘積的2倍還不能分解．解答這類題時一些學生往往因分解因式的步驟、方法掌握不熟練，對一些乘法公式的特點記不準確而誤選其它選項． 注意問題歸納：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解徹底． 【例6】（2017遼寧省鞍山市）分解因式的結果是 ． 【答案】2y（x+2）（x﹣2）． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵． 考點：1．提公因式法與公式法的綜合運用；2．因式分解．

28、【例7】分解因式：． 【答案】． 【分析】此類型分組的關鍵：分組后，每組內可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提．解法一：第一、二項為一組；第三、四項為一組；解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組． 【解析】解法一：原式===； 解法二：原式===． 【點評】二二分組有三種可能分組方法：①②一組，③④為一組或①③一組，②④為一組或①④一組，②③為一組；可以多試一下． 考點：因式分解的意義． 【例8】分解因式：（1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能

29、另外分組； （2）前三項作為一組，最后一項作為一組，先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【點評】對于三一分組，一組的三項必須能夠應用完全平方公式，然后再用平方差公式． 考點：因式分解的意義． 【例9】分解因式：（1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5． 由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5． （2）將y看成常數(shù)，把原多項式看成關于x的二次三項式，利用十字相乘法進行分解； （3）把看作一個整體． 【解

30、析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 【點評】先按某個字母降冪排列后，再用口訣：首尾分解放兩邊，斜乘相加湊中間．有些時候需要多試幾次．對于齊次多項式的分解，可以將其中一個字母看成常數(shù)，把原多項式看成關于另一個字母的二次三項式，然后利用十字相乘法進行分解． 考點：因式分解的意義． ?1年模擬 一、選擇題 1．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（　　） A． 　　　　　　B． C． 　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 考點：因式分解的意義． 二、填空題 2．分解因式：= ． 【答案】x（x﹣1）． 【解析】 試題分析：首

31、先提取公因式x，進而分解因式得出答案． 試題解析：=x（x﹣1）．故答案為：x（x﹣1）． 考點：因式分解﹣提公因式法． 3．分解因式：= ． 【答案】（x+5）（x﹣5）． 【解析】 試題分析：直接利用平方差公式分解即可． 試題解析：=（x+5）（x﹣5）．故答案為：（x+5）（x﹣5）． 考點：因式分解﹣運用公式法． 4．分解因式：= ． 【答案】2x（x+2）（x﹣2）． 【解析】 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 5．因式分解：= ． 【答案】（x+1）（x﹣2）． 【解析】 試題分析：通過兩次提取公因式來進行因式分

32、解． 試題解析：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．故答案為：（x+1）（x﹣2）． 考點：因式分解﹣提公因式法． 三、解答題 6．已知非零實數(shù)a，b滿足a+b=3，，求代數(shù)式的值． 【答案】6． 【解析】 試題分析：將a+b=3代入求得ab的值，然后將其代入所求的代數(shù)式進行求值． 試題解析：∵，a+b=3，∴ab=2，∴=ab（a+b）=2×3=6． 考點：1．因式分解的應用；2．分式的加減法． 7．由多項式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式： 示例：分解因式： （1）嘗試：分解因式：______）； （2）應

33、用：請用上述方法解方程：． 【答案】（1）2，4；（2）x=﹣1或x=4． 【解析】 考點：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．因式分解﹣十字相乘法等． 8．發(fā)現(xiàn) 任意五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù)． 驗證 （1）的結果是5的幾倍？ （2）設五個連續(xù)整數(shù)的中間一個為，寫出它們的平方和，并說明是5的倍數(shù)． 延伸 任意三個連續(xù)整數(shù)的平方和被3整除余數(shù)是幾呢？請寫出理由． 【答案】（1）3；（2）見解析；延伸 2，理由見解析． 【解析】 試題分析：（1）直接計算這個算式的值；（2）先用代數(shù)式表示出這幾個連續(xù)整數(shù)的平方和，再化簡，根據(jù)代數(shù)式的形式作出結論． 試題解析： （1）∵=1+0+1+4+9=15=5×3，∴結果是5的3倍． （2）． ∵n為整數(shù)，∴這個和是5的倍數(shù)． 延伸 余數(shù)是2． 理由：設中間的整數(shù)為n，被3除余2． 考點：1．因式分解的應用；2．完全平方公式；3．整式的加減． 19