2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第17講 特殊三角形（含解析）

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1、第17講　特殊三角形 【考點(diǎn)梳理】 1．等腰三角形 (1)性質(zhì)： 等腰三角形的兩底角相等，兩腰相等； 等腰三角形的_高線(xiàn)_、中線(xiàn)、頂角平分線(xiàn)“三線(xiàn)合一”； 等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，高線(xiàn)(或底邊中線(xiàn)、頂角平分線(xiàn))所在直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸． (2)判定： 有兩角相等的三角形是等腰三角形； 有_兩邊相等的三角形是等腰三角形． 2．等邊三角形 (1)性質(zhì)：三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都等于60°； 等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有_3__條對(duì)稱(chēng)軸． (2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形． 3．直角三角形 (1)性質(zhì)：①兩銳角之和等于

2、_90°_；②斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；③30°的角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，則有a2＋b2＝c2. (2)判定：①有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足關(guān)系a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；④一條邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半的三角形是直角三角形． 4．等腰直角三角形 (1)性質(zhì)：兩直角邊相等_；兩銳角相等且都等于_45°_. (2)判定：有兩邊相等的直角三角形；有一個(gè)角為45°的直角三角形；頂角為90°的等腰三角形；有

3、兩個(gè)角是45°的三角形. 【高頻考點(diǎn)】 考點(diǎn)1： 等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算 【例題1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)(D不與A，B重合)． (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：AC＝BF； (2)連接CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于點(diǎn)E.若DE∥BC時(shí)，如圖2. ①∠CDB＝120°； ②求證：△ADE為等腰三角形； ③在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出∠AED的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解答】　解：(1)證明：∵CA＝CB，CD是△ABC的

4、中線(xiàn)，∴AD＝BD. ∵BF∥AC，∴∠A＝∠FBD. ∵∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD.∴AC＝BF. (2)②證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B. ∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B. ∴∠A＝∠EDA，∴△ADE為等腰三角形． ③△ECD可以是等腰三角形．理由如下： Ⅰ.當(dāng)∠CDE＝∠ECD時(shí)，EC＝DE，∴∠ECD＝∠CDE＝30°. ∵∠AED＝∠ECD＋∠CDE， ∴∠AED＝60°. Ⅱ.當(dāng)∠ECD＝∠CED時(shí)，CD＝DE，∵∠ECD＋∠CED＋∠CDE＝180°， ∴∠CED＝＝75°.∴∠AED＝180°－∠CED＝105°. Ⅲ.當(dāng)∠CED＝∠C

5、DE時(shí)，EC＝CD，∠ACD＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB＝120°， ∴此時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意． 綜上，△ECD可以是等腰三角形，此時(shí)∠AED的度數(shù)為60°或105°. 歸納：在以等腰三角形為背景求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題中，最常用的工具為“等腰三角形三線(xiàn)合一”，由此可以找到相應(yīng)的角度、線(xiàn)段長(zhǎng)度以及垂直關(guān)系，進(jìn)而可通過(guò)三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知圖形中有兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，常用中位線(xiàn)的性質(zhì)得到線(xiàn)段平行和數(shù)量關(guān)系． 考點(diǎn)2： 等邊三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算 【例題2】(2018·河北模擬)如圖1，在等邊△ABC和等邊△ADP中，AB＝2

6、，點(diǎn)P在△ABC的高CE上(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)，點(diǎn)D在點(diǎn)P的左側(cè)，連接BD，ED. (1)求證：BD＝CP； (2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，請(qǐng)你在圖2中作出圖形，并求出BF的長(zhǎng)； (3)直接寫(xiě)出線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最小值． 【解析】：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵△ADP是等邊三角形， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°. ∴∠DAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠CAP. ∴∠DAB＝∠CAP. ∴△DAB≌△PAC(SAS)． ∴BD＝CP. (2)如圖2，∵△ADP是等邊三角形， ∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，有AE＝DE

7、，∠AED＝60°. ∵CE⊥AB， ∴AE＝BE＝DE，∠BCE＝∠ACB＝30°. ∴∠EBD＝30°.∴∠DBC＝90°. 在Rt△BCF中，∵BC＝2，tan∠BCE＝， ∴BF＝2tan30°＝. (3)DE長(zhǎng)度的最小值是，理由：如圖3，由(1)知：△DAB≌△PAC，∴取AC的中點(diǎn)F，連接PF，則PF＝DE，∴PF長(zhǎng)度的最小值就是DE長(zhǎng)度的最小值，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，垂足G就是PF最小時(shí)點(diǎn)P的位置，此時(shí)PF＝，故DE長(zhǎng)度的最小值是. 歸納：對(duì)于等邊三角形的問(wèn)題主要考查三邊關(guān)系與三角的特殊之處，判定時(shí)注意兩個(gè)角為60°的三角形為等邊三角形，抓住特殊求三角形高等

8、線(xiàn)段長(zhǎng)度即可得到。 考點(diǎn)3： 直角三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算 【例題3】(2018·保定模擬)勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰一靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程： 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2＋b2＝c2. 證明：連接DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a. ∵S四邊形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab， 又∵S四邊形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)， ∴b2＋ab＝

9、c2＋a(b－a)． ∴a2＋b2＝c2. 請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明． 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2. 證明：連接BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF＝b－a. ∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab， 又∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)， ∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)． ∴a2＋b2＝c2. 歸納：解決與直角三角形有關(guān)的計(jì)算：(1)若直角三角形中含有30°角時(shí)，可考慮利用30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一

10、半；(2)若直角三角形出現(xiàn)中線(xiàn)時(shí)，可考慮利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半進(jìn)行求解；(3)計(jì)算有關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)問(wèn)題，如果所求線(xiàn)段是在直角三角形或可通過(guò)作輔助線(xiàn)作出含可求出兩邊的直角三角形中，一般應(yīng)用勾股定理求解，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和． 【自我檢測(cè)】 一、選擇題： 1. （2017湖北荊州）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線(xiàn)l交AC于點(diǎn)D，則∠CBD的度數(shù)為（　?。? A．30° B．45° C．50° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB的垂直平分線(xiàn)交AC于

11、D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故選B． 2. 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線(xiàn)l交AC于點(diǎn)D，則∠CBD的度數(shù)為（　　） A．30° B．45° C．50° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB的垂直平分線(xiàn)交AC于D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故選B． 3. （2017畢節(jié)）如圖，在

12、正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且∠EAF=45°，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，則下列判斷不正確的是（　?。? A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE' C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形 【答案】D 【解答】解：∵將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處， ∴AE′=AE，∠E′AE=90°， ∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正確； ∵將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處， ∴∠E′AD=∠BAE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°， ∵∠EAF=45°

13、， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠E′AD+∠FAD=45°， ∴∠E′AF=∠EAF， ∵AE′=AE， ∴AF垂直平分EE'，故B正確； ∵AF⊥E′E，∠ADF=90°， ∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF， ∴∠FE′E=∠DAF， ∴△E′EC∽△AFD，故C正確； ∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′， ∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D錯(cuò)誤； 故選D． 4. （2019?浙江衢州?3分）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的。借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成

14、，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)，若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（ ? ?） A.?60°???B.?65°????C.?75°????D.?80° 【答案】 D 【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， 設(shè)∠O=∠ODC=x， ∴∠DCE=∠DEC=2x， ∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x， ∵∠BDE=75°， ∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°， 即x+180°-4x+75°=180°， 解得：x=25°， ∠CDE=18

15、0°-4x=80°. 故答案為：D. 5. （2019?湖南邵陽(yáng)?3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜邊BC上的中線(xiàn)，將△ACD沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，線(xiàn)段DF與AB相交于點(diǎn)E，則∠BED等于（　?。? A．120° B．108° C．72° D．36° 【答案】B 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD是斜邊BC上的中線(xiàn)， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵將△ACD沿AD對(duì)

16、折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°． 故選：B． 二、填空題： 6. 如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則∠BAD=　30°?。? 【答案】30° 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC． 又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)， ∴∠BAD=∠BAC=30°． 故答案是：30°． 7. （2019?貴州畢節(jié)?5分）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC邊于點(diǎn)D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的大小為　34°　． 【答案】

17、34°． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104° ∵AB＝BD ∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34° 故答案為：34°． 8. 如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)E、F，當(dāng)△AEF周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AEF+∠AFE的度數(shù)是　 ?。? 【答案】80°． 【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F， 則A′A″即為△AEF的周長(zhǎng)最小值．作DA延長(zhǎng)線(xiàn)AH， ∵∠DAB=130°， ∴∠A′

18、+∠A″=50°， ∵∠A′=∠FAA′，∠EAD=∠A″， ∴∠FAA′+∠A″AE=50°， ∴∠EAF=130°﹣50°=80°， 故答案為：80°． 9. （2019?黑龍江哈爾濱?3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接BD.CE，CE與BD交于點(diǎn)F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，則BC的長(zhǎng)為　?。? 【答案】2 【解答】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O ∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°， ∴AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形 ∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8， BO

19、＝OD＝4 ∵CE∥AB ∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60° ∴∠DAO＝∠ACE＝30° ∴AE＝CE＝6 ∴DE＝AD﹣AE＝2 ∵∠CED＝∠ADB＝60° ∴△EDF是等邊三角形 ∴DE＝EF＝DF＝2 ∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2 ∴OC＝ ∴BC＝ 三、解答題： 10. （2019?湖北武漢?8分）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．四邊形ABCD的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，點(diǎn)E是邊DC與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)．請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)母顸c(diǎn)，用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫(huà)圖，保留連線(xiàn)的痕跡，不要求說(shuō)明理由． （1）如圖

20、1，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)線(xiàn)段AF，使AF∥DC，且AF＝DC． （2）如圖1，在邊AB上畫(huà)一點(diǎn)G，使∠AGD＝∠BGC． （3）如圖2，過(guò)點(diǎn)E畫(huà)線(xiàn)段EM，使EM∥AB，且EM＝AB． 【分析】（1）作平行四邊形AFCD即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)即可得到結(jié)論； （3）作平行四邊形AEMB即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖所示，線(xiàn)段AF即為所求； （2）如圖所示，點(diǎn)G即為所求； （3）如圖所示，線(xiàn)段EM即為所求． 11. (2018·嘉興)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF.求證：△

21、ABC是等邊三角形． 證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD＝DC. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)． ∴∠A＝∠C.∴BA＝BC. ∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC是等邊三角形． 12. （2018·湖北省孝感·7分）如圖，△ABC中，AB=AC，小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作： ①作∠BAC的平分線(xiàn)AM交BC于點(diǎn)D； ②作邊AB的垂直平分線(xiàn)EF，EF與AM相交于點(diǎn)P； ③連接PB，PC． 請(qǐng)你觀察圖形解答下列問(wèn)題： （1）線(xiàn)段PA，PB，PC之

22、間的數(shù)量關(guān)系是　PA=PB=PC??； （2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得：PA=PB=PC； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的內(nèi)角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分線(xiàn)定義得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖，PA=PB=PC，理由是： ∵AB=AC，AM平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分線(xiàn)， ∴PB=PC， ∵EP是AB的垂直平分線(xiàn)， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC； 故答案為：PA=PB=PC；

23、 （2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°， ∵PA=PB=PC， ∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°， ∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°． 13. 如圖，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BOC=130°． （1）求證：OB=DC； （2）求∠DCO的大?。? （3）設(shè)∠AOB=α，那么當(dāng)α為多少度時(shí)，△COD是等腰三角形． 【解答】（

24、1）證明： ∵∠BAC=∠OAD=90° ∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO ∴∠DAC=∠OAB 在△AOB與△ADC中 ∴△AOB≌△ADC， ∴OB=DC； （2）∵∠BOC=130°， ∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°， ∵△AOB≌△ADC ∠AOB=∠ADC， ∴∠ADC+∠AOC=230°， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠DAO=90°， ∴四邊形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°； （3）當(dāng)CD=CO時(shí)， ∴∠CDO=∠COD===70° ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠ODA=45°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115° 又∠AOB=∠ADC=α ∴α=115°； 當(dāng)OD=CO時(shí)， ∴∠DCO=∠CDO=40° ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85° ∴α=85°； 當(dāng)CD=OD時(shí)， ∴∠DCO=∠DOC=40° ∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC =180°﹣40°﹣40° =100° ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145° ∴α=145°； 綜上所述：當(dāng)α的度數(shù)為115°或85°或145°時(shí)，△AOD是等腰三角形． 15