九年級數(shù)學(xué)下冊 期末高效復(fù)習(xí) 專題1 二次函數(shù)（含解析） 浙教版

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1、 專題1　二次函數(shù) 題型一　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例 1　對于拋物線y＝－x2＋2x＋3，有下列四個(gè)結(jié)論：①它的對稱軸為x＝1； ②它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)； ③它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)和(3，0)； ④當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。? 其中正確的個(gè)數(shù)為(　C　) A．1 　B．2 C．3 D．4 【解析】 ①對稱軸為x＝－＝－＝1，∴①正確；②y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，∴②正確；③y＝－x2＋2x＋3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋2x＋3＝0，x1＝－1，x2＝3，∴y＝－x

2、2＋2x＋3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)和(3，0)，∴③正確；④∵a＝－1＜0，∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，∴④錯(cuò)誤．故正確的選項(xiàng)有①②③三個(gè)． 【點(diǎn)悟】　二次函數(shù)的性質(zhì)，常常從對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值(最小值)，增減性等角度分析． 變式跟進(jìn) 1．小張同學(xué)說出了二次函數(shù)的兩個(gè)條件： (1)當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大； (2)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，4)． 則符合條件的二次函數(shù)表達(dá)式可以是(　D　) A．y＝－(x－1)2－5 B．y＝2(x－1)2－14 C．y＝－(x＋1)2＋5 D．y＝－(x－2)2＋20 2．求下列函數(shù)的圖

3、象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)． (1)y＝4x2＋24x＋35； (2)y＝－3x2＋6x＋2； (3)y＝x2－x＋3； (4)y＝2x2＋12x＋18. 解：(1)∵y＝4x2＋24x＋35， ∴對稱軸是直線x＝－3，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－3，－1)， 解方程4x2＋24x＋35＝0，得x1＝－，x2＝－， 故它與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是，； (2)∵y＝－3x2＋6x＋2， ∴對稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，5)， 解方程－3x2＋6x＋2＝0， 得x1＝1＋，x2＝1－， 故它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，； (3)∵y＝x2－x＋3， ∴對稱軸是直線x＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，

4、 解方程x2－x＋3＝0，無解，故它與x軸沒有交點(diǎn)； (4)∵y＝2x2＋12x＋18， ∴對稱軸是直線x＝－3，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－3，0)， 當(dāng)y＝0時(shí)，2x2＋12x＋18＝0，∴x1＝x2＝－3， ∴它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－3，0)． 題型二　二次函數(shù)的平移 例 2　將拋物線y＝－2x2＋1向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度所得的拋物線表達(dá)式為(　C　) A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x＋1)2＋2 C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2＋1 【點(diǎn)悟】　二次函數(shù)圖象的平移實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)位置的變化，只要確定平移前、后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，就

5、可以確定拋物線的平移規(guī)律． 變式跟進(jìn) 3．將拋物線y＝2x2＋4x－5的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得拋物線表達(dá)式是(　C　) A．y＝2(x＋1)2－7 B．y＝2(x＋1)2－6 C．y＝2(x＋3)2－6 D．y＝2(x－1)2－6 題型三　二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關(guān)系 例 3　[2016·寧夏]若二次函數(shù)y＝x2－2x＋m的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是__m＜1__． 【解析】 ∵二次函數(shù)y＝x2－2x＋m的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＞0，∴4－4m＞0，∴m＜1. 【點(diǎn)悟】　拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

6、x1，x2，就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根，判斷拋物線與x軸是否有交點(diǎn)，只要判斷b2－4ac與0的大小即可． 變式跟進(jìn) 4．已知二次函數(shù)y＝x2－2x＋m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(－1，0)，則關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是(　D　) A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝3 【解析】 二次函數(shù)y＝x2－2x＋m(m為常數(shù))的對稱軸是x＝1，(－1，0)關(guān)于x＝1的對稱點(diǎn)是(3，0)．則一元二次方程x2－2x＋m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1＝－1，x2＝3. 5．[2017·高

7、郵二模]如圖1，二次函數(shù)y1＝ax2＋bx＋c與一次函數(shù)y2＝kx的圖象交于點(diǎn)A和原點(diǎn)O，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－4，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，則滿足0＜y1＜y2的x的取值范圍是__－4＜x＜－3__． 圖1 　　第5題答圖 【解析】 如答圖所示，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－4，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴拋物線的對稱軸為x＝－，∵二次函數(shù)y1＝ax2＋bx＋c與一次函數(shù)y2＝kx的圖象交于點(diǎn)A和原點(diǎn)O，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)，則滿足0＜y1＜y2的x的取值范圍是－4＜x＜－3. 題型四　二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的

8、關(guān)系 例 4　如圖2，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，與y軸的交點(diǎn)B在(0，－2)和(0，－1)之間(不包括這兩點(diǎn))，對稱軸為直線x＝1.下列結(jié)論： ①abc＞0；　②4a＋2b＋c＞0； ③4ac－b2＜8a；?、埽糰＜；?、輇＞c. 其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是(　D　) 圖2 A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【解析】 ①∵函數(shù)開口方向向上，∴a＞0，∵對稱軸在原點(diǎn)右側(cè)，∴ab異號，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確； ②∵圖象與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，對稱軸為直線x＝1

9、，∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3，0)， ∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0，故②錯(cuò)誤； ③∵圖象與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝(－1)2a＋b×(－1)＋c＝0，∴a－b＋c＝0，即a＝b－c，c＝b－a，∵對稱軸為直線x＝1，∴－＝1，即b＝－2a，∴c＝b－a＝(－2a)－a＝－3a，∴4ac－b2＝4a(－3a)－(－2a)2＝－16a2＜0.∵8a＞0，∴4ac－b2＜8a，故③正確； ④∵圖象與y軸的交點(diǎn)B在(0，－2)和(0，－1)之間，∴－2＜c＜－1，∴－2＜－3a＜－1，∴＞a＞，故④正確； ⑤∵a＞0，∴b－c＞0，即b＞c，故⑤正確．

10、 【點(diǎn)悟】　二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當(dāng)a與b同號時(shí)(即ab＞0)，對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時(shí)(即ab＜0)，對稱軸在y軸右側(cè)(簡稱：左同右異)．③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于(0，c)． 變式跟進(jìn) 6．[2016·孝感]如圖3是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，n)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3，0)和(4，0)之間．則下列結(jié)論

11、： ①a－b＋c>0；?、?a＋b＝0；?、踒2＝4a(c－n)； ④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　C　) 圖3 A．1 　B．2 C．3 D．4 【解析】 ∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3，0)和(4，0)之間，而拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(－2，0)和(－1，0)之間．∴當(dāng)x＝－1時(shí)，y＞0，即a－b＋c＞0，∴①正確； ∵拋物線的對稱軸為直線x＝－＝1，即b＝－2a，∴3a＋b＝3a－2a＝a，∴②錯(cuò)誤； ∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，n)，∴＝n，∴b2＝4ac－4an＝4a(c

12、－n)，∴③正確； ∵拋物線與直線y＝n有一個(gè)公共點(diǎn)，∴拋物線與直線y＝n－1有2個(gè)公共點(diǎn)，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴④正確． 題型五 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 例 5　[2016·濰坊]旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x(元)是5的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)每天的運(yùn)營規(guī)律如下：當(dāng)x不超過100元時(shí)，觀光車能全部租出；當(dāng)x超過100元時(shí)，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會(huì)減少1輛，已知所有觀光車每天的管理費(fèi)是1 100元． (1)優(yōu)惠活動(dòng)期間，為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正，則每輛車的

13、日租金至少應(yīng)為多少元？(注：凈收入＝租車收入－管理費(fèi)) (2)當(dāng)每輛車的日租金為多少時(shí)，每天的凈收入最多？ 解：(1)由題意知，若觀光車能全部租出，則0≤x≤100，由50x－1 100＞0，解得x＞22， ∵x是5的倍數(shù)，∴每輛車的日租金至少為25元； (2)設(shè)每天的凈收入為y元，當(dāng)0≤x≤100時(shí)，y1＝50x－1 100，∵y1隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝100時(shí)，y1的最大值為50×100－1 100＝3 900. 當(dāng)x＞100時(shí)，y2＝x－1 100＝－x2＋70x－1 100＝－(x－175)2＋5 025. 當(dāng)x＝175時(shí)，y2的最大值是5 025，∵5 025＞3 9

14、00， ∴當(dāng)每輛車的日租金為175元時(shí)，每天的凈收入最多，最多收入是5 025元． 【點(diǎn)悟】　應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題，實(shí)際上就是求函數(shù)的最大值(或最小值)．解題時(shí)，要先根據(jù)題目提供的條件確定函數(shù)關(guān)系式，并將它配成頂點(diǎn)式，y＝a(x－h(huán))2＋k，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最大值或最小值． 變式跟進(jìn) 7．[2016·杭州]把一個(gè)足球垂直水平地面向上踢，時(shí)間t(s)與該足球距離地面的高度h(m)適用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)． (1)當(dāng)t＝3時(shí)，求足球距離地面的高度； (2)當(dāng)足球距離地面的高度為10 m時(shí)，求t的值； (3)若存在實(shí)數(shù)t1，t2(t1≠t2)，

15、當(dāng)t＝t1或t2時(shí)，足球距離地面的高度都為m(m)，求m的取值范圍． 解：(1)當(dāng)t＝3時(shí)，h＝20t－5t2＝15(m)， ∴此時(shí)足球離地面的高度為15 m； (2)∵h(yuǎn)＝10，∴20t－5t2＝10， 即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋或t＝2－， ∴經(jīng)過2＋或2－ s時(shí)，足球距離地面的高度為10 m； (3)∵m≥0，由題意得t1和t2是方程20t－5t2＝m的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴b2－4ac＝202－20m＞0，解得m＜20， ∴m的取值范圍是0≤m＜20. 題型六 二次函數(shù)的綜合題 例 6　[2017·浙江月考]如圖4，拋物線C1：y＝－x2＋2x的頂點(diǎn)為A，

16、與x軸的正半軸交于點(diǎn)B. (1)將拋物線C1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的表達(dá)式； (2)將拋物線C1上的點(diǎn)(x，y)變?yōu)?kx，ky)(|k|＞1)，變換后得到的拋物線記作C2，拋物線C2的頂點(diǎn)為C，求拋物線C2的表達(dá)式(用k表示)； (3)在(2)條件下，點(diǎn)P在拋物線C2上，滿足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.當(dāng)k＞1時(shí)，求k的值． 圖4 　　例6答圖 解：(1)∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋， ∴拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)A(1，)和點(diǎn)B(2，0)三點(diǎn)， ∵將拋物線C1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都

17、擴(kuò)大到原來的2倍， ∴變換后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，(2，2)和(4，0)三點(diǎn)． 設(shè)變換后拋物線的表達(dá)式為y＝ax2＋bx，將(2，2)和(4，0)代入， 得解得 ∴變換后拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x； (2)∵拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)A(1，)和點(diǎn)B(2，0)三點(diǎn)， 將拋物線C1上的點(diǎn)(x，y)變?yōu)?kx，ky)(|k|＞1)，變換后得到的拋物線記作C2，則拋物線C2過原點(diǎn)O，(k，k)，(2k，0)三點(diǎn)， ∴拋物線C2的表達(dá)式為y＝－x2＋2x； (3)∵y＝－x2＋2x＝－(x－k)2＋k， ∴O，A，C三點(diǎn)共線，且頂點(diǎn)C為(k，k)． 如答圖，∵S△PAC＝S△AB

18、C，k＞1，∴BP∥AC， 過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，過點(diǎn)B作BE⊥AO于E. 由題意知△ABO是邊長為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形， ∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1，∵∠PBD＝60°， ∴BD＝k－，PD＝(2k－1)， ∴P， ∴(2k－1)＝－＋2，解得k＝. 變式跟進(jìn) 8．[2017·諸城校級月考]如圖5，在矩形OABC 中，OA＝5，AB＝4，點(diǎn)D 為邊AB 上一點(diǎn)，將△BCD 沿直線CD 折疊，使點(diǎn)B 恰好落在OA邊上的點(diǎn)E 處，分別以O(shè)C，OA 所在的直線為x 軸，y 軸建立平面直角坐標(biāo)系． 圖5 (1)求OE 的長； (2)求經(jīng)過O，D，C 三

19、點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式； (3)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C 出發(fā)，沿CB以每秒2 個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E 點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，當(dāng)t為何值時(shí)，DP＝DQ. 解：(1)∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4， ∴在Rt△COE中， OE＝＝＝3； (2)設(shè)AD＝m，則DE＝BD＝4－m， ∵OE＝3，∴AE＝5－3＝2， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＋AE2＝DE2，即m2＋22＝(4－m)2，解得m＝， ∴D，∵C(－4，0)，O(0，0)， ∴設(shè)過O，D，C三點(diǎn)的拋物線為y＝ax(x

20、＋4)， ∴－5＝－a，解得a＝， ∴拋物線表達(dá)式為y＝x(x＋4)＝x2＋x； (3)∵CP＝2t，∴BP＝5－2t， 由折疊的性質(zhì)，得BD＝DE＝， 在Rt△DBP和Rt△DEQ中， ∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL)，∴BP＝EQ， ∴5－2t＝t，∴t＝.過關(guān)訓(xùn)練 1．已知，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖1所示，則以下說法不正確的是(　C　) 圖1 A．根據(jù)圖象可得該函數(shù)y有最小值 B．當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)y的值小于0 C．根據(jù)圖象可得a＞0，b＜0 D．當(dāng)x＜－1時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而減小 【解析】 由圖象可知：A.拋物線開口

21、向上，該函數(shù)y有最小值，此選項(xiàng)正確；B.當(dāng)x＝－2時(shí)，圖象在x軸的下方，函數(shù)值小于0，此選項(xiàng)正確；C.對稱軸為x＝－1，a＞0，則b＞0，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨x的增大而減小，此選項(xiàng)正確． 2．拋物線y＝(x＋2)2－1可以由拋物線y＝x2平移得到，下列平移方法中正確的是(　B　) A．先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位 B．先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位 C．先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位 D．先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位 【解析】 ∵函數(shù)y＝x2的圖象沿x軸向左平移2個(gè)單位長度，得y＝(x＋2)2；然后y軸向下平移1個(gè)單位長度，得y＝(

22、x＋2)2－1，故選B. 3．一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(　C　) 　　　 A　　　　B　　 　　C　　　　D　　 4．如圖2，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，其對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中正確的是(　D　) 圖2 A．a(chǎn)bc＞0 B．2a－b＝0 C．4a＋2b＋c＜0 D．9a＋3b＋c＝0 【解析】 ∵拋物線的開口向下，則a＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＞0，圖象與y軸交于正半軸上，∴c＞0，∴abc＜0；∵對稱軸為x

23、＝1，∴－＝1，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，4a＋2b＋c＞0；當(dāng)x＝3時(shí)，9a＋3b＋c＝0. 5．已知二次函數(shù)y＝3x2＋36x＋81. (1)寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)； (2)當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大； (3)求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； (4)當(dāng)x取何值時(shí)，y有最小值，并求出最小值； (5)當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0. 解：(1)∵y＝3x2＋36x＋81＝3(x＋6)2－27， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－6，－27)； (2)∵拋物線的對稱軸為x＝－6，且拋物線的開口向上， ∴當(dāng)x＞－6時(shí)，y隨x的增大而增大； (3)當(dāng)3x2＋36x＋81＝0時(shí)，得x1＝－3，

24、x2＝－9， ∴該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為(－9，0)，(－3，0)； (4)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－6，－27)， ∴當(dāng)x＝－6時(shí)，y有最小值，最小值為－27； (5)∵該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為(－9，0)，(－3，0)，且拋物線的開口向上， ∴當(dāng)－9＜x＜－3時(shí)，y＜0. 6．已知二次函數(shù)的圖象以A(－1，4)為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B(2，－5)． (1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式； (2)求該二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)． 解：(1)由頂點(diǎn)A(－1，4)，可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)． ∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B(2，－5)， ∴－5＝a(2＋1)2＋4，解得a

25、＝－1. ∴二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝－(x＋1)2＋4； (2)令x＝0，則y＝－(0＋1)2＋4＝3， ∴圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)． 7．如圖3，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)． 圖3 (1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)； (2)當(dāng)0＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍； (3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PAB＝10，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：(1)把A(－1，0)，B(3，0)分別代入y＝x2＋bx＋c中， 得解得 ∴拋物線表達(dá)式為y＝x2－2x－3. ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－4)； (2)

26、由圖可得當(dāng)0＜x＜3時(shí)，－4≤y＜0； (3)∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4. 設(shè)P(x，y)，則S△PAB＝AB·|y|＝2|y|＝10， ∴|y|＝5，∴y＝±5. ①當(dāng)y＝5時(shí)，x2－2x－3＝5，解得x1＝－2，x2＝4， 此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，5)或(4，5)； ②當(dāng)y＝－5時(shí)，x2－2x－3＝－5，方程無解． 綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，5)或(4，5)． 8．如圖4，在一面靠墻的空地上用長為24 m的籬笆圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃．設(shè)花圃的寬AB為x m，面積為S m2. (1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (2)已知墻的最大可用

27、長度為8 m， ①求所圍成花圃的最大面積； ②若所圍花圃的面積不小于20 m2，請直接寫出x的取值范圍． 圖4 解：(1)S＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)； (2)①S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36， 由24－4x≤8，24－4x＞0，解得4≤x＜6， 當(dāng)x＝4時(shí)，花圃有最大面積為32； ②令－4x2＋24x＝20時(shí)，解得x1＝1，x2＝5， ∵墻的最大可用長度為8，即24－4x≤8， ∴x≥4，∴4≤x≤5. 9．[2017·三原校級月考]東方小商品市場一經(jīng)營者將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種小商品原來按每件100元出售，一天可售出100件．

28、后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種小商品單價(jià)每降低1元，其銷量可增加10件． (1)該經(jīng)營者經(jīng)營這種商品原來一天可獲利潤__2__000__元； (2)若設(shè)后來該小商品每件降價(jià)x元，該經(jīng)營者一天可獲利潤y元． ①若該經(jīng)營者經(jīng)營該商品一天要獲利潤2 090元，求每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？ ②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，該經(jīng)營者所獲利潤最大，且最大利潤為多少元？ 解：(1)若商店經(jīng)營該商品不降價(jià)，則一天可獲利潤：100×(100－80)＝2 000(元)； (2)①設(shè)該商品每件降價(jià)x元，依題意，得 (100－80－x)(100＋10x)＝2 090， 即x2－10x＋9＝0

29、，解得x1＝1，x2＝9. 答：每件商品應(yīng)降價(jià)1元或9元； ②根據(jù)題意得y＝(100－80－x)(100＋10x) ＝－10x2＋100x＋2 000， 當(dāng)x＝－＝5時(shí)，y最大＝2 250元， 答：該經(jīng)營者所獲最大利潤為2 250元． 10．[2016·泰安]如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9)，與y軸交于點(diǎn)A(0，5)，與x軸交于點(diǎn)E，B. 圖6 (1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式； (2)過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)(點(diǎn)P在AC上方)，作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D，問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四

30、邊形APCD的面積最大？并求出最大面積． 解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－2)2＋9， 把A(0，5)代入得4a＋9＝5，解得a＝－1， ∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5； (2)當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋4x＋5＝0， 解得x1＝－1，x2＝5，∴E(－1，0)，B(5，0)， 設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝mx＋n， 把A(0，5)，B(5，0)代入，得m＝－1，n＝5， ∴y＝－x＋5， 設(shè)P(x，－x2＋4x＋5)，則D(x，－x＋5)，PD＝－x2＋4x＋5＋x－5＝－x2＋5x，∵AC＝4， ∴四邊形APCD的面積＝AC·PD＝×4×(－x2＋5x)＝－2

31、x2＋10x， 當(dāng)x＝－＝時(shí)，四邊形APCD的面積最大，最大面積為. 11．[2017·雙臺子區(qū)校級一模]如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于c(0，－3)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式； 圖7 (2)連結(jié)PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使得四邊形POP′C為菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由； (3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)P的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積． 解：(1)把B(3，0

32、)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－2x－3； (2)存在．理由如下： 如答圖①，作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，垂足為點(diǎn)E.則PO＝PC， ∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C， ∴OP′＝OP，CP′＝CP，∴OP′＝OP＝CP′＝CP， ∴四邊形POP′C為菱形，∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3)， ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為－， 把y＝－代入y＝x2－2x－3，得 x2－2x－3＝－，解得x＝， ∵點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上， ∴x＝， ∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為； 第11題答圖① 　　第11題答圖② (3)如答圖②，作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，BC的表達(dá)式為y＝x－3，設(shè)E(m，m－3)，P(m，m2－2m－3)． 則PE＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m＝－＋， S△BCP＝S△BEP＋S△CEP ＝PE·FB＋EP·OF＝EP·OB ＝×3 ＝－＋， ∵－＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，S最大＝， 此時(shí)P； ∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)， 又∵S四邊形ACPB＝S△ABC＋S△PBC，S△ABC＝×4×3＝6＝定值， ∴當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，四邊形ACPB的面積最大，最大面積為6＋＝. 15