九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 期末高效復(fù)習(xí) 專題5 解直角三角形（含解析） 浙教版

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1、 專題5　解直角三角形 題型一　銳角三角函數(shù)的概念 例 1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，則cos∠A的值為(　A　) A. 　B. C. D. 【解析】 如答圖，設(shè)BC＝5k，AB＝13k， 例1答圖 由勾股定理，得AC＝＝＝12k，∴cos∠A＝＝＝. 變式跟進(jìn) 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是(　D　) A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝ 2．[2017·益陽(yáng)]如圖1，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB＝α，則拉線BC的長(zhǎng)度為(A，D

2、，B在同一條直線上)(　B　) 圖1 A. B. C. D．h·cosα 【解析】 根據(jù)同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCD，由cos∠BCD＝，知BC＝＝.因此選B. 題型二　特殊角的三角函數(shù)值 例 2　計(jì)算下列各題： (1)tan45°－sin60°·cos30°； (2)sin230°＋sin45°·tan30°. 解：(1)原式＝1－×＝1－＝； (2)原式＝×＋×＝. 變式跟進(jìn) 3．2cos30°－tan45°－＝__0__． 4．計(jì)算：cos45°·tan45°＋·tan30°－2cos60°·sin45°. 解：原式＝×1＋×－2××＝＋

3、1－＝1. 題型三　解直角三角形 例 3　如圖2，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝1＋，則∠C的度數(shù)為__45°__． 圖2 　　例3答圖 【解析】 如答圖，作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∵cosB＝，∴BH＝2cos60°＝1，∴AH＝＝，∵BC＝1＋，∴CH＝BC－BH＝1＋－1＝，在Rt△ACH中，∵tanC＝＝＝1，∴∠C＝45°. 【點(diǎn)悟】　在一個(gè)三角形中，如果已知角度或者角的三角函數(shù)值求線段的長(zhǎng)度，通?？煽紤]解直角三角形知識(shí)求解．如果沒有直角三角形，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形． 變式跟進(jìn) 5．[2017·天河區(qū)校級(jí)一模]如

4、圖3，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，D是AC上一點(diǎn)，過D作DE⊥BC于點(diǎn)E，若tan∠DBA＝，則CE的長(zhǎng)為____． 圖3 【解析】 在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∠C＝∠ABC＝45°，∵tan∠DBA＝，∴AD＝，∴CD＝，∵DE⊥BC，∴CE＝CD＝. 題型四　利用直角三角形測(cè)量物體的高度 例 4　[2017·張家界]位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像是我國(guó)近百年來(lái)最大的銅像，銅像由像體AD和底座CD兩部分組成，如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3 m，求像體A

5、D的高度．(最后結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824) 圖4 解：在Rt△BCD中，∠DBC＝45°， ∴BC＝CD＝2.3，在Rt△ABC中， tan∠ABC＝，tan70.5°＝＝， ∴AD≈4.2(m)． 答：像體AD的高度約為4.2 m. 變式跟進(jìn) 6．[2017·東營(yíng)]一數(shù)學(xué)興趣小組來(lái)到某公園，準(zhǔn)備測(cè)量一座塔的高度．如圖5，在A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣粒贐處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，又測(cè)量出A，B兩點(diǎn)的距離為s m，則塔高為 ·s m. 圖5 【解析】 在Rt△CBD中，BD＝

6、，∴AD＝＋s，在Rt△CAD中，CD＝ADtanα＝·tanα，化簡(jiǎn)得CD＝·s. 7．[2017·鄂州]如圖6，小明想要測(cè)量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3 m到達(dá)A處，測(cè)得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺(tái)階到達(dá)C處，測(cè)得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測(cè)得食堂樓頂N的仰角為45°.已知A點(diǎn)離地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三點(diǎn)在同一直線上． (1)求樹DE的高度； (2)求食堂MN的高度． 圖6 　　第7題答圖 解：(1)由題意，得AF∥BC， ∴∠FAC＝∠BCA＝30°， ∴

7、∠EAC＝∠EAF＋∠CAF＝30°＋30°＝60°. ∵∠ACE＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－30°－60°＝90°， ∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠ACE＝180°－60°－90°＝30°. 在△ABC中，∵∠BCA＝30°，AB＝2， ∴AC＝2AB＝4. 在△ACE中，∵∠AEC＝30°，AC＝4， ∴EC＝AC＝4. 在△CDE中，∵sin∠ECD＝，∠ECD＝60°，EC＝4，∴sin60°＝， ∴ED＝4sin60°＝4×＝6(m)． 答：樹DE的高度為6 m； (2)如答圖，延長(zhǎng)NM交BC于點(diǎn)G，則GB＝MA＝3. 在△ABC中，∵AB＝2

8、，AC＝4， ∴BC＝＝＝2. 在△CDE中，∵CE＝4，DE＝6， ∴CD＝＝＝2. ∴GD＝GB＋BC＋CD＝3＋2＋2＝3＋4. 在△GDN中，∵∠NDG＝45°， ∴NG＝GD＝3＋4. ∴MN＝NG－MG＝NG－AB＝3＋4－2＝(1＋4)m. 答：食堂MN的高度為(1＋4)m. 題型五　利用直角三角形解決航海問題 例 5　[2017·天水]如圖7，一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向的A處，它向東航行20海里到達(dá)燈塔P南偏西45°方向上的B處，若輪船繼續(xù)沿正東方向航行，求輪船航行途中與燈塔P的最短距離．(結(jié)果保留根號(hào)) 圖7 　　例5答圖

9、 解： 如答圖，過P作PM⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，設(shè)PM＝x，則BM＝x，AB＝20. tan∠PAM＝＝＝，解得x＝10＋10， 根據(jù)題意可知，最短距離為PM＝(10＋10)海里． 變式跟進(jìn) 8．[2017·大慶]如圖8，已知一條東西走向的河流，在河流對(duì)岸有一點(diǎn)A，小明在岸邊點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東30°方向上，小明沿河岸向東走80 m后到達(dá)點(diǎn)C，測(cè)得點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏西60°方向上，則點(diǎn)A到河岸BC的距離為__20__m. 圖8 　　第8題答圖 【解析】 如答圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.根據(jù)題意，得∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝30

10、°，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴BD＝.同理，在Rt△ACD中，CD＝，∵BD＋CD＝BC＝80，∴＋＝80，解得AD＝20，即點(diǎn)A到河岸BC的距離為20 m. 9．[2017·天津]如圖9，一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向，距離燈塔120海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．求BP和BA的長(zhǎng)．(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，≈1.414) 圖9 　 　第9題答圖 解：如答圖，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，由題意可知，∠A＝64°，∠B＝45°

11、，PA＝120. Rt△APM中，PM＝PA·sinA ＝PA·sin64°≈108， AM ＝PA·cosA ＝PA·cos64°≈52.8. 在Rt△BPM中，∵∠B＝45°， ∴BM＝PM≈108，PB＝PM≈153， ∴BA＝BM＋AM≈108＋52.8≈161. 答： BP長(zhǎng)約為153海里，BA長(zhǎng)約為161海里． 題型六　利用直角三角形解決坡度問題 例 6　[2016·杭州期中]如圖10，水庫(kù)大壩截面的迎水坡坡比(DE與AE的長(zhǎng)度之比)為1∶0.6，背水坡坡比為1∶2，大壩高DE＝30 m，壩頂寬CD＝10 m，求大壩的截面的周長(zhǎng)和面積． 圖10 解：∵迎水坡

12、坡比(DE與AE的長(zhǎng)度之比)為1∶0.6，DE＝30 m，∴AE＝18 m， 在Rt△ADE中，AD＝＝6 m， ∵背水坡坡比為1∶2，∴BF＝60 m， 在Rt△BCF中，BC＝＝30 m， ∴周長(zhǎng)＝DC＋AD＋AE＋EF＋BF＋BC＝6＋10＋30＋88＝(6＋30＋98)m， 面積＝(10＋18＋10＋60)×30÷2＝1 470(m2)． 故大壩的截面的周長(zhǎng)是(6＋30＋98)m，面積是1 470 m2. 【點(diǎn)悟】　坡度坡角問題關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問題，必要時(shí)應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形．在兩個(gè)直角三角形有公共直角邊時(shí)，先求出公共邊的長(zhǎng)是解答此類題的基本思路．

13、 變式跟進(jìn) 10．[2017·重慶]如圖11，已知點(diǎn)C與某建筑物底端B相距306 m(點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上)，某同學(xué)從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195 m至坡頂D處．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D處測(cè)得該建筑物頂端A的俯角為20°，則建筑物AB的高度約為(精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)(　A　) A．29.1 m B．31.9 m C．45.9 m D．95.9 m 圖11 　第10題答圖 【解析】 如答圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E

14、，解Rt△CDE得DE＝75 m，CE＝180 m，根據(jù)BC＝306 m可求得BE＝126 m，過A作AF⊥DE，∴AF＝BE＝126 m，∵∠DAF＝20°，而tan20°≈0.364，即＝，∴DF≈45.864 m，∴AB＝DE－DF≈29.1 m． 過關(guān)訓(xùn)練 1．[2017·洪澤]Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6 cm，那么BC等于(　A　) A．8 cm B. cm C. cm D. cm 【解析】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，AC＝6 cm，∴AB＝10 cm，BC＝＝8(cm)． 2．[2016·益陽(yáng)]小明利用測(cè)角儀和旗桿的拉

15、繩測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖1，旗桿PA的高度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等．小明將PB拉到PB′的位置，測(cè)得∠PB′C＝α(B′C為水平線)，測(cè)角儀的高度為1 m，則旗桿PA的高度為(　A　) 圖1 A. B. C. D. 【解析】 設(shè)PA＝PB＝PB′＝x，在Rt△PCB′中，sinα＝，∴＝sinα，∴x＝. 3．計(jì)算： (1)sin260°－tan30°·cos30°＋tan45°； (2)－cos60°. 解：(1)原式＝－×＋1 ＝－＋1＝； (2)原式＝－× ＝－＝－＝－. 4．[2017·安徽]如圖2，游客在點(diǎn)A處坐纜車出發(fā)，沿A－B－D的路線可至山頂D處，

16、假設(shè)AB和BD都是直線段，且AB ＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的長(zhǎng)．(參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41) 圖2 解：在Rt△ABC中，∵cosα＝， ∴BC＝AB·cosα≈156(m)． 在Rt△BDF中，∵sinβ＝， ∴DF＝BD·sinβ＝600×＝300≈423(m)． 又∵EF＝BC， ∴DE＝DF＋EF≈579(m)． 5．[2016·臨沂]一般地，當(dāng)α，β為任意角時(shí)，sin(α＋β)與sin(α—β)的值可以用下面的公式求得： sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； sin(α

17、－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ. 例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝ sin60°cos30°＋cos60°·sin30°＝×＋×＝1. 類似地，可以求得sin15°的值是____． 6．[2017·貴港]如圖3，點(diǎn)P在等邊三角形ABC的內(nèi)部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P′C，連結(jié)AP′，則sin∠PAP′的值為____． 圖3 　　　第6題答圖 【解析】 如答圖，連結(jié)PP′， ∵線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P′C， ∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°， ∴△CPP′為等邊三角形，

18、 ∴PP′＝PC＝6，∵△ABC為等邊三角形， ∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA， 在△PCB和△P′CA中， ∴△PCB≌△P′CA，∴PB＝P′A＝10， ∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2， ∴△APP′為直角三角形，∠APP′＝90°， ∴sin∠PAP′＝＝＝. 7．[2017·泰興校級(jí)二模]如圖4，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向，AB＝4 km.有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測(cè)得小船在北偏西60°的方向，從B測(cè)得小船在北偏東45°的方向． (1)求點(diǎn)P到海岸線l的距離(結(jié)果保留根號(hào))； (2)小船從點(diǎn)P

19、處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后到點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測(cè)得小船在北偏西15°的方向．求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離．(結(jié)果精確到0.1 km，≈1.41，≈1.73) 圖4 　第7題答圖 解：(1)如答圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D.設(shè)PD＝x km. 在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝x km. 在Rt△PAD中，∠ADP＝90°， ∠PAD＝90°－60°＝30°， ∴AD＝PD＝x km. ∵BD＋AD＝AB，∴x＋x＝4，x＝2－2， ∴點(diǎn)P到海岸線l的距離為(2－2)km； (2

20、)如答圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F. 根據(jù)題意得∠ABC＝105°， 在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°， ∴BF＝AB＝2 km. 在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°. 在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°， ∴BC＝BF＝2 km≈2.8 km. 答：點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離大約為2.8 km. 8．[2017·德州]如圖5所示，某公路檢測(cè)中心在一事故多發(fā)地段安裝了一個(gè)測(cè)速儀器， 圖5 檢測(cè)點(diǎn)設(shè)在距離公路10 m的A處，測(cè)得一輛汽車從B處行駛到C處所用時(shí)間為0.9 s．已知∠B＝30°，∠C＝45°. (1)求B，C

21、之間的距離(結(jié)果保留根號(hào))； (2)如果此地限速為80 km/h，那么這輛汽車是否超速？請(qǐng)說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4) 解：(1)如答圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD＝10 m. ∵在Rt△ACD中，∠C＝45°， ∴Rt△ACD是等腰直角三角形， 第8題答圖 ∴CD＝AD＝10 m. 在Rt△ABD中，tanB＝， ∵∠B＝30°，∴＝， ∴BD＝10 m， ∴BC＝BD＋DC＝ m. 答：B，C之間的距離是(10＋10)m； (2)這輛汽車超速．理由如下： 由(1)知BC＝ m，又∵≈1.7， ∴BC≈27 m，∴汽車速度v≈＝30(m/s)． 又∵30 m/s＝108 km/h，而此地限速為80 km/h， ∴這輛汽車超速． 12