合肥工業(yè)大學 計算機專業(yè) 計算方法實驗報告材料

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1、word 工業(yè)大學 計算機與信息學院 實驗報告 課 程：計算方法 專業(yè)班級： 學 號： 姓 名： 33 / 33 Java界面 其實都不難按照程序流程圖就可以完成了 實驗一插值與擬合 一、 實驗目的 (1) 明確插值多項式和分段插值多項式各自的優(yōu)缺點； (2) 編程實現(xiàn)三次樣條插值算法，分析實驗結(jié)果體會高次插值產(chǎn)生的龍格現(xiàn)象； (3) 理解最小二乘擬合，并編程實現(xiàn)線性擬合，掌握非線性擬合轉(zhuǎn)化為線性擬合的方法 (4) 運用常用的插值和擬合方法

2、解決實際問題。 二、 實驗容 (1)對于f(x)=1/(1+x*x)實現(xiàn)三次樣條插值 (2)實現(xiàn)最小二乘法的直線擬合 數(shù)據(jù)如下： 165 123 150 123 141 187 126 172 125 148 三、 根本原理〔計算公式〕 (1)三次樣條插值在每個節(jié)點上具有2階導數(shù)。 (2) 最小二乘法擬合直線為y=a+bx，而a，b有如下等式〔N為給出的數(shù)據(jù)點的總個數(shù)〕 ； 四、算法設計與實現(xiàn)〔流程圖，關鍵點〕 最小二乘法直線擬合：輸入數(shù)據(jù)后，按照公式計算a，b。用得到的擬合直線計算預測點的近似函數(shù)值。 五、輸入與輸出

3、(1)三次樣條插值 輸入：區(qū)間長度，n+1個數(shù)據(jù)點，預測點 輸出：預測點的近似函數(shù)值，準確值，與誤差 (2)最小二乘法直線擬合 輸入：n個數(shù)據(jù)點，預測點 輸出：預測點的近似函數(shù)值 六、結(jié)果討論和分析 代碼 三次樣條插值 #include #include #define N 10 using namespace std; double u0(double x){ return (x-1)*(x-1)*(2*x+1); } double u1(double x){ return x*x*(3-2*x); }

4、 double v0(double x){ return x*(x-1)*(x-1); } double v1(double x){ return x*x*(x-1); } double s3(double x,double y,double y1,double m,double m1,double h){ return u0(x)*y+u1(x)*y1+h*v0(x)*m+h*v1(x)*m1; } double f(double x){ return 1/(1+x*x); } int main(){ ifstream fin;

5、 fin.open("E:\\t.txt"); if(!fin){ cout<<"error opening input stream"<

6、N;i++){ fin>>x[i]>>y[i]; } fin>>f0>>fn; h[0]=x[1]-x[0]; for(i=1;i

7、){ B[i]=2; C[i]=a[i]; } for(i=2;i0;i--){ m[i]=m[i]-C[i]*m[i+1]; }

8、cout<<"please:(輸入插值節(jié)點在"<>temp){ double tt=temp; if(tempx[N]){ cout<<"插值節(jié)點為"<

9、i],h[i-1]); cout<<"插值節(jié)點為"< #include #define n 5 using namespace std; double sum(double x[],int k){ int i; double sum=

10、0; for(i=0;i

11、uble sum=0; for(i=0;i

12、 } double x[n],y[n],a,b; double x0,y0; int i; for(i=0;i>x[i]>>y[i]; } b=(n*sumxy(x,y,n)-sum(x,n)*sum(y,n))/(n*sum2(x,n)-sum(x,n)*sum(x,n)); a=(sum(y,n)-b*sum(x,n))/n; cout<<"最小二乘法直線擬合得到a: "<

13、合直線為y="<>x0){ y0=a+b*x0; cout<<"當x="<

14、點加速； (3) 理解并掌握自適應算法和收斂加速算法的根本思想； (4) 分析實驗結(jié)果體會各種方法的準確度，建立計算機求解定積分問題的感性認識 二、 實驗容 (1) 用龍貝格算法計算 (2) 用中點加速方法計算的一階導數(shù) 三、 根本原理〔計算公式〕 (1)龍貝格算法 梯形遞推公式 加權平均公式： (2) 中點加速 中點公式: G(h)=(f(a+h)-f(a-h))/2/h 加權平均:G1(h)=4*G(h/2)/3-G(h)/3 G2(h)=16*G1(h/2)/15-G1(h)/15 G3(h)=64*G2(h/2)/63-G2(h)/63 四

15、、 算法設計與實現(xiàn)〔流程圖，關鍵點〕 中點加速梯形遞推算法流程圖 龍貝格算法流程圖 ：輸入數(shù)據(jù)后根據(jù)公式計算導數(shù)值 五、輸入與輸出 (1) 用龍貝格算法計算 輸入：積分區(qū)間，誤差限 輸出：序列Tn，Sn,,Rn與積分結(jié)果 (2) 用中點加速方法計算的一階導數(shù) 輸入：求導節(jié)點，步長 輸出：求得的導數(shù)值，準確值 六、結(jié)果討論和分析 代碼 龍貝格算法 #include #include #include using namespace std; double f(double x){

16、 if(x==0)return 1; return sin(x)/x; } int main(){ ifstream fin; fin.open("E:\\t.txt"); if(!fin){ cout<<"error opening input stream"<

17、,r2; double x,h,s; fin>>a>>b>>e; cout<<"積分區(qū)間為["<

18、o{ s=s+f(x); x=x+h; }while(x

19、c2<

20、"數(shù)值積分結(jié)果為"< #include #include using namespace std; double f(double x){ return exp(x); } double f1(doub

21、le x){ return exp(x); } double g(double x,double h){ return (f(x+h)-f(x-h))/2/h; } double g1(double x,double h){ return 4*g(x,h/2)/3-g(x,h)/3; } double g2(double x,double h){ return 16*g1(x,h/2)/15-g1(x,h)/15; } double g3(double x,d

22、ouble h){ return 64*g2(x,h/2)/63-g2(x,h)/63; } int main(){ ifstream fin; fin.open("E:\\t.txt"); if(!fin){ cout<<"error opening input stream"<>a>

23、>h) cout<<"當x="<

24、結(jié)果體會初值對迭代的影響 二、 實驗容 用牛頓下山法解方程〔初值為0.6〕 三、 根本原理〔計算公式〕 求非線性方程組的解是科學計算常遇到的問題，有很多實際背景．各種算法層出不窮，其中迭代是主流算法。只有建立有效的迭代格式，迭代數(shù)列才可以收斂于所求的根。因此設計算法之前，對于一般迭代進展收斂性的判斷是至關重要的。牛頓法也叫切線法，是迭代算法中典型方法，只要初值選取適當，在單根附近，牛頓法收斂速度很快，初值對于牛頓迭代 至關重要。當初值選取不當可以采用牛頓下山算法進展糾正。 一般迭代： 牛頓公式： 牛頓下山公式： 下山因子 下山條件 四、算法設計與實現(xiàn)〔流程圖，

25、關鍵點〕 牛頓下山算法流程圖 五、輸入與輸出 輸入：初值，誤差限，迭代最大次數(shù)，下山最大次數(shù) 輸出：近似根各步下山因子 六、結(jié)果討論和分析 代碼 牛頓下山法 #include #include #include using namespace std; double f(double x){//函數(shù) return x*x*x-x-1; } double f1(double x){//一階導數(shù) return 3*x*x-1; }

26、 int main(){ ifstream fin; fin.open("E:\\t.txt" ); if(!fin){ cout << "Error opening input stream" << endl; system("pause"); return 0; } double x0,x1,e,j,temp; int N,M,k,i; fin>>x0>>e>>M>>N; cout<<"迭代初值為"<

27、e<<",最大下山次數(shù)為"<=M)break;

28、 }while(fabs(f(x1))>=fabs(f(x0))); if(i>=M){ cout<<"重新選擇x0"<

29、 x0=x1; } if(k>=N)cout<<"迭代失敗"<

30、爾迭代法求 (2) 列主元高斯消去法求 (3) LU分解法求解方程組 三、 根本原理〔計算公式〕 線性方程組大致分迭代法和直接法。只有收斂條件滿足時，才可以進展迭代。雅可比與高斯-塞德爾是最根本的兩類迭代方法，最大區(qū)別是迭代過程中是否引用新值進展剩下的計算。消元是最簡單的直接法，并且也十分有效的，列主元高斯消去法對求解一般的線性方程組都適用，同時可以用來求矩陣對應的行列式。約當消去實質(zhì)是經(jīng)過初等行變換將系數(shù)矩陣化為單位陣，主要用來求矩陣的逆。在使用直接法，要注意從空間、時間兩方面對算法進展優(yōu)化。 高斯-塞德爾迭代： 列主元高斯消去法：列主元 消元 回代

31、 四、算法設計與實現(xiàn)〔流程圖，關鍵點〕 列主元的高斯消去流程圖 G-S迭代算法流程圖 LU分解法：依次求得L、U、y和x 五、輸入與輸出 (1) 用高斯-塞德爾迭代法 輸入：系數(shù)矩陣A，最大迭代次數(shù)N，初始向量，誤差限e 輸出：解向量 (2) 列主元高斯消去法 輸入：系數(shù)矩陣A 輸出：解向量 (3) LU分解法 輸入：系數(shù)矩陣A 輸出：解向量 六、結(jié)果討論和分析 代碼 高斯塞德爾迭代 #include #include #

32、include #define n 3 using namespace std; void show(double a[n+1][n+1],double b[n+1]){ int i,j; cout<<"原方程為："<

33、<"*x"<< j<<"="<

34、,N; fin>>e>>N; for(i=1;i<=n;i++){ fin>>x[i]; y[i]=x[i]; } cout<<"初始向量為:"; for(i=1;i>a[i

35、][j]; fin>>b[i]; } show(a,b); k=0; while(true){ for(i=1;i<=n;i++){ temp=0; for(j=1;j<=n;j++) if(j!=i)temp=temp+a[i][j]*y[j]; y[i]=(b[i]-temp)/a[i][i]; } max=fabs(y[1]-x[1]); for(i=2;i<=n;i+

36、+) if(max

37、 k++; for(i=1;i<=n;i++)x[i]=y[i]; } } fin.close(); system("pause"); return 0; } 高斯消去 #include #include #include #define n 3 using namespace std; void show(double a[n+1][n+1],double b[n+1]){ int i,j; cout<<"原方程為："<

38、dl; for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = 1; j < n; j++) if (a[i][j + 1] < 0) cout<

39、"error opening input stream"<>a[i][j]; fin>>b[i]; }

40、show(a,b); k=1; do{ d=a[k][k]; l=k; i=k+1; do{ if(i>n)break; if(fabs(a[i][k])>fabs(d)){ d=a[i][k];

41、 l=i; } if(i==n)break; i++; }while(true); if(d==0){ cout<<"奇異"<

42、 system("pause"); fin.close(); return 0; } if(l!=k){ for(j=k;j<=n;j++){ t=a[l

43、][j]; a[l][j]=a[k][j]; a[k][j]=t; } t=b[k]; b[k]=b[l];

44、 b[l]=t; } for(j=k+1;j<=n;j++){ a[k][j]=a[k][j]/a[k][k]; } b[k]=b[k]/a[k][k]; for(i=k+1;i<=n;i++){

45、 for(j=k+1;j<=n;j++){ a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]*a[k][j]; } } for(i=k+1;i<=n;i++)b[i]=b[i]-a[i

46、][k]*b[k]; if(k==n)break; k++; }while(true); for(i=n-1;i>=1;i--){ t=0; for(j=i+1;j<=n;j++){ t=t+a[i][j]*b[j];

47、 } b[i]=b[i]-t; } cout<<"列主元的高斯消去法求得原方程的解為:" ; for(i=1;i<=n;i++)cout<<"x"<

48、eam> #include #define n 3 using namespace std; void show(double a[n+1][n+1],double b[n+1]){ int i,j; cout<<"原方程為："<

49、

50、][n+1],x[n+1],y[n+1]; double t; int i,j,k; for(i=1;i<=n;i++){ for(j=1;j<=n;j++)fin>>a[i][j]; fin>>b[i]; } show(a,b); for(i=1;i<=n;i++){ for(j=1;j

51、 t=0; for(k=1;k

52、=i;j<=n;j++){ t=0; for(k=1;k

53、 } for(i=1;i<=n;i++){ t=0; for(j=1;j=1;i--){ t=0; for(j=i+1;j<=n;j++)t=t+u[i][j]*x[j];

54、 x[i]=(y[i]-t)/u[i][i]; } cout<<"LU分解法求得原方程的解為:" ; for(i=1;i<=n;i++)cout<<"x"<

55、ung-Kutta方法； (3) 通過實驗結(jié)果分析各個算法的優(yōu)缺點; (4) 明確步長對算法的影響并理解變步長的Rung-Kutta方法 二、 實驗容 0 < x<1 取h=0.1時用亞當姆斯方法，Rung-Kutta方法求其數(shù)值解并與準確解進展比擬。 三、 根本原理〔計算公式〕 在許多科學技術問題中，建立的模型常常以常微分方程的形式表示。然而，除了少數(shù)特殊類型的常微分方程能用解析方法求其準確解外，要給出一般方程解析解的表達式是困難的。所以只能用近似方法求其數(shù)值解，在實際工作中常用計算機求常微分方程的數(shù)值解。所謂常微分方程的數(shù)值解即對于常微分方程初值問題計算出在一系列節(jié)點

56、 a = x0< x1<…< xn= b 處的未知函數(shù) y(x)近似值y0,y1,…yn，即找到一系列離散點〔x0,y0〕〔x1,y1〕〔x2,y2〕…〔xn,yn〕近似滿足常微分方程。數(shù)值解法的根本思想用差商代替導數(shù),實現(xiàn)連續(xù)問題離散化，選取不同的差商代替導數(shù)可以得到不同公式。 改良歐拉公式是常用方法之一，包括預測和校正兩步。先用歐拉公式進展預報，再將預報值代入梯形公式進展校正，從而達到二階精度。通過龍格-庫塔法我們可以獲得更高精度。經(jīng)典龍格-庫塔法即在區(qū)間[xn,xn+1]取四點，并對這四點的斜率進展加權平均作為平均斜率，通過泰勒公式尋找使局部截斷誤差為O(h5)〔即4階精度〕的參數(shù)滿足

57、條件。 四階〔經(jīng)典〕龍格-庫塔公式 四、 算法設計與實現(xiàn)〔流程圖，關鍵點〕 亞當姆斯方法 經(jīng)典龍格庫塔算法 五、 輸入與輸出 輸入：求解區(qū)間，初值，數(shù)值解個數(shù) 輸出：數(shù)值解 六、 結(jié)果討論和分析 代碼 龍格-庫塔方法 #include #include #include using namespace std; double f(double x,double y){ return y-2*x/y;//函數(shù) } double f

58、0(double x){ return pow(1+2*x,0.5); } int main(){ ifstream fin; fin.open("E:\\t.txt"); if(!fin){ cout<<"error opening input stream"<

59、int N,n; fin>>x0>>y0>>h>>N; cout<<"龍格-庫塔方法求解常微分方程,初始條件為步長h="<< h << ",初值為x0=" < #include #include using namesp

61、ace std; double f(double x,double y){ return y-2*x/y;//函數(shù) } double f0(double x){ return pow(1+2*x,0.5); } void fc(double y[],double x[],int n,double h){ double k1,k2,k3,k4; int i; for(i=0;i

62、x[i],y[i]); k2=f(x[i]+h/2,y[i]+h*k1/2); k3=f(x[i]+h/2,y[i]+h*k2/2); k4=f(x[i]+h,y[i]+h*k3); y[i+1]=y[i]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; } } int main(){ ifstream

63、 fin; fin.open("E:\\t.txt"); if(!fin){ cout<<"error opening input stream"<>x[0]>>y[0]>>h>>N; cout<<"亞當姆斯方法求解常微分方程,初始條件為步長h="<<

64、 h << ",初值為x0=" <

65、 yp=y[3]+h*(55*y1[3]-59*y1[2]+37*y1[1]-9*y1[0])/24; yp1=f(x[4],yp); y[4]=y[3]+h*(9*yp1+19*y1[3]-5*y1[2]+y1[1])/24; y1[4]=f(x[4],y[4]); cout<<"當x= "<