高等數(shù)學(xué)：第四章 第5節(jié) 有理函數(shù)的積分

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1、1有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分第五節(jié)第五節(jié)一、有理函數(shù)的積分積分二、三角函數(shù)有理式的分三、簡單無理函數(shù)的積四、小結(jié)2有理函數(shù)：有理函數(shù)：mmmmnnnnmnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR11101110)()()(其其中中m、n都都是是非非負負整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實實數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b.一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分：有理函數(shù)的積分：dxxQxPmn)()(,dxxx7113如如,dxxxx534dxxxx132不是不是3求積步驟：求積步驟：dxxQxPmn)()(式之和，式之和，化成一個多項式與真分化成一個多項式與真分用多項式除法用多項

2、式除法、如果是假分式，則利、如果是假分式，則利1)()()()()()(mlxQxPxRxQxPmlmnmn即即多項式多項式化為部分分式。化為部分分式。用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法、對真分式、對真分式)()(xQxPml24（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律：真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律：其中其中kAAA,21都是常數(shù)都是常數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA )()(xQxPml對于真分式：對于真分式：5（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpx

3、x)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是常數(shù)都是常數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 6為下列四個類型之和：為下列四個類型之和：這樣任一真分式都可化這樣任一真分式都可化nnqpxxNxMqpxxNxMaxBaxA)(,)(,222211可用遞推公式求出，可用遞推公式求出，而第四種類型，而第四種類型前三種類型可直接積分前三種類型可直接積分能積出來。能積出來。任一有理函數(shù)的積分總?cè)我挥欣砗瘮?shù)的積分總結(jié)論：結(jié)論：71例例和。和?；癁槎囗検郊罢娣质?/p>

4、之化為多項式及真分式之將將252223xxxx5223 xx22 xxx3x2xx22xx2512xx2x3252223xxxx1x232xxx86532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例2 292)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1

5、 xx例例3 310例例4 4.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得115例例2224131)(xxxxxA2xB3xC12xEDx221)(xGFx12例例6 6 求積分求積分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解13例例7 7 求積分求積分 解解.)(dxxx21211dxxxdxx

6、2151522154dxxx)(21211dxxdxxxx22115112512152)ln(.arctan)ln()ln(Cxxx511512152214例例8 8 求積分求積分解解.dxeeexxx63211令令6xet ,lntx6,dttdx6dxeeexxx63211dttttt61123dtttt)(21116dttttt213313615Cttttarctan)ln()ln(ln31231362dttttt2133136.)arctan()ln()ln(Ceeexxxx63631231323136)ln(lnttdttttd22211311)(16積分積分注：盡量用簡單的方法注：

7、盡量用簡單的方法9例例dxxx1142dxxxx2221112112)()(xxxxdCxx2121arctan17例例10. 求求xdxxx222)22(解解: 原式原式xdxx22)22()22(2 xx)22(x1) 1(2xxd222)22()22(xxxxd) 1arctan( x2212xxC18二、三角函數(shù)有理式的積分三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)運算構(gòu)成的函數(shù))cos,(sinxxR一般記為一般記為,sincos512xx如如,cossecsintanxxxx2533xxcossin不是不是xxx

8、xcostansin也不是也不是19問題：如何積分)cos,(sinxxR、對于、對于1?)cos,(sindxxxR),cos,(sin)cos,sin()(xxRxxR如果如果1xtcos令令),cos,(sin)cos,(sin)(xxRxxR如果如果2xtsin令令),cos,(sin)cos,sin()(xxRxxR如果如果3xttan令令20例例1. 求求.sinsin1cos2cos423xdxxxx解解: : 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 故令,sin xt 原式原式xx42sinsin1xdxxcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221)

9、 1(tttdttdtt221211t13)()(211ttttdCtt3311arctanCxxsin3cos312arctanxd sin21例例2. 2. 求求.)0(cossin2222baxbxaxd解解: 原式原式 xdx2cos1222tanbxa222)(tantan1abxxda)tanarctan(1xbaabC22例例3. 求求. )0()cossin(12baxdxbxa解法解法 1 .,tan xt 令令原式原式 xd2)tan(bxax2cos2)(btatd)(1btaaCCxbxaax)cossin(cos23例例3. 求求)0()cossin(12baxdxb

10、xa解法解法 2 . 令令,cos,sin2222babbaa,arctanba原式原式)(cos1222xxdba)tan(122xbaC)arctantan(122baxbaC242cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 2、萬能代換dxxxR)cos,(sin對于對于252sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR

11、（萬能置換公式）（萬能置換公式）26例例4 4 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬能置換公式由萬能置換公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(11222227duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 28例例5 5 求積分求積分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duu

12、dx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 29解（二）解（二）可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 結(jié)論結(jié)論 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定便知萬能置換不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的計算中先考故三角有理式的計算中先考慮其它手段慮其它手段, 不得已才用萬能置換不得已才用萬能置換.306例例dxxxsincos1x

13、xdsin)sin(11Cx )sinln(17例例dxxxxxcossincossindxxxxxcossincossin11221dxxxdxxxxxcossincossin)cos(sin121212)sin()()cos(sin4422121 xxdxxCxxx)tan(ln)cos(sin8222121 31例例8 8 求積分求積分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos14132 dxxxx

14、x222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 33討論類型討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號. .例例9 9 求積分求積分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、簡單無理函數(shù)的積分34,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11

15、ln2.11ln122Cxxxxx 35例例1010 求積分求積分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 說明說明 無理函數(shù)去根號時無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的取根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù).36例例1111 求積分求積分.1213 dxxxx解解先對分母進行有理化先對分母進行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922

16、323Cxx 37簡單無理式的積分簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分三角有理式的積分.（萬能置換公式）（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)381、求dxxx45cossin解：解：xdxxcoscos)cos1 (422cxxx3cos31cos2cos練習(xí)題練習(xí)題39解解: 原式1d4xx(見公式)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)

17、(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁2、求、求xxxxd2212140 xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx3、求、求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:分母的導(dǎo)數(shù)xxxx5224532441414、求、求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 可令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind