馮恩信電磁場與電磁波 課后習(xí)題問題詳解

18、做變換,,,可上端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場為 同理,做變換,,,可下端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場為 上下端面上束縛電荷產(chǎn)生的總電場為 2-21.半徑為a的介質(zhì)球均勻極化，，求束縛電荷分布?！　? 解: (1)介質(zhì)中的束縛電荷體密度為 (2) 介質(zhì)外表的束縛電荷面密度為 2-22.求上題中束縛電荷在球中心產(chǎn)生的電場。　　　　　 解:介質(zhì)外表的束縛電荷在球心產(chǎn)生的電場 在介質(zhì)球外表取半徑為寬度為的環(huán)帶,可看成半徑為,,電荷線密度為的線電荷圓環(huán),例中給出了線電荷圓環(huán)的電場,對積分得 題2-22圖 2-23.無限長的線電荷位于介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)中，線電荷密度為常數(shù)，

19、求介質(zhì)中的電場強(qiáng)度。 解: 設(shè)無限長的線電荷沿 z軸放置, 利用高斯定理,容易求得介質(zhì)中的電場強(qiáng)度為 為場點(diǎn)到線電荷的距離. 2-24. 半徑為a的均勻帶電球殼，電荷面密度為常數(shù)，外包一層厚度為d、介電常數(shù)為的介質(zhì)，求介質(zhì)外的電場強(qiáng)度。 解:由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理 上式左右兩邊分別為 由此得 因?yàn)?，所? 2-25.兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，、外導(dǎo)體球殼電位分別為。求兩導(dǎo)體球殼之間的電場和球殼面上的電荷面密度。 解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面

20、，采用高斯定理，兩導(dǎo)體球殼之間的電場為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為 得出 所以 球殼面上的電荷面密度為 2-26兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，外導(dǎo)體球殼電位分別為。求兩導(dǎo)體球殼之間的電場和球殼面上的電荷面密度以與介質(zhì)分界面上的束縛電荷面密度。 解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得， 兩導(dǎo)體球殼之間的電場為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為 2-27圓柱形電容器，外導(dǎo)體半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)為

21、，求此電容器的耐壓。 解：設(shè)圓柱形電容器長度為L，導(dǎo)體電量為，利用高斯定理，可得 外導(dǎo)體間的電壓為 因此 所以電場可表示為 導(dǎo)體外表的電場為 所以 如果介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)為，如此電容器的耐壓為 2-28真空中一外半徑分別為a、b的介質(zhì)球殼，介電常數(shù)為，在球心放一電量為q的點(diǎn)電荷。〔1〕用介質(zhì)中的高斯定理求電場強(qiáng)度；〔2〕求介質(zhì)中的極化強(qiáng)度和束縛電荷。 解： 〔1〕由題意，電場具有球?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)。采用高斯定理，在半徑為r的球面上 由得 〔2〕 這里 2-29 某介質(zhì)的介電常數(shù)為，和均為常數(shù)，假如介質(zhì)中的電場強(qiáng)度

22、為恒值且只有分量，證明 。 證： 2-30 .有三層均勻介質(zhì)，介電常數(shù)分別為,取坐標(biāo)系使分界均平行于xy面。三層介質(zhì)中均為勻強(qiáng)場，且，求。 解：因?yàn)槿龑咏橘|(zhì)中均為勻強(qiáng)場，，設(shè)第二、三層介質(zhì)中的電場強(qiáng)度分別為 ； 由邊界條件可得 ， 由邊界條件，可得 ，即； 所以 ， 2-31 .半徑為a的導(dǎo)體球中有兩個半徑均為b的球形腔，在其中一個空腔中心有一個電量為q的點(diǎn)電荷在該球形空腔中心，如下列圖，如果導(dǎo)體球上的總電量為0，求導(dǎo)體球腔中與球外的電場強(qiáng)度。 解： 〔1〕在有點(diǎn)電荷的空腔中，由于對稱性，電場強(qiáng)度為，為從空腔中心指向該空腔中場點(diǎn)的位置矢量。

23、 〔2〕在另一沒有點(diǎn)電荷的空腔中，由于靜電屏蔽，該空腔中的電場強(qiáng)度為零。 〔3〕在導(dǎo)體球外，由于導(dǎo)體球?yàn)榈任惑w，除了導(dǎo)體球面上外，導(dǎo)體球外沒有電荷，因此導(dǎo)體球外電場具有球?qū)ΨQ性，且導(dǎo)體球上的電量為q,所以導(dǎo)體球外的電場強(qiáng)度為 r為導(dǎo)體球心到場點(diǎn)的距離。 題2.31圖　　　　　　　　　　　題2.32圖 2-32 .同軸圓柱形電容器外半徑分別為a、b，導(dǎo)體之間一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，另一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)。當(dāng)電壓為V時，求電容器中的電場和電荷分布。 解：設(shè)同軸電容器長度為，導(dǎo)體上的電量為q,在外導(dǎo)體之間取半徑為 r的圓柱面，利用高斯定理 在兩個半柱面上，電場強(qiáng)度分別相等，

24、上式變?yōu)? 由介質(zhì)邊界條件，可得 外導(dǎo)體之間的電壓為 由此得，從而得 電荷分布為 介質(zhì)側(cè)；介質(zhì)側(cè) 2-33 z>0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，當(dāng) (1)電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面上； (2)電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上。 求電場強(qiáng)度。 解： 〔1〕電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面上 以點(diǎn)電荷為中心作以半徑為r的球，利用高斯定理 設(shè)上、下半球面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對稱性，在上、下半球面上大小分別相等，有 = 根據(jù)邊界條件，因此 〔2〕電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上

25、以線電荷為軸線作以半徑為r單位長度的圓柱面，利用高斯定理 設(shè)上、下半柱面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對稱性，在上、下半柱面上大小分別相等，有 = 根據(jù)邊界條件，因此 2-34.面積為A，間距為d的平板電容器電壓為V，介電常數(shù)為厚度為t的介質(zhì)板分別按如圖a、b所示的方式放置在兩導(dǎo)電平板之間。分別計(jì)算兩種情況下電容器中電場與電荷分布。 題4圖 解： 〔a〕設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場分別為、，那么、滿足關(guān)系 〔邊界條件〕 求解以上兩式得 ； 根據(jù)導(dǎo)體外表上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體外表上的電荷面密度為 (b) 由圖可見，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空

26、氣中的電場為 根據(jù)導(dǎo)體外表上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的電荷面密度為 在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為 2-35 在外半徑分別為和之間的圓柱形區(qū)域無電荷，在半徑分別為和的圓柱面上電位分別為和0。求該圓柱形區(qū)域的電位和電場。 解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位滿足拉普拉斯方程，方程為 解微分方程得 利用邊界條件 得 ， 因此 2-36在半徑分別為和的兩同軸導(dǎo)電圓筒圍成的區(qū)域，電荷分布為，為常數(shù)，假如介質(zhì)介電常數(shù)為，導(dǎo)體電位為V，外導(dǎo)體電位為0。求兩導(dǎo)體間的電位分布。 解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位

27、滿足泊松方程 解微分方程得 利用邊界條件 得 ， 2-37 兩塊電位分別為0和V的半無限大的導(dǎo)電平板構(gòu)成夾角為的角形區(qū)域，求該角形區(qū)域中的電位分布。 c b a 題7圖題8 圖 解：由題意，在圓柱坐標(biāo)系中，電位僅是的函數(shù)，在導(dǎo)電平板之間電位方程為 其通解為 由邊界條件 ，得 所以， 2-38 .由導(dǎo)電平板制作的金屬盒如下列圖，除盒蓋的電位為V外，其余盒壁電位為0，

28、求盒電位分布。 解：用別離變量法，可得電位的通解為 利用邊界條件，可求出系數(shù) 〔m、n為奇數(shù)〕 〔m、n為偶數(shù)〕 2-39 在的勻強(qiáng)電場中沿z軸放一根半徑為a的無限長導(dǎo)電圓柱后，求電位與電場。 解：由別離變量法，無限長導(dǎo)電圓柱外的電位的通解為 〔1〕 設(shè)，當(dāng)時的電位等于無導(dǎo)電圓柱的電位，即 〔2〕 要使式〔1〕的電位在時等于式〔2〕，可得到系數(shù) ，，， 再由導(dǎo)體界面的邊界條件得 因此，電位的特解為 2-40 .在無限大的導(dǎo)電平板上方距導(dǎo)電平板h處平行放置無限長的線電荷，電荷線密度為，求

29、導(dǎo)電平板上方的電場。 解:用鏡像法,導(dǎo)電平板的影響等效為鏡像位置的一個電荷線密度為-的線電荷, 導(dǎo)電平板上方的電場為 式中、分別為線電荷與其鏡像線電荷到場點(diǎn)的距離矢量。 2-41 由無限大的導(dǎo)電平板折成的角形區(qū)，在該角形區(qū)中某一點(diǎn)()有一點(diǎn)電荷q，用鏡像法求電位分布。 解：如圖將空間等分為8個區(qū)，在每個區(qū)中以原來的導(dǎo)電面為鏡面可以依次找到鏡像位置，原電荷的位置為()，另外7個鏡像電荷在圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：()，()，()，()，()，()，()。 鏡像電荷為 對于場點(diǎn)，電荷到場點(diǎn)的距離矢量為 ； 如此場點(diǎn)的電場為 題2-41圖 題2-42圖 2-42

30、 半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球附近距球心f處有一點(diǎn)電荷q，求點(diǎn)電荷q所受的力。 解：點(diǎn)電荷q 受到的力〔場〕有兩局部，一局部等效為鏡像電荷的力，另一局部等效為位于球中心的點(diǎn)電荷的力。由鏡像法，鏡像電荷的大小和位置分別為 由于包圍導(dǎo)體球的總電量為Q，所以位于位于球中心的點(diǎn)電荷=Q-;因此點(diǎn)電荷q 受到的力為 2-43 外半徑分別為a、b的導(dǎo)電球殼距球心為d(d

31、導(dǎo)電球殼外無電荷分布，因此導(dǎo)電球殼外的電位為零。 導(dǎo)電球殼的電位的電位由導(dǎo)電球殼的點(diǎn)電荷和導(dǎo)電球殼壁上的電荷產(chǎn)生，而導(dǎo)電球殼壁上的電荷可用位于導(dǎo)電球殼外的鏡像電荷等效，兩個電荷使導(dǎo)電球殼壁面上的電位為零，因此鏡像電荷的大小、距球心的距離分別為 ； 導(dǎo)電球殼的電位為 其中、分別為場點(diǎn)與點(diǎn)電荷與鏡像電荷的距離，用圓球坐標(biāo)表示為 〔2〕導(dǎo)電球殼電位為V 當(dāng)導(dǎo)電球殼電位為V時，從導(dǎo)電球外看，導(dǎo)電球面是等位面，且導(dǎo)電球外的電位是球?qū)ΨQ的，其電位滿足 利用邊界條件得 導(dǎo)體球殼的電位可看成兩局部的疊加，一局部是有點(diǎn)電荷但球殼為零時的電位，這一局部的電位同前；另一局部

32、是無點(diǎn)電荷但球殼電位為V時的電位，這一局部的電位為V。因此導(dǎo)電球殼電位為V時，導(dǎo)電球殼的電位為 其中、分別為場點(diǎn)與點(diǎn)電荷與鏡像電荷的距離。 (3)導(dǎo)電球殼上的總電量為Q 當(dāng)導(dǎo)電球殼上的總電量為Q時，從導(dǎo)電球外看，導(dǎo)電球面是等位面，且導(dǎo)電球外的電位是球?qū)ΨQ的，導(dǎo)電球殼的總電量為Q+q,其電位滿足 導(dǎo)電球殼上的電位為 同上得，導(dǎo)電球殼的電位為 2-44 無限大導(dǎo)電平面上有一導(dǎo)電半球，半徑為a，在半球體正上方距球心與導(dǎo)電平面h處有一點(diǎn)電荷q，求該點(diǎn)電荷所受的力。 題2-44圖 解：要使導(dǎo)體球面和平面上的電位均為零，應(yīng)有三個鏡像電荷，如下列圖。三個鏡像電荷的電量和位置

33、分別為 點(diǎn)電荷q所受的力為三個鏡像電荷的電場力，即 力的正方向向上。 2-45無限大導(dǎo)電平面上方平行放置一根半徑為a的無限長導(dǎo)電圓柱，該導(dǎo)電圓柱軸線距導(dǎo)電平面為h，求導(dǎo)電圓柱與導(dǎo)電平面之間單位長度的電容。 解：如果無限長導(dǎo)電圓柱上有電荷線密度，導(dǎo)電平面可用鏡像位置的線電荷等效，鏡像電荷線密度為-。由導(dǎo)體圓柱的鏡像法可求得導(dǎo)體圓柱的電位，那么，單位導(dǎo)體圓柱與導(dǎo)電平面之間的電容為 題2-45圖 2-46 z>0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，在界面兩邊距界面為h的對稱位置分別放置電量分別為和的點(diǎn)電荷。分別計(jì)算兩個點(diǎn)電荷所受得力。 解：利用鏡像法，

34、計(jì)算z>0半空間的場時，原來的問題可等效為圖2-46(b)，計(jì)算z<0半空間的場時，原來的問題可等效為圖2-46(c)。這樣上半空間的電位可表示為 式中為到場點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場點(diǎn)的距離；下半空間的電位可表示為 式中為到場點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場點(diǎn)的距離。利用邊界條件， 和得 由此得 和所受的斥力分別為 (a) (b) (c) 題2-46圖 2-47.兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，求兩導(dǎo)體球殼之間的電容。 解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷

35、與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理，兩導(dǎo)體球殼之間的電場為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為 兩導(dǎo)體球殼之間的電容為 2-48兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，求兩導(dǎo)體球殼之間的電容。 解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得， 兩導(dǎo)體球殼之間的電場為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為 兩導(dǎo)體球殼之間的電容為 2-49 面積為A，間距為d的導(dǎo)電平板之間放置介電常數(shù)為，厚度為t的介質(zhì)板，如圖a、b所示。分別計(jì)算兩種情況下導(dǎo)電平板之間的電容。

36、題2-49圖 解： 〔a〕設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場分別為、，那么、滿足關(guān)系 〔邊界條件〕 求解以上兩式得 ； 根據(jù)導(dǎo)體外表上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體外表上的電荷面密度為 電容為 (b) 由圖可見，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場為 根據(jù)導(dǎo)體外表上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的電荷面密度為 在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為 電容為 2-50 兩塊沿方向無限延伸的導(dǎo)電平板夾角為，與和的圓柱面相截，兩板之間的電壓為V，。忽略邊緣效應(yīng)，求兩塊板間的電位分布，電場，以與單位長度的電容。 解：在圓柱坐標(biāo)系中

37、，電位只和有關(guān)，在兩塊導(dǎo)電平板之間 此方程的通解為 利用邊界條件，，得 電場強(qiáng)度為 板上單位長度的電量為 板上單位長度的電容為 2-51 真空中半徑為a的導(dǎo)體球電位為V，求電場能量。 解：用兩種方法求解。 1） 用電位求電場能量 2） 用電場強(qiáng)度求電場能量 導(dǎo)體球的電場強(qiáng)度為零，導(dǎo)體球外的電場強(qiáng)度為 電場能量為 2-52 .圓球形電容器導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b，外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場能量。 解：設(shè)圓球形電容器導(dǎo)體上的電荷為 q，由高斯定理可求得在外導(dǎo)體之間

38、從而可求得外導(dǎo)體之間的電壓為 圓球形電容器的電容為 電場能量為 2-53 長度為d的圓柱形電容器導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b，外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場能量。 解：設(shè)圓柱形電容器導(dǎo)體上的電荷為q，用高斯定理，在外導(dǎo)體之間 外導(dǎo)體之間的電壓為 外導(dǎo)體之間的電容為 電場能量為 2-54 兩個點(diǎn)電荷電量均為，放在介電常數(shù)為的介質(zhì)中，間距為，求互位能。 解： 兩個點(diǎn)電荷的互位能為將一個點(diǎn)電荷從無限遠(yuǎn)移到和另一個間距為處外力做的功 2-55 兩尺寸為a×a的平行導(dǎo)電平板之間距離為

39、d，帶電量分別為,當(dāng)將介電常數(shù)為的介質(zhì)板插入導(dǎo)電板之間深度為x時，分別求介質(zhì)板所受的電場力。 題2.55 圖 解：設(shè)空氣填充局部和介質(zhì)填充局部導(dǎo)電平板上的電荷密度分別為、由導(dǎo)體邊界條件得，；由介質(zhì)邊界條件得或，因此 空氣填充局部和介質(zhì)填充局部導(dǎo)電平板上的電量分別為 ， 。 由與得 平行導(dǎo)電平板之間的電場能量為 由虛功原理，對于常電荷系統(tǒng)，介質(zhì)所受的沿x方向電場力為 第3章習(xí)題 3-1 半徑為的薄圓盤上電荷面密度為，繞其圓弧軸線以角頻率旋轉(zhuǎn)形成電流，求電流面密度。 解：圓盤以角頻率旋轉(zhuǎn)，圓盤上半徑為處的速度為，因此電流面密度為 3-

40、2 在銅中，每立方米體積約有個自由電子。如果銅線的橫截面為，電流為。計(jì)算 1） 電流密度； 2） 電子的平均漂移速度； 解：1〕電流密度 2) 電子的平均漂移速度 ， 3-3 一寬度為傳輸帶上電荷均勻分布，以速度勻速運(yùn)動，形成的電流，對應(yīng)的電流強(qiáng)度為，計(jì)算傳輸帶上的電荷面密度。 解：電流面密度為 因?yàn)? 所以 3-4 如果是運(yùn)動電荷密度，是運(yùn)動電荷的平均運(yùn)動速度，證明： 證：如果是運(yùn)動電荷密度，是運(yùn)動電荷的平均運(yùn)動速度，如此電流密度為 代入電荷守恒定律 得 3-5 由的鐵制作的圓錐臺，高為，兩端面的半徑分別

41、為和。求兩端面之間的電阻。 解：用兩種方法 ， 〔2〕設(shè)流過的電流為，電流密度為 電場強(qiáng)度為 電壓為 3-6 在兩種媒質(zhì)分界面上，媒質(zhì)1的參數(shù)為，電流密度的大小為，方向和界面法向的夾角為；媒質(zhì)2的參數(shù)為。求媒質(zhì)2中的電流密度的大小、方向和界面法向的夾角，以與界面上的電荷面密度。 解：根據(jù)邊界條件 ， ，， 媒質(zhì)2中的電流密度和界面法向的夾角為 ， 3-7 同軸電纜導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體之間有兩層媒質(zhì)。層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；外層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；求 （1） 每區(qū)域單位長度的電容； （2） 每區(qū)

42、域單位長度的電導(dǎo)； （3） 單位長度的總電容； （4） 單位長度的總電導(dǎo)。 解： 外導(dǎo)體之間的兩層媒質(zhì)是非理想的，那么設(shè)同軸電纜、外導(dǎo)體之間單位長度的漏電流為那么在半徑為的圓柱面上電流均勻，電流密度為 電場強(qiáng)度為 第一層的電壓為 第二層的電壓為 第一層單位長度的電導(dǎo)為 第二層單位長度的電導(dǎo)為 單位長度的總電導(dǎo)為 利用靜電比擬 第一層單位長度的電容為 第二層單位長度的電容為 單位長度的總電容為 3-8 在上題中，當(dāng)同軸電纜長度為，外導(dǎo)體之間的電壓為，利用邊界條件求界面上的電荷面密度。

43、 解： 由上題， 因此 3-9 兩同心導(dǎo)體球殼，導(dǎo)體球殼半徑為，外導(dǎo)體球殼半徑為。兩同心導(dǎo)體球殼之間填充兩層媒質(zhì)，層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；外層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；求同心導(dǎo)體球殼 （1） 每區(qū)域的電容； （2） 每區(qū)域的電導(dǎo)； （3） 總電容； （4） 總電導(dǎo)。 解： 外導(dǎo)體之間的兩層媒質(zhì)是非理想的，那么設(shè)同心導(dǎo)體球殼之間的漏電流為 那么在半徑為的圓球面上電流均勻，電流密度為 電場強(qiáng)度為 第一層媒質(zhì)的電壓為 第二層媒質(zhì)的電壓為 第一層媒質(zhì)單位長度的電導(dǎo)為 第二層媒質(zhì)單位長度的電導(dǎo)為

44、 單位長度的總電導(dǎo)為 利用靜電比擬 第一層單位長度的電容為 第二層單位長度的電容為 單位長度的總電容為 其中 3-10 上題中，外導(dǎo)體之間的電壓為，利用邊界條件求界面上的電荷面密度。 解： 由上題， 因此 3-11 平板電容器兩導(dǎo)電平板之間為三層非理想介質(zhì)，厚度分別為電導(dǎo)率分別為，平板面積為S，如果給平板電容器加電壓V，求平板之間的電場。 解：設(shè)導(dǎo)電平板之間三層非理想介質(zhì)中的電場均為勻強(qiáng)電場，分別為、、，根據(jù)電壓關(guān)系和邊界條件，、、

45、滿足以下關(guān)系 解此方程組得 3-12 在§例2中，如果在弧形導(dǎo)電體兩弧面之間加電壓，求該導(dǎo)電體沿徑向的電阻。 解：設(shè)流過兩弧面的電流為I。作以與兩弧面同軸的半徑為的弧面，流過此弧面的電流密度為，如此由 得 由此得 兩弧面之間的電壓為 該導(dǎo)電體沿徑向的電阻為 3-13 圓球形電容器導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為，電導(dǎo)分別為的非理想介質(zhì)，兩層非理想介質(zhì)分界面半徑為b，如果外導(dǎo)體間電壓為V，求電容器中的電場與界面上的電荷密度。 解：由于圓球形電容器填充兩層非理想介質(zhì)，

46、有電流流過，設(shè)電流為I。在圓球形電容器取一半徑為的球面，流過此球面的電流密度為，如此由得 或 電場強(qiáng)度為 電壓為 由此求出電流與電壓的關(guān)系后，電場為 導(dǎo)體外表的電荷密度為 外導(dǎo)體外表的電荷密度為 媒質(zhì)分界面的〔駐立〕電荷密度為 3-14求3-11題中電容器的漏電導(dǎo)。 解：由3-2題得 流過電容器的電流為 所以 3-15求3-13題中圓球形電容器的電容與漏電導(dǎo)。 解：此圓球形電容器的電容與漏電導(dǎo)是并串聯(lián)的形式如下列圖。 ；；； 3-16　分別求3-11題與3-13題中電容器的損耗功率。

47、　 解：〔1〕3-11題 〔2〕3-13題 3-17　邊長均為a的正方體導(dǎo)電槽中充滿電導(dǎo)率為的電解液，除導(dǎo)電板蓋的電位為V外，槽的其余五個邊界面電位為零。求電解液中的電位。　 解：此題電位所滿足的方程和邊界條件與題2-33一樣，因此其解也與題2-33一樣。 3-18將半徑為a的半個導(dǎo)電球剛好埋入電導(dǎo)率為的大地中，如下列圖。求接地電阻。 解：設(shè)從地線流出的電流為I，在大地中作與導(dǎo)體球同心，半徑為的半球面，在此半球面上電流密度一樣，顯然滿足關(guān)系 電場強(qiáng)度為 導(dǎo)電球的電位為 因此導(dǎo)電球的接地電阻為 題3-18 圖 3-19　在電導(dǎo)率為的大地深處，相距d平行放置半徑均為a的無限長導(dǎo)體圓柱。求導(dǎo)體圓柱之間單位長度的漏電導(dǎo)。 解：用靜電比擬法。此問題可與介質(zhì)中的平行雙導(dǎo)線比擬，其電導(dǎo)與電容的關(guān)系為 因?yàn)榻橘|(zhì)中的平行雙導(dǎo)線單位長度的電容為 因此，埋地導(dǎo)體圓柱之間單位長度的漏電導(dǎo)為 63 / 63