重慶市2018年中考數學一輪復習 第五章 四邊形 第2節(jié) 矩形、菱形、正方形練習

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1、 第2節(jié)　矩形、菱形、正方形 (必考，1～3道，4～20分) 　　　　　　　　　玩轉重慶10年中考真題(2008～2017年) 命題點1　矩形的性質及相關計算(10年5考) 1. (2014重慶B卷8題4分)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠ACB＝30°，則∠AOB的大小為(　　) A. 30°　　B. 60°　　C. 90°　　D. 120° 第1題圖 2. (2015重慶B卷18題4分)如圖，AC是矩形ABCD的對角線，AB＝2，BC＝2，點E，F分別是線段AB，AD上的點，連接CE，CF，當∠BCE＝∠ACF，且CE＝CF時，AE＋AF＝___

2、_____． 第2題圖 3. (2013重慶A卷24題10分)如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD上的點，AE＝CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC. (1)求證：OE＝OF； (2)若BC＝2，求AB的長． 第3題圖 命題點2　菱形的性質及相關計算(10年6考，與反比例函數結合考查3次) 4. (2014重慶A卷15題4分)如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，則菱形ABCD的周長為________． 第4題圖 5. (2012重慶24題10分)已知：如圖，在菱形ABCD中，F為邊BC的

3、中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1＝∠2. (1)若CE＝1，求BC的長； (2)求證：AM＝DF＋ME. 第5題圖 命題點3　(10年11考，近2年均以正方形為背景涉及折疊變換) 6. (2010重慶10題4分)已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE.過點A作AE的垂線交ED于點P. 　第6題圖 若AE＝AP＝1，PB＝.下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋；⑤S正方形ABCD＝4＋. 其中正確結論的序號是(　　) A. ①③④ B.

4、①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 7. (2014重慶A卷18題4分)如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE＝2CE，連接BE.過點C作CF⊥BE，垂足是F，連接OF，則OF的長為__________． 第7題圖 　　　 8. (2014重慶B卷18題4分)如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE＝DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH.若BH＝8，則FG＝________． 　　 第8題圖 答案 1. B　【解析】∵四

5、邊形ABCD是矩形，AC與BD相交于點O，∴OB＝OC，∵∠ACB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠AOB＝∠ACB＋∠DBC＝60°. 2. 　【解析】如解圖，作FG⊥AC于點G，∴∠FGC＝∠B.∵EC＝FC，∠BCE＝∠ACF，∴△BCE≌△GCF(AAS)，∴CG＝BC＝2，BE＝GF.在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝2，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∠GAF＝30°，AC＝2AB＝4，∴AG＝4－2.在Rt△AFG中，tan30°＝，∴GF＝＝BE，∴AF＝2GF＝，AE＝2－，∴AF＋AE＝＋2－＝＝. 第2題解圖 3. (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

6、 ∴AB∥CD，(1分) ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC.(2分) ∵AE＝CF， ∴△AEO≌△CFO(ASA)，(3分) ∴OE＝OF；(4分) 第3題解圖 (2)解：如解圖，連接BO. ∵OE＝OF，BE＝BF， ∴BO⊥EF，且∠EBO＝∠FBO， ∴∠BOF＝90°. ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BCF＝90°. 又∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC＋∠EOA， ∴∠BAC＝∠EOA， ∴AE＝OE. ∵AE＝CF，OE＝OF， ∴OF＝CF. 又∵BF＝BF， ∴Rt△BOF≌Rt△BCF(HL)，(6分) ∴∠OBF

7、＝∠CBF，(7分) ∴∠CBF＝∠FBO＝∠OBE. ∵∠ABC＝90°， ∴∠OBE＝∠ABC＝30°，(8分) ∴∠BEO＝60°， ∴∠BAC＝30°.(9分) ∵tan∠BAC＝， ∴tan30°＝，即＝， ∴AB＝6.(10分) 4. 28　【解析】∵菱形的四條邊都相等，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD＝7，則菱形ABCD的周長為4×7＝28. 5. (1)解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD， ∵ME⊥CD， ∴CD＝2CE＝2，(4分)

8、∴BC＝CD＝2；(5分) (2)證明：∵F為邊BC的中點， ∴BF＝CF＝BC，∴CF＝CE， 在菱形ABCD中，AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD，(6分) 在△CEM和△CFM中，， ∴△CEM≌△CFM(SAS)， ∴ME＝MF，(7分) 如解圖，延長AB交DF的延長線于點G， ∵AB∥CD，∴∠G＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G， ∴AM＝MG，(8分) 在△CDF和△BGF中，， ∴△CDF≌△BGF(AAS)， ∴GF＝DF，(9分) ∴AM＝GM＝GF＋MF＝DF＋ME.(10分) 第5題解圖 6. D　【解析】 序號 逐個分

9、析 正誤 ① 在正方形ABCD中，AD＝AB，又∠DAB＝∠PAE＝90°，∴∠DAP＝∠BAE，又∵AE＝AP，∴△APD≌△AEB(SAS) √ ② 如解圖，作BF⊥AE的延長線于點F，易知∠BEF＝45°，∴△BEF是等腰三角形，由勾股定理可求得EP2＝12＋12＝2，在Rt△BEP中(理由見③中)BE⊥ED，BE＝＝，∴EF＝BF＝＝，∴點B到直線AE的距離為 第6題解圖 × ③ ∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵AE＝AP，∠PAE＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠APD＝∠AEB＝135°，∴∠BEP＝∠AEB－∠AEP＝135°－45

10、°＝90°，∴EB⊥ED √ ④ S△APD＋S△APB＝S△AEB＋S△APB＝S四邊形AEBP＝S△AEP＋S△BPE＝＋×EP×BE＝＋××＝＋ × ⑤ 由②知，在Rt△AFB中，AB2＝AF2＋BF2＝(1＋)2＋()2＝4＋＝S正方形ABCD √ 7. 　【解析】如解圖，過點O作OG⊥OF，交BF于點G，∵AC與BD是正方形ABCD的對角線，∴∠BOC＝90°，則∠BOG＝∠COF，又∵OB＝OC，∠BGO＝90°＋∠OFG，∠OFC＝90°＋∠OFG，∴∠BGO＝∠OFC，∴△OBG≌△OCF(AAS)，∴OG＝OF，BG＝CF，∵CD＝6，DE＝2CE，∴CE＝2

11、，在Rt△BEC中，由勾股定理得，BE＝＝2，∵∠ECB＝∠CFE＝90°，∠OBG＝∠OCF，∠OBC＝∠DCO＝45°，∴∠EBC＝∠FCE，∴△CEF∽△BEC，則＝，即CE2＝EF·BE，則EF＝，∴BF＝，在Rt△FEC中，利用勾股定理可得，CF＝＝＝，故GF＝BF－BG＝－＝，在等腰Rt△OGF中，OF＝GF·sin45°＝×＝. 第7題解圖 8. 5　【解析】如解圖，連接CG，在△CGD與△CEB中，， ∴△CGD≌△CEB(SAS)，∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．又∵CH⊥GE，∴CH＝EH＝GH.過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，則∠MHN＝90°，又∵∠EHC＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠HEM＝∠HCN.在△HEM與△HCN中，，∴△HEM≌△HCN(ASA)，∴HM＝HN，∴四邊形MBNH為正方形．∵BH＝8，∴BN＝HN＝4，∴CN＝BC－BN＝6－4＝2.在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝＝＝2，∴GH＝CH＝2.∵HM∥AG，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，∴Rt△HCN∽Rt△GFH，∴＝，即＝，∴FG＝5. 第8題解圖 8