（江西專用）2019中考數(shù)學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究（壓軸題）類型4 針對訓練

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1、第二部分　專題六 類型四 1．在平面直角坐標系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如圖的方式放置．點A1，A2，A3，…，An和點C1，C2，C3，…，Cn分別落在直線y＝x＋1和x軸上．拋物線L1過點A1，B1，且頂點在直線y＝x＋1上，拋物線L2過點A2，B2，且頂點在直線y＝x＋1上，…，按此規(guī)律，拋物線Ln過點An，Bn，且頂點也在直線y＝x＋1上，其中拋物線L2交正方形A1B1C1O的邊A1B1于點D1，拋物線L3交正方形A2B2C2C1的邊A2B2于點D2，…，拋物線Ln＋1交正方形AnBnCnCn－1的邊AnBn于點Dn(其中n≥2且

2、n為正整數(shù))． (1)直接寫出下列點的坐標：B1 (1,1)，B2 (3,2)，B3_(7,4)_ _； (2)寫出拋物線L2，L3的解析式，并寫出其中一個解析式的求解過程，再猜想拋物線Ln的頂點坐標 (3×2n－2－1,3×2n－2)； (3)① 設A1D1＝k1·D1B1，A2D2＝k2·D2B2，試判斷k1與k2的數(shù)量關系并說明理由； ②點D1，D2，…，Dn是否在一條直線上？若是，直接寫出這條直線與直線y＝x＋1的交點坐標；若不是，請說明理由. 解：(1)B1(1,1)，B2(3,2)，B3(7,4)． (2)拋物線L2，L3的解析式分別為y2＝－(x－2)2＋3，y3＝

3、－(x－5)2＋6. 拋物線L2的解析式的求解過程： 對于直線y＝x＋1，設x＝0，可得y＝1，∴A1(0,1)． ∵四邊形A1B1C1O是正方形， ∴C1(1,0)．又∵點A2在直線y＝x＋1上， ∴可得點A2(1,2)，又∵B2的坐標為(3,2)， ∴拋物線L2的對稱軸為直線x＝2， ∴拋物線L2的頂點坐標為(2,3)， 設拋物線L2的解析式為y＝a(x－2)2＋3， ∵L2過點B2(3,2)，∴當x＝3時，y＝2， ∴2＝a×(3－2)2＋3，解得a＝－1， ∴拋物線L2的解析式為y＝－(x－2)2＋3. 拋物線L3的解析式的求解過程： ∵B3的坐標為(7,4

4、)，同上可求得點A3的坐標為(3,4), ∴拋物線L3的對稱軸為直線x＝5， ∴拋物線L3的頂點為(5,6)． 設拋物線L3的解析式為y＝a(x－5)2＋6， ∵L3過點B3(7,4)，∴當x＝7時，y＝4, ∴4＝a×(7－5)2＋6，解得a＝－， ∴拋物線L3的解析式為y＝－(x－5)2＋6. 猜想拋物線Ln的頂點坐標為(3×2n－2－1,3×2n－2)． 猜想過程： 方法1：可由拋物線L1，L2，L3，…的解析式為y1＝－2(x－)2＋，y2＝－(x－2)2＋3，y3＝－(x－5)2＋6，…，歸納總結． 方法2：可由正方形AnBnCnCn－1頂點An，Bn的坐標規(guī)

5、律An(2n－1－1,2n－1)與Bn(2n－1,2n－1)，再利用對稱性可得拋物線Ln的對稱軸為直線x＝，即x＝＝3×2n－2－1.又∵頂點在直線y＝x＋1上， ∴可得拋物線Ln的頂點坐標為(3×2n－2－1,3×2n－2)； (3)①k1與k2的數(shù)量關系為k1＝k2. 理由如下：同(2)可求得L2的解析式為y＝－(x－2)2＋3， 當y＝1時，1＝－(x－2)2＋3，解得x1＝2－，x2＝2＋，∴A1D1＝2－＝(－1)， ∴D1B1＝1－(2－)＝－1， ∴A1D1＝·D1B1，即k1＝. 同理可求得A2D2＝4－2＝2(－1)， D2B2＝2－(4－2)＝2－2＝2(－

6、1)， ∴A2D2＝·D2B2，即k2＝，∴k1＝k2. ②∵由①知，k1＝k2， ∴點D1，D2，…，Dn在一條直線上； ∵拋物線L2的解析式為y＝－(x－2)2＋3， ∴當y＝1時，x＝2－，∴D1(2－，1)； 同理，D2(5－2，2)， ∴設直線D1D2的解析式為y＝kx＋b(k≠0)， 則解得 ∴直線D1D2的解析式為y＝x＋， ∴解得 這條直線與直線y＝x＋1的交點坐標為(－1,0)． 2．在平面直角坐標系中，有一組有規(guī)律的點： A1(0,1)，A2(1,0)，A3(2,1)，A4(3,0)，A5(4,1)，….依此規(guī)律可知， 當n為奇數(shù)時，有點An (

7、n－1,1)，當n為偶數(shù)時，有點An(n－1,0)． 拋物線C1經(jīng)過A1，A2，A3三點，拋物線C2經(jīng)過A2，A3，A4三點，拋物線C3經(jīng)過A3，A4，A5三點，…，拋物線Cn經(jīng)過An，An＋1，An＋2三點． (1)直接寫出拋物線Cn的解析式； (2)若點E(e，f1)，F(xiàn)(e，f2)分別在拋物線C27，C28上，當e＝29時，請判斷△A26EF是什么形狀的三角形并說明理由； 第2題圖 (3)若直線x＝m分別交x軸，拋物線C2 017，C2 018于點P，M，N，作直線A2 018 M，A2 018 N，當∠PA2 018M＝45°時，求sin∠PA2 018N的值． 解：

8、(1)根據(jù)頂點式容易求出C1，C2，C3，C4的解析式分別為： y1＝(x－1)2； y3＝(x－3)2； …… y2＝－(x－2)2＋1； y4＝－(x－4)2＋1； …… 可以發(fā)現(xiàn)這組拋物線解析式的特點： 當n為奇數(shù)時，yn＝(x－n)2； 當n為偶數(shù)時，yn＝－(x－n)2＋1. (2)△A26EF是等腰直角三角形．如答圖1， 由一般到特殊，可得拋物線C27的解析式為y27＝(x－27)2，且過點A27，A28，A29 ，拋物線C28的解析式為y28＝－(x－28)2＋1，且過點A28，A29，A30.∵點E(e，f1)，F(xiàn)(e，f2)分別在拋物線C27，C28上，

9、e＝29， ∴f1＝(29－27)2＝4, f2＝－(29－28)2＋1＝0， ∴點E(e，f1)，F(xiàn)(e，f2)坐標分別為E(29,4)，F(xiàn)(29,0)； ∵A26的坐標是(25,0)，點F(29,0)與點A30重合， ∴A26A30＝29－25＝4，EF＝4，且與y軸平行， ∠EF A26＝90°， ∴△A26EF是等腰直角三角形． 圖1 　　 圖2 第2題答圖 (3)由(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，拋物線C2 017，C2 018的解析式分別為y2 017＝(x－2 017)2，y2 018＝－(x－2 018)2＋1.點A2 018坐標為(2 017,0)． 由(

10、2)的研究經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，可以退回到簡單的拋物線C3，C4的情況來研究． 如答圖2，在點A2 018(2 017,0)的左側，當m＝2 016時，M(2 016,1)，此時有∠PA2 018M＝45°，N(2 016，－3)，sin∠PA2 018N＝； 在點A2 018(2 017,0)的右側，當m＝2 018時，M(2 018,1)，此時有∠PA2 018M＝45°，N(2 018,1)，sin∠PA2 018N＝. 綜上，當∠PA2 018M＝45°時，sin∠PA2 018N＝或. 3．(2018·江西模擬)已知拋物線Cn：yn＝－x2＋(n－1)x＋2n(其中n為正整數(shù))與x軸交于

11、An，Bn兩點(點An在Bn的左邊)，與y軸交于點Dn. (1)填空：①當n＝1時，點A1的坐標為 (－2,0)，點B1的坐標為(2,0)； ②當n＝2時，點A2的坐標為 (－2,0)，點B2的坐標為 (4,0)； (2)猜想拋物線Cn是否經(jīng)過某一個定點，若經(jīng)過請寫出該定點坐標并給予證明；若不經(jīng)過，請說明理由； (3)①判斷△A2D2B4的形狀； ②猜想∠AnDnBn2的大小，并給予證明． 解：(1)①n＝1時，拋物線解析式為y＝－x2＋2， 當y＝0時，－x2＋2＝0，解得x1＝2，x2＝－2， ∴點A1的坐標為(－2,0)，點B1的坐標為(2,0)； ②當n＝2時，拋物線

12、解析式為y＝－x2＋x＋4， 當y＝0時，－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4， ∴點A2的坐標為(－2,0)，點B2的坐標為(4,0)． (2)yn＝－x2＋(n－1)x＋2n＝－(x＋2)(x－2n)， 當x＝－2時，y＝0， 所以拋物線Cn經(jīng)過定點(－2,0)． (3)①n＝2，拋物線解析式為y＝－x2＋x＋4， 當x＝0時，y＝4，則D2(0,4)， ∵n＝4時，拋物線解析式為y＝－x2＋3x＋8， 當y＝0時，－x2＋3x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝8， ∴點B4的坐標為(8,0)． ∵A2D＝22＋42＝20，B4D＝82＋42＝80，B4A＝10

13、2＝100， ∴A2D＋B4D＝B4A， ∴△A2D2B4的形狀為直角三角形，∠A2D2B4＝90°； ②∠AnDnBn2＝90°.理由如下： 當y＝0時，yn＝－(x＋2)(x－2n)＝0， 解得x1＝－2，x2＝2n， ∴點An的坐標(－2,0)，點Bn的坐標為(2n,0)； ∴點Bn2的坐標為(2n2,0)， 而Dn(0,2n)， ∵AnD＝(2n)2＋22＝4n2＋4，Bn2D＝(2n2)2＋4n2＝4n4＋4n2，Bn2A＝(2n2＋2)2＝4n4＋8n2＋4， ∴AnD＋Bn2D＝Bn2A， ∴△AnDnBn2為直角三角形，∠AnDnBn2＝90°. 5