（江蘇版）2020年中考數(shù)學熱點專題沖刺6 圖形折疊問題

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1、熱點專題6 圖形折疊問題 圖形折疊問題，是一個非常好的題型，歷年來深受中考數(shù)學出題者的青睞．近年來很多城市的中考都在積極探索有關圖形折疊題目的思考與研究．在所有折疊圖形的題目中，最受歡迎的還是矩形的折疊，因為這種圖形的性質特別好，便于折疊，折疊時也產生了很多很好的性質，所以也便于出題人尋找出題的點．因此矩形折疊的題目最多，考的也最多．還有對正方形的折疊、菱形、平行四邊形、三角形等，甚至現(xiàn)在連圓形也開始折疊．產生了很多不錯的題目． 圖形折疊問題只所以這么受追捧，是因為這些圖形在折疊過程中，會產生很不錯的性質，值得研究，出題人利用研究這些性質也可以進而考查學生的一些對知識的掌握程度，動手能

2、力，采用運動變化的觀點分析和解決問題的能力．鑒于此，我們有理由相信今后的中考數(shù)學試卷中還會產生很多有關圖形折疊的問題． 中考 要求 掌握軸對稱圖形的性質． 學會在運動變化中尋求不變的圖形性質． 培養(yǎng)學生運用運動變化的觀點分析和解決問題． 考向1 矩形的折疊 1. (2019 江蘇省連云港市)如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB．將矩形ABCD對折，得到折痕MN；沿著CM折疊，點D的對應點為E，ME與BC的交點為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，此時點B的對應點為G．下列結論： ①△CMP是直角三角形； ②點C、E、G不在同一條直線上；

3、 ③PC＝MP； ④BP＝AB； ⑤點F是△CMP外接圓的圓心，其中正確的個數(shù)為（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【解析】 ∵沿著CM折疊，點D的對應點為E， ∴∠DMC＝∠EMC， ∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP， ∴∠AMP＝∠EMP， ∵∠AMD＝180°， ∴∠PME+∠CME＝180°＝90°， ∴△CMP是直角三角形；故①正確； ∵沿著CM折疊，點D的對應點為E， ∴∠D＝∠MEC＝90°， ∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP， ∴∠MEG＝∠A＝90°， ∴∠GEC＝180°， ∴點C、

4、E、G在同一條直線上，故②錯誤； ∵AD＝2AB， ∴設AB＝x，則AD＝2x， ∵將矩形ABCD對折，得到折痕MN； ∴DM＝AD＝x， ∴CM＝＝x， ∵∠PMC＝90°，MN⊥PC， ∴CM2＝CN?CP， ∴CP＝＝x， ∴PN＝CP﹣CN＝x， ∴PM＝＝x， ∴＝＝， ∴PC＝MP，故③錯誤； ∵PC＝x， ∴PB＝2x﹣x＝x， ∴＝， ∴PB＝AB，故④， ∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD， ∴CE＝EG， ∵∠CEM＝∠G＝90°， ∴FE∥PG， ∴CF＝PF， ∵∠PMC＝90°， ∴CF＝PF＝MF， ∴點F是△CMP

5、外接圓的圓心，故⑤正確； 故選：B． 2. (2019 江蘇省淮安市)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中點，將△CBH沿CH折疊，點B落在矩形內點P處，連接AP，則tan∠HAP＝　 ?。? 【解析】 如圖，連接PB，交CH于E， 由折疊可得，CH垂直平分BP，BH＝PH， 又∵H為AB的中點，∴AH＝BH， ∴AH＝PH＝BH， ∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB， 又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APB＝∠HEB＝90°， ∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE， 又∵Rt△BCH中

6、，tan∠BHC＝＝， ∴tan∠HAP＝， 故答案為：． 3. (2019 江蘇省揚州市)將一個矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，若∠ABC＝26°，則∠ACD＝　 　°． 【解析】延長DC， 由題意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°， 則∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案為：128． 4．(2019 江蘇省鹽城市)如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進行操作： （Ⅰ）將矩形紙片沿DF折疊，使點A落在CD邊上點E處，如圖②； （Ⅱ）在第一次折疊的基礎上，過點C再次折疊，使得點B落在邊CD上點B′處，如圖③，兩次折痕交于點O； （Ⅲ）展開紙片，

7、分別連接OB、OE、OC、FD，如圖④． 探究 （1）證明：△OBC≌△OED； （2）若AB＝8，設BC為x，OB2為y，求y關于x的關系式． 【解析】（1）證明：由折疊可知，AD＝ED，∠BCO＝∠DCO＝∠ADO＝∠CDO＝45° ∴BC＝DE，∠COD＝90°，OC＝OD， 在△OBC≌△OED中，， ∴△OBC≌△OED（SAS）； （2）過點O作OH⊥CD于點H． 由（1）△OBC≌△OED， OE＝OB， ∵BC＝x，則AD＝DE＝x， ∴CE＝8﹣x， ∵OC＝OD，∠COD＝90° ∴CH＝CD＝AB＝＝4， OH＝CD＝4， ∴EH＝

8、CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4 在Rt△OHE中，由勾股定理得 OE2＝OH2+EH2， 即OB2＝42+（x﹣4）2， ∴y關于x的關系式：y＝x2﹣8x+32． 考向2 平行四邊形的折疊 1. (2019 江蘇省常州市)如圖，把平行四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點C落在點C′處，BC′與AD相交于點E． （1）連接AC′，則AC′與BD的位置關系是　 　； （2）EB與ED相等嗎？證明你的結論． 【解析】 （1）連接AC′，則AC′與BD的位置關系是AC′∥BD， 故答案為：AC′∥BD； （2）EB與ED相等． 由折疊可得，∠CBD＝∠C'BD，

9、 ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 2. (2019 江蘇省徐州市)如圖，將平行四邊形紙片沿一條直線折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為．求證： （1）； （2）． 【解析】證明：（1）四邊形是平行四邊形， ， 由折疊可得，， ， ， ； （2）四邊形是平行四邊形， ，， 由折疊可得，，， ，， 又， ． 考向3 正方形的折疊 1．(2019 江蘇省連云港市)問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點（不與點B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點M、P、N．

10、判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關系，并說明理由． 問題探究：在“問題情境”的基礎上． （1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點，連接BD，交MN于點Q，連接EQ，并延長交邊AD于點F．求∠AEF的度數(shù)； （2）如圖3，當垂足P在正方形ABCD的對角線BD上時，連接AN，將△APN沿著AN翻折，點P落在點P'處，若正方形ABCD的邊長為4，AD的中點為S，求P'S的最小值． 問題拓展：如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，點M、N分別為邊AB、CD上的點，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對應邊B'C'恰好經過點A，C'N交AD于點F．分別過點A、F作AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，垂足

11、分別為G、H．若AG＝，請直接寫出FH的長． 【解析】線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關系為：DN+MB＝EC；理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD， 過點B作BF∥MN分別交AE、CD于點G、F，如圖1所示： ∴四邊形MBFN為平行四邊形， ∴NF＝MB， ∴BF⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中，， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF， ∵DN+NF+CF＝BE+EC， ∴DN

12、+MB＝EC； 問題探究： 解：（1）連接AQ，過點Q作HI∥AB，分別交AD、BC于點H、I，如圖2所示： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴四邊形ABIH為矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD是正方形ABCD的對角線， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI， ∵MN是AE的垂直平分線， ∴AQ＝QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中，， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE是等腰直角三角形， ∴∠EAQ＝∠

13、AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （2）連接AC交BD于點O，如圖3所示： 則△APN的直角頂點P在OB上運動， 設點P與點B重合時，則點P′與點D重合；設點P與點O重合時，則點P′的落點為O′， ∵AO＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠ODA＝∠ADO′＝45°， 當點P在線段BO上運動時，過點P作PG⊥CD于點G，過點P′作P′H⊥CD交CD延長線于點H，連接PC， ∵點P在BD上， ∴AP＝PC， 在△APB和△CPB中，， ∴△APB≌△CPB（SSS）， ∴∠BAP＝∠BCP， ∵∠BCD＝∠MPA＝90°， ∴∠PCN＝∠AMP， ∵AB∥CD， ∴

14、∠AMP＝∠PNC， ∴∠PCN＝∠PNC， ∴PC＝PN， ∴AP＝PN， ∴∠PNA＝45°， ∴∠PNP′＝90°， ∴∠P′NH+PNG＝90°， ∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°， ∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H， 由翻折性質得：PN＝P′N， 在△PGN和△NHP'中，， ∴△PGN≌△NHP'（ASA）， ∴PG＝NH，GN＝P'H， ∵BD是正方形ABCD的對角線， ∴∠PDG＝45°， 易得PG＝GD， ∴GN＝DH， ∴DH＝P'H， ∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°， ∴點P'在線段

15、DO'上運動； 過點S作SK⊥DO'，垂足為K， ∵點S為AD的中點， ∴DS＝2，則P'S的最小值為； 問題拓展： 解：延長AG交BC于E，交DC的延長線于Q，延長FH交CD于P，如圖4： 則EG＝AG＝，PH＝FH， ∴AE＝5， 在Rt△ABE中，BE＝＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝1， ∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC， ∴△ABE∽△QCE， ∴＝＝3， ∴QE＝AE＝， ∴AQ＝AE+QE＝， ∵AG⊥MN， ∴∠AGM＝90°＝∠B， ∵∠MAG＝∠EAB， ∴△AGM∽△ABE， ∴＝，即＝， 解得：AM＝， 由折疊的性質

16、得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°， ∴B'M＝＝，AC'＝1， ∵∠BAD＝90°， ∴∠B'AM＝∠C'FA， ∴△AFC'∽△MAB'， ∴＝＝， 解得：AF＝， ∴DF＝4﹣＝， ∵AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN， ∴AG∥FH， ∴AQ∥FP， ∴△DFP∽△DAQ， ∴＝，即＝， 解得：FP＝， ∴FH＝FP＝． 考向4 三角形的折疊 (2019 江蘇省揚州市)如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合）．直線1是經過點P的一條直線，把△ABC沿直線1折疊，點B的對應點是點B′． （1）

17、如圖1，當PB＝4時，若點B′恰好在AC邊上，則AB′的長度為　 ??； （2）如圖2，當PB＝5時，若直線1∥AC，則BB′的長度為　 ??； （3）如圖3，點P在AB邊上運動過程中，若直線1始終垂直于AC，△ACB′的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積； （4）當PB＝6時，在直線1變化過程中，求△ACB′面積的最大值． 【解析】（1）如圖1中， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ∵PB＝4， ∴PB′＝PB＝PA＝4， ∵∠A＝60°， ∴△APB′是等邊三角形， ∴AB′＝AP＝4． 故答案為4． （

18、2）如圖2中，設直線l交BC于點E．連接BB′交PE于O． ∵PE∥AC， ∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB是等邊三角形， ∵PB＝5， ∴∵B，B′關于PE對稱， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴OB＝PB?sin60°＝， ∴BB′＝5． 故答案為5． （3）如圖3中，結論：面積不變． ∵B，B′關于直線l對稱， ∴BB′⊥直線l， ∵直線l⊥AC， ∴AC∥BB′， ∴S△ACB′＝S△ACB＝?82＝16． （4）如圖4中，當B′P⊥AC時，△ACB′的面積最大， 設直線PB′交AC于E， 在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°， ∴PE＝PA?sin60°＝， ∴B′E＝6+， ∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．