數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點10 一元二次方程

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1、20182018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點考點10 10 一元二次方程一元二次方程一元二次方程只含有一個未知數(shù)（即只含有一個未知數(shù)（即“元元”），并且），并且未知數(shù)的最高次數(shù)為未知數(shù)的最高次數(shù)為2 2（即（即“次次”）的）的整式方程叫做一元二次方程整式方程叫做一元二次方程. .一元二次方程必須同時滿足三個條件：是是整式方程整式方程，即等號兩邊都是，即等號兩邊都是整式整式，方程中如，方程中如果有果有分母分母；且；且未知數(shù)未知數(shù)在分母上，那么這個方程在分母上，那么這個方程就是就是分式方程分式方程，不是一元二次方程，方程中如，不是一元二次方程，方程中如果有根號，且未知數(shù)在根號內(nèi)

2、，那么這個方程果有根號，且未知數(shù)在根號內(nèi)，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）。也不是一元二次方程（是無理方程）。只含有一個未知數(shù)；只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)項的最高次數(shù)是未知數(shù)項的最高次數(shù)是2 2。432yx方程形式方程形式一般形式：一般形式：ax+bx+c=0(a0)ax+bx+c=0(a0)其中其中axax是二次項，是二次項，a a是二次項系數(shù)；是二次項系數(shù)；bxbx是是一次項；一次項；b b是是一次項系數(shù)一次項系數(shù)；c c是是常數(shù)項常數(shù)項。使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解個一元二次方程的解，一元二次方程的

3、解也叫做一元二次方程的也叫做一元二次方程的根根。其他形式：其他形式：ax+bx=0(aax+bx=0(a、b b是是實數(shù)實數(shù)，a0);a0);ax+c=0(aax+c=0(a、c c是實數(shù)，是實數(shù)，a0);a0);ax=0(aax=0(a是實數(shù)，是實數(shù)，a0)a0)。二元一次方程組方程特點方程特點（1 1）為一個等式）為一個等式（2 2）該方程為整式方程。）該方程為整式方程。（3 3）該方程有且只含有一個未知數(shù)。）該方程有且只含有一個未知數(shù)。（4 4）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1 1。（系。（系數(shù)化為數(shù)化為1 1）（5 5）未知數(shù)系數(shù)不為）未知數(shù)系數(shù)不為0.0.滿足

4、以上五點的方程，就是一元一次方程滿足以上五點的方程，就是一元一次方程。例2下列方程組哪些是二元一次方程組？剖析：錯解誤以為二元一次方程組中的兩個方程一定是二元一次方程，所以沒有選（1）（3）正解：（1）（2）（3） 解二元一次方程組 二元一次方程組主要有兩種方法求解：二元一次方程組主要有兩種方法求解：1.1.二元一次方程組通常是采用加減消元法二元一次方程組通常是采用加減消元法，先求出其中一個未知數(shù)，然后代入任意，先求出其中一個未知數(shù)，然后代入任意一個方程，求出另外一個未知數(shù)。一個方程，求出另外一個未知數(shù)。2.2.另外也可以用代入消元法，把其中一個另外也可以用代入消元法，把其中一個方程變形，用一

5、個未知數(shù)的代數(shù)式表示另方程變形，用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另外一個未知數(shù)，然后代入第二個方程式，外一個未知數(shù)，然后代入第二個方程式，變?yōu)橐辉淮畏匠?，就可以求出一個未知變?yōu)橐辉淮畏匠?，就可以求出一個未知數(shù)，從而求出另外一個未知數(shù)。數(shù)，從而求出另外一個未知數(shù)。一元二次方程的解法1.1.因式分解法又分因式分解法又分“提公因式法提公因式法”；用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.1.解方程：x+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+

6、1)=0解得：x=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即 x-2=0 或 x+1=0 x1=2，x2=-1變式：（20182018柳州）一元二次方程柳州）一元二次方程x x2 29=09=0的解是的解是 【分析】利用直接開平方法解方程得出即【分析】利用直接開平方法解方程得出即可可【解答】解：【解答】解：x x2 29=09=0，x x2 2=9=9，解得：解得：x x1 1=3=3，x x2 2= =3 3故答案為：故答案為：x x1 1=3=3，x x2 2= =3 3配方法變式：公式法首先要通過首先要通過=b-4acb-4ac的根的判

7、別式來判斷一元的根的判別式來判斷一元二次方程有幾個根二次方程有幾個根1.1.當(dāng)當(dāng)=b-4ac0b-4ac0b-4ac0時時 x x有兩個不相同的實數(shù)根有兩個不相同的實數(shù)根當(dāng)判斷完成后，若方程有根可根屬于當(dāng)判斷完成后，若方程有根可根屬于2 2、3 3兩種情兩種情況方程有根則可根據(jù)公式?jīng)r方程有根則可根據(jù)公式來求得方程的根來求得方程的根（2018紹興） 解方程：x22x1=0根與系數(shù)的關(guān)系1在使用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時，要先將一元二次方程化為一般形式2若一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩個實數(shù)根是x1，x2，則x1x2_，x1x2_.注意注意：（1） （2） ； 222121212()2

8、xxxxxx22121212()()4xxxxxx2121212()4xxxxxx（2018宜賓）一元二次方程x22x=0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為（） A2B1 C2D0【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1x2=0，此題得解【解答】解：一元二次方程x22x=0的兩根分別為x1和x2，x1x2=0變式定義新運算（20182018十堰）對于實數(shù)十堰）對于實數(shù)a a，b b，定義運算，定義運算“”“”如下：如下：abab=a=a2 2abab，例如，例如，53=553=52 25 53=103=10若（若（x+1x+1）（x x2 2）=6=6，則，則x x的值為的值為 【分析】根據(jù)題意

9、列出方程，解方程即可【分析】根據(jù)題意列出方程，解方程即可【解答】解：由題意得，（【解答】解：由題意得，（x+1x+1）2 2（x+1x+1）（）（x x2 2）=6=6，整理得，整理得，3x+3=63x+3=6，解得，解得，x=1x=1，一元二次方程與實際問題1.（握手問題）（20182018綿陽）在一次酒會上，每兩人都綿陽）在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯只碰一次杯，如果一共碰杯5555次，則參加酒會的人數(shù)為次，則參加酒會的人數(shù)為（）（）A A9 9人人B B1010人人C C1111人人D D1212人人【分析】設(shè)參加酒會的人數(shù)為【分析】設(shè)參加酒會的人數(shù)為x x人，根據(jù)每兩人

10、只碰一次人，根據(jù)每兩人只碰一次杯且一共碰杯杯且一共碰杯5555次，即可得出關(guān)于次，即可得出關(guān)于x x的一元二次方程，的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論解之取其正值即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)參加酒會的人數(shù)為【解答】解：設(shè)參加酒會的人數(shù)為x x人，人，根據(jù)題意得：根據(jù)題意得： x x（x x1 1）=55=55，整理，得：整理，得：x x2 2x x110=0110=0，解得：解得：x x1 1=11=11，x x2 2= =1010（不合題意，舍去）（不合題意，舍去）答：參加酒會的人數(shù)為答：參加酒會的人數(shù)為1111人人2.2.增長率問題增長率問題（20182018宜賓）某市從宜賓）某市從2

11、0172017年開始大力發(fā)展年開始大力發(fā)展“竹文化竹文化”旅游產(chǎn)業(yè)旅游產(chǎn)業(yè)據(jù)統(tǒng)計，該市據(jù)統(tǒng)計，該市20172017年年“竹文化竹文化”旅游收入約為旅游收入約為2 2億元預(yù)計億元預(yù)計2019“2019“竹文化竹文化”旅游收入達到旅游收入達到2.882.88億元，據(jù)此估計該市億元，據(jù)此估計該市20182018年年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年平均增長率約為（）旅游收入的年平均增長率約為（）A A2%2%B B4.4%4.4%C C20%20%D D44%44%【分析】設(shè)該市【分析】設(shè)該市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年平均旅游收入的年平均

12、增長率為增長率為x x，根據(jù)，根據(jù)20172017年及年及20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入總額，即旅游收入總額，即可得出關(guān)于可得出關(guān)于x x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)該市【解答】解：設(shè)該市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年旅游收入的年平均增長率為平均增長率為x x，根據(jù)題意得：根據(jù)題意得：2 2（1+x1+x）2 2=2.88=2.88，解得：解得：x x1 1=0.2=20%=0.2=20%，x x2 2= =2.22.2（不合題意，舍去）（不合題意，舍去）答：該市答：該市2

13、0182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年平均增長率旅游收入的年平均增長率約為約為20%20%3.3.利潤問題【分析】利用增長后的量【分析】利用增長后的量= =增長前的量（增長前的量（1+1+增長率），設(shè)平均每次增長的百分率為增長率），設(shè)平均每次增長的百分率為x x，根據(jù)，根據(jù)“從從8080噸增加到噸增加到100100噸噸”，即可得出，即可得出方程方程【解答】解：由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平【解答】解：由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為均增長率為x x，根據(jù)根據(jù)20162016年蔬菜產(chǎn)量為年蔬菜產(chǎn)量為8080噸，則噸，則20172017年蔬年蔬菜產(chǎn)量為菜產(chǎn)量為8080（

14、1+x1+x）噸）噸，20182018年蔬菜產(chǎn)量為年蔬菜產(chǎn)量為8080（1+x1+x）（）（1+x1+x）噸）噸，預(yù)計，預(yù)計20182018年蔬菜產(chǎn)量達到年蔬菜產(chǎn)量達到100100噸，噸，即：即：8080（1+x1+x）（）（1+x1+x）=100=100或或8080（1+x1+x）2 2=100=100其他題型1.1.（20182018荊門）已知荊門）已知x=2x=2是關(guān)于是關(guān)于x x的一元二次的一元二次方程方程kxkx2 2+ +（k k2 22 2）x+2k+4=0 x+2k+4=0的一個根，則的一個根，則k k的值為的值為 【分析】把【分析】把x=2x=2代入代入kxkx2 2+ +（k k2 22 2）x+2k+4=0 x+2k+4=0得得4k+2k4k+2k2 24+2k+4=04+2k+4=0，再解關(guān)于，再解關(guān)于k k的方程，的方程，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定然后根據(jù)一元二次方程的定義確定k k的值的值【解答】解：把【解答】解：把x=2x=2代入代入kxkx2 2+ +（k k2 22 2）x+2k+4=0 x+2k+4=0得得4k+2k4k+2k2 24+2k+4=04+2k+4=0，整理得整理得k k2 2+3k=0+3k=0，解得，解得k k1 1=0=0，k k2 2= =3 3，因為因為k k0 0，所以所以k k的值為的值為3 3