2020年中考數(shù)學考點一遍過 考點17 特殊的平行四邊形（含解析）

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1、考點17 特殊的平行四邊形 一、矩形的性質(zhì)與判定 1．矩形的性質(zhì)： （1）四個角都是直角； （2）對角線相等且互相平分； （3）面積=長×寬=2S△ABD=4S△AOB．（如圖） 2．矩形的判定： （1）定義法：有一個角是直角的平行四邊形； （2）有三個角是直角； （3）對角線相等的平行四邊形． 二、菱形的性質(zhì)與判定 1．菱形的性質(zhì)： （1）四邊相等； （2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角； （3）面積=底×高=對角線乘積的一半． 2．菱形的判定： （1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形； （2）對角線互相垂直的平行四邊形； （3）

2、四條邊都相等的四邊形． 三、正方形的性質(zhì)與判定 1．正方形的性質(zhì)： （1）四條邊都相等，四個角都是直角； （2）對角線相等且互相垂直平分； （3）面積=邊長×邊長=2S△ABD=4S△AOB． 2．正方形的判定： （1）定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形； （2）一組鄰邊相等的矩形； （3）一個角是直角的菱形； （4）對角線相等且互相垂直、平分． 四、聯(lián)系 （1）兩組對邊分別平行；（2）相鄰兩邊相等；（3）有一個角是直角；（4）有一個角是直角； （5）相鄰兩邊相等；（6）有一個角是直角，相鄰兩邊相等；（7）四邊相等；（8）有三個角都是直角． 五

3、、中點四邊形 （1）任意四邊形所得到的中點四邊形一定是平行四邊形. （2）對角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形. （3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形. （4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形. 考向一 矩形的性質(zhì)與判定 1．矩形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有自己單獨的性質(zhì)，即：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等． 2．利用矩形的性質(zhì)可以推出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半． 3．矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形． 典例1 （2019·

4、陜西初三期中）如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，若∠BAO=55°，則∠AOD等于 A．105° B．110° C．115° D．120° 【答案】B 【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB．∴∠BAO=∠ABO=55°． ∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故選B． 典例2 （2019·阜陽市第九中學初二期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC與數(shù)軸重合（點C在正半軸上），AB=5，BC=12，點A表示的數(shù)是–1，則對角線AC、BD的交點表示的數(shù) A．5.5 B．5 C．6 D．6.5 【答案】A 【解析】連接BD交AC于E，如圖所示：

5、 ∵四邊形ABCD是矩形，∴ ∴∴AE=6.5， ∵點A表示的數(shù)是?1，∴OA=1，∴OE=AE?OA=5.5，∴點E表示的數(shù)是5.5， 即對角線AC、BD的交點表示的數(shù)是5.5；故選A. 1．（2019·陜西師大附中初三月考）如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是 A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD 2．（2019·云南初二期中）如圖，在平行四邊形中，對角線交于點，并且，點是邊上一動點，延長交于點，當點從點向點移動過程中（點與點，不重合），則四邊形的變化是 A．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形→平

6、行四邊形 B．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形 C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→正方形→平行四邊形 D．平行四邊形→矩形→菱形→正方形→平行四邊形 考向二 菱形的性質(zhì)與判定 1．菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，具有自己單獨的性質(zhì)，即：菱形的四條邊都相等； 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角． 2．菱形的判定： 四條邊都相等的四邊形是菱形； 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 典例3　菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是 A．兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等 C．一組鄰邊相等 D．對角線互相平分 【答

7、案】C 【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)進行比較，可發(fā)現(xiàn)A，B，D兩者均具有，而C只有菱形具有平行四邊形不具有，故選C． 【名師點睛】有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形. 典例4　如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，且滿足AO=CO，請你添加一個適當?shù)臈l件_____________，使四邊形ABCD成為菱形．（只需添加一個即可） 【答案】BO=DO（答案不唯一） 【解析】四邊形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四邊形ABCD是菱形，需添加的條件是：AC、BD互相平分（對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形）．故答案為：BO=DO（答案不唯一）． 3．已知菱形的一條對角線

8、與邊長相等，則菱形的鄰角度數(shù)分別為 A．45°，135° B．60°，120° C．90°，90° D．30°，150° 4．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求證：四邊形AEDF是菱形． 考向三 正方形的性質(zhì)與判定 1．正方形的性質(zhì)=矩形的性質(zhì)+菱形的性質(zhì)． 2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定為基礎，可以引申出更多正方形的判定方法，如對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．證明四邊形是正方形的一般步驟是先證出四邊形是矩形或菱形，再根據(jù)相應判定方法證明四邊形是正方形．

9、 典例5　（2020·寧夏初二期中）面積為9㎝2的正方形以對角線為邊長的正方形面積為 A．18㎝2 B．20㎝2 C．24㎝2 D．28㎝2 【答案】A 【解析】∵正方形的面積為9cm2，∴邊長為3cm，∴根據(jù)勾股定理得對角線長=cm，∴以為邊長的正方形的面積=cm2.故選A． 典例6?。?019·重慶初三期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ADE，過點C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，則四邊形ADGF的周長是 A．8 B．4+4 C．8+ D．8 【答案】D 【解析】如圖，連接AG， ∵∠B=9

10、0°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC=4，∵把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD=4﹣4， ∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四邊形ABCF是矩形，且AB=BC=4， ∴四邊形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°， ∴∠GCD=45°，且∠GDC=90°，∴∠GCD=∠CGD=45°，∴CD=GD=4﹣4， ∵AF=AD，AG=AG，∴Rt△AGF≌Rt△AGD（HL），∴FG=GD=4﹣4， ∴四邊形ADGF的周長=AF+AD+

11、FG+GD=4+4+4﹣4+4﹣4=8，故選D． 5．（2019·山東初三期中）如圖，在正方形ABCD內(nèi)一點E連接BE、CE，過C作CF⊥CE與BE延長線交于點F，連接DF、DE．CE=CF=1，DE=，下列結(jié)論中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③點D到CF的距離為2；④S四邊形DECF=+1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2020·陜西初三期末）如圖，在正方形ABCD中，，AE、BF交于點G，下列結(jié)論中錯誤的是 A． B． C． D． 考向四 中點四邊形 1．中點四邊形一定是平行四邊形； 2．中點四邊形的面積等于原四邊形面

12、積的一半． 典例7　如圖，任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，對于四邊形EFGH的形狀，某班學生在一次數(shù)學活動課中，通過動手實踐，探索出如下結(jié)論，其中錯誤的是 A．當E，F(xiàn)，G，H是各邊中點，且AC=BD時，四邊形EFGH為菱形 B．當E，F(xiàn)，G，H是各邊中點，且AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形 C．當E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點時，四邊形EFGH可以為平行四邊形 D．當E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點時，四邊形EFGH不可能為菱形 【答案】D 【解析】A．當E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊中點，且AC=BD時，存在EF=FG=GH=HE，

13、故四邊形EFGH為菱形，故A正確； B．當E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊中點，且AC⊥BD時，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四邊形EFGH為矩形，故B正確； C．如圖所示，當E，F(xiàn)，G，H不是四邊形ABCD各邊中點時，若EF∥HG，EF=HG，則四邊形EFGH為平行四邊形，故C正確； D．如圖所示，當E，F(xiàn)，G，H不是四邊形ABCD各邊中點時，若EF=FG=GH=HE，則四邊形EFGH為菱形，故D錯誤，故選D． 7．順次連接下列四邊形的四邊中點所得圖形一定是菱形的是 A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 8．

14、如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點所得四邊形EFGH叫中點四邊形．若四邊形ABCD的面積記為S1，中點四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關系是 A．S1=3S2 B．2S1=3S2 C．S1=2S2 D．3S1=4S2 1．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ADB=30°，AB=4，則OC= A．5 B．4 C．3.5 D．3 2．（2018·貴陽市云巖區(qū)華文實驗中學初三月考）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，已知∠AOD=120°，AC=16，則圖中

15、長度為8的線段有 A．2條 B．4條 C．5條 D．6條 3．如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折疊，使點C與點A重合，則折痕EF的長為 A． B． C． D．15 4．如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，AC=8 cm，BD=6 cm，則菱形的高為 A．cm B．cm C．cm D．cm 5．（2018·貴陽市云巖區(qū)華文實驗中學初三月考）如圖，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分線交對角線BD于點P，垂足為E，連接CP，則∠CPB的度數(shù)是 A．108° B．72° C．90° D．100°

16、6．（2018·貴陽市云巖區(qū)華文實驗中學初三月考）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE=CF．連接AE，BF，AE與BF交于點G．下列結(jié)論錯誤的是 A．AE=BF B．∠DAE=∠BFC C．∠AEB+∠BFC=90° D．AE⊥BF 7．如圖，矩形ABCD中將其沿EF翻折后，D點恰落在B處，∠BFE=65°，則∠AEB=____________. 8．（2018·陜西初三期末）如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP′B，連接PP′，則AP=_______． 9．如圖，

17、在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10． （1）求證：四邊形ABCD是矩形； （2）求BD的長． 10．（2020·內(nèi)蒙古初三期末）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE，CF相交于點D． （1）求證：BE=CF； （2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長． 11．（2020·呼和浩特市第十三中學初二期中）如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F． （1）判斷OE與OF的大小關系？并說明理

18、由； （2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由； （3）在（2）的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形．直接寫出答案，不需說明理由． 1．（2019·重慶）下列命題正確的是 A．有一個角是直角的平行四邊形是矩形 B．四條邊相等的四邊形是矩形 C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形 D．對角線相等的四邊形是矩形 2．（2019·天津）如圖，四邊形為菱形，，兩點的坐標分別是，，點，在坐標軸上，則菱形的周長等于 A． B． C． D．20 3．（2019·安徽）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)將

19、對角線AC三等分，且AC=12，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是 A．0 B．4 C．6 D．8 4．（2019?湖北孝感）如圖，正方形ABCD中，點E.F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點G．若BC=4，DE=AF=1，則GF的長為 A． B． C． D． 5．（2019·天津）如圖，正方形紙片的邊長為12，是邊上一點，連接．折疊該紙片，使點落在上的點，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，點在上．若，則的長為__________． 6．（2019·浙江杭州）如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊（點E、H在AD邊上，點F、G在BC邊上），使

20、得點B、點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為點，D點的對稱點為點，若，的面積為4，的面積為1，則矩形ABCD的面積等于__________. 7．（2019?湖北十堰）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E為BC的中點，若OE=3，則菱形的周長為__________． 8．（2019?湖南長沙）如圖，正方形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且DE=CF，AF與BE相交于點G． （1）求證：BE=AF； （2）若AB=4，DE=1，求AG的長． 9．（2019?湖南懷化）已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F(xiàn)分別為

21、垂足． （1）求證：△ABE≌△CDF； （2）求證：四邊形AECF是矩形． 10．（2019?湖南岳陽）如圖，在菱形ABCD中，點E.F分別為AD．CD邊上的點，DE=DF，求證：∠1=∠2． 11．（2019?福建）如圖，點E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的一點，且DF=BE．求證：AF=CE． 12．（2019?江西）如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OD．求證：四邊形ABCD是矩形． 13．（2019?浙江寧波?10分）如圖，矩形EFGH

22、的頂點E，G分別在菱形ABCD的邊AD，BC上，頂點F，H在菱形ABCD的對角線BD上． （1）求證：BG=DE； （2）若E為AD中點，F(xiàn)H=2，求菱形ABCD的周長． 變式拓展 1．【答案】D 【解析】結(jié)合選項可知，添加AC=BD， ∵四邊形ABCD的對角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵AC=BD，根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，∴四邊形ABCD是矩形，故選D． 2．【答案】A 【解析】點E從D點向A點移動過程中，當∠EOD<15°時，四邊形AFCE為平行四邊形，當∠EOD=15°時，AC⊥EF，四邊形AFCE為菱形， 當15°<

23、∠EOD<75°時，四邊形AFCE為平行四邊形， 當∠EOD=75°時，∠AEF=90°，四邊形AFCE為矩形， 當75°<∠EOD<105°時，四邊形AFCE為平行四邊形，故選A． 3．【答案】B 【解析】如圖，由題意知AB=BC=AC， ∵AB=BC=AC，∴△ABC為等邊三角形，即根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，故選B． 4．【解析】∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF為平行四邊形， ∴∠FAD=∠EDA， ∵AD是∠BAC的平分線，∴∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA， ∴AE=ED，∴四邊形AEDF是菱形． 5．【答案】B 【解析】∵四邊形ABCD是正

24、方形，∴BC=CD，∠BCD=90°， ∵CF⊥CE，∴∠ECF=∠BCD=90°，∴∠BCE=∠DCF， 在△BCE與△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），故①正確； ∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，∴∠DFB=∠BCD=90°，∴BF⊥ED， 故②正確， 過點D作DM⊥CF，交CF的延長線于點M， ∵∠ECF=90°，F(xiàn)C=EC=1，∴∠CFE=45°， ∵∠DFM+∠CFB=90°，∴∠DFM=∠FDM=45°，∴FM=DM，∴由勾股定理可求得：EF=， ∵DE=，∴由勾股定理可得：DF=2， ∵EF2+BE2=2BE2=BF2，∴DM=FM=，

25、故③錯誤， ∵△BCE≌△DCF，∴S△BCE=S△DCF， ∴S四邊形DECF=S△DCF+S△DCE=S△ECF+S△DEF=S△AFP+S△PFB=，故④錯誤，故選B． 6．【答案】C 【解析】在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠C=90， 又∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∠BAE=∠CBF， ∴∠FBC+∠BEG=∠BAE+∠BEG=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF．故A、B正確； ∵CF=2FD，∴CF:CD=2:3，∵BE=CF，AB=CD，， ∵∠EBG+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°，∴∠EBG=∠BAG，

26、∵∠EGB=∠ABE=90°，∴△BGE∽△ABE，，故C不正確, ∵△ABE≌△BCF，∴S△ABE=S△BFC，∴S△ABE–S△BEG=S△BFC–S△BEG，∴S四邊形CEGF=S△ABG， 故D正確．故選C． 7．【答案】C 【解析】∵順次連接任意四邊形的四邊中點所得圖形一定是平行四邊形， 當對角線相等時，所得圖形一定是菱形，故選C． 8．【答案】C 【解析】如圖，設AC與EH、FG分別交于點N、P，BD與EF、HG分別交于點K、Q， ∵E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，∴EF∥AC， 同理可證EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK， ∴=，S△A

27、EN=S△EBK，∴=，同理可得=， =，=，∴=， ∵四邊形ABCD的面積記為S1，中點四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關系是S1=2S2．故選C． 考點沖關 1．【答案】B 【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°， ∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4．故選B． 2．【答案】D 【解析】∵AC=16，四邊形ABCD是矩形， ∴DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC， ∴BO=OD=AO=OC=8， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△ABO是等邊三角形

28、， ∴AB=AO=8，∴DC=8，即圖中長度為8的線段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6條，故選D． 3．【答案】B 【解析】如圖，連接AF．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得EF垂直平分AC，則設，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得． 在中，根據(jù)勾股定理，得AC=5，則AO=2.5． 在中，根據(jù)勾股定理，得 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可以證明則故選B． 4．【答案】B 【解析】∵菱形ABCD的對角線∴AC⊥BD，OA=AC=4 cm，OB=BD=3 cm，根據(jù)勾股定理，（cm）．設菱形的高為h，則菱形的面積，即，解得，即菱形的高為cm．故選B． 5．【答案】B 【解析】如圖，連接AP

29、，∵在菱形ABCD中，∠ADC=72°，BD為菱形ABCD的對角線，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°. ∵AD的垂直平分線交對角線BD于點P，垂足為E，∴PA=PD. ∴∠DAP=∠ADP=36°.∴∠APB=∠DAP+∠ADP=72°. 又∵菱形ABCD是關于對角線BD對稱的，∴∠CPB=∠APB=72°.故選B. 6．【答案】C 【解析】∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+AEB=90°，∴AE⊥BF，所以

30、A、B、D三個選項正確，∠AEB=∠BFC，故C選項錯誤，故選C. 7．【答案】50° 【解析】如圖所示， 由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°， ∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50° ．故答案為：50°． 8．【答案】1 【解析】∵△BP'C是由△BPA旋轉(zhuǎn)得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B

31、=135°，∴∠PP'C=90°，∵BP=2，∴PP′==2，∵PC=3，∴CP'===1，∴AP=CP′=1，故答案為1． 9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD是矩形． （2）∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=10. 10．【解析】（1）∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC， 在△ACF和△ABE中，，△ACF≌△ABE， BE=CF.

32、（2）∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=． 11．【解析】（1）OE=OF，理由如下： 因為CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因為MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO，所以OE=OF． （2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，理由如下： 因為OE=OF，點O是AC的中點，所以四邊形AECF是平行四邊形，又因為CF平分∠BCA的外角

33、，所以∠4=∠5，又因為∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4==90°，即∠ECF=90°，所以平行四邊形AECF是矩形． （3）當△ABC是直角三角形時，即∠ACB=90°時，四邊形AECF是正方形，理由如下： 由（2）證明可知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，又因為∠ACB=90°，CE，CN分別是∠ACB與∠ACB的外角的平分線，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四邊形AECF是正方形． 直通中考 1．【答案】A 【解析】A．有一個角為直角的平行四邊形是矩形滿足判定條件；B．四條邊都相等的四邊形是菱形，故B錯誤；C有一組鄰邊相等

34、的平行四邊形是菱形，故C錯誤；對角線相等且相互平分的四邊形是矩形，則D錯誤；故選A． 【名師點睛】本題考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三個角是直角的四邊形是矩形；2.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；3.有一個角為直角的平行四邊形是矩形；4.對角線相等的平行四邊形是矩形. 2．【答案】C 【解析】∵菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（2，0），（0，1）， ∴AO=2，OB=1，ACBD， ∴由勾股定理知：， ∵四邊形為菱形， ∴AB=DC=BC=AD=， ∴菱形的周長為：．故選C． 【名師點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理以及坐標與圖形的性質(zhì)，得出AB的

35、長是解題關鍵． 3．【答案】D 【解析】如圖，過E點作關于AB的對稱點E′，則當E′，P，F(xiàn)三點共線時PE+PF取最小值， ∵∠EAP=45°，∴∠EAE′=90°， 又∵AE=EF=AE′=4， ∴PE+PF的最小值為E′F=， ∵滿足PE+PF=9=， ∴在邊AB上存在兩個P點使PE+PF=9， 同理在其余各邊上也都存在兩個P點滿足條件， ∴滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是8，故選D． 【名師點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及根據(jù)軸對稱求最短路徑，有一定難度，巧妙的運用求最值的思想判斷滿足題意的點的個數(shù)是解題關鍵. 4．【答案】A 【解析】正方形ABCD中，∵

36、BC=4， ∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°， ∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5， 在△BCE和△CDF中，， ∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE=∠DCF， ∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE， cos∠CBE=cos∠ECG=， ∴，CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=， 故選A． 【名師點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，證明△BCE≌△CDF是解本題的關鍵． 5．【答案】 【解析】如圖，令AE與BF的交點為M. 在正方形中，∠BAD=∠D=，

37、∴∠BAM+∠FAM=， 在Rt中，， ∵由折疊的性質(zhì)可得， ∴AB=BG，∠FBA=∠FBG， ∴BF垂直平分AG， ∴AM=MG，∠AMB=， ∴∠BAM+∠ABM=， ∴∠ABM=∠FAM， ∴， ∴ ，∴， ∴AM=，∴AG=， ∴GE=13–. 【名師點睛】本題考查了正方形與折疊，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵. 6．【答案】 【解析】∵A'E∥PF，∴∠A'EP=∠D'PH， 又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°，∴∠A'=∠D'，∴△A'EP～△D'PH， 又∵AB=CD，AB=A'

38、P，CD=D'P，∴A'P= D'P， 設A'P=D'P=x， ∵S△A'EP：S△D'PH=4：1，∴A'E=2D'P=2x，∴S△A'EP=， ∵，∴，∴A'P=D'P=2，∴A'E=2D'P=4， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， ∴， 【名師點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì). 7．【答案】24 【解析】∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，BO=DO， ∵點E是BC的中點， ∴OE是△BCD的中位線， ∴CD=2OE=2×3=6， ∴菱形ABCD的周長=4×6=24； 故答案為：24． 【名師點睛】

39、本題考查了菱形的性質(zhì)以及三角形中位線定理；熟記菱形性質(zhì)與三角形中位線定理是解題的關鍵． 8．【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD， ∵DE=CF，∴AE=DF， 在△BAE和△ADF中，， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF； （2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF， ∴∠EBA=∠FAD， ∴∠GAE+∠AEG=90°， ∴∠AGE=90°， ∵AB=4，DE=1， ∴AE=3， ∴BE===5， 在Rt△ABE中，AB×AE=BE×AG， ∴AG==． 【名師點睛】本題考查了全等三角形的判定與

40、性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積公式；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵． 9．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）∵AD∥BC， ∴∠EAF=∠AEB=90°， ∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°， ∴四邊形AECF是矩形． 【名師點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定是解題的關鍵

41、． 10．【解析】∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD=CD， 在△ADF和△CDE中，， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠2． 【名師點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵． 11．【答案】見解析． 【解析】∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=∠B=90°，AD=BC， 在△ADF和△CBE中，， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AF=CE． 【名師點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵． 12．【答案】見解析． 【解析】∵四邊形AB

42、CD中，AB=CD，AD=BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AC=2AO，BD=2OD， ∵OA=OD，∴AC=BD， ∴四邊形ABCD是矩形． 【名師點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定等知識點，能由題中已知信息推出四邊形ABCD是平行四邊形是關鍵． 13．【解析】（1）∵四邊形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF， ∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH， ∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE； （2）連接EG， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC， ∵E為AD中點，∴AE=ED， ∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG， ∴四邊形ABGE是平行四邊形，∴AB=EG， ∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周長=8． 【名師點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別作圖是解題的關鍵．